苯環(huán)線性六角鏈中任意兩點(diǎn)間的電阻距離

趙舵舵，朱子怡，趙媛媛

（池州學(xué)院大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院，安徽 池州 247000）

0 引 言

計(jì)算電網(wǎng)絡(luò)圖中任意兩點(diǎn)之間的電阻距離問題一直備受關(guān)注[1-5]。Gervacio 教授研究了n部圖中任意兩點(diǎn)電阻距離，并得到了電阻距離的表達(dá)式[2]。晏衛(wèi)根教授的團(tuán)隊(duì)在Gervacio教授研究基礎(chǔ)上對(duì)環(huán)狀電網(wǎng)絡(luò)中的電阻距離進(jìn)行了研究[3]。黃蘇閩、李書超等得到了線性六邊形（圓柱形）鏈的電阻距離和基爾霍夫指標(biāo)公式，確定了線性六邊形鏈中最大和最小的電阻距離[4]。Estradaf 教授基于相應(yīng)拉普拉斯算子的光譜特性證明了新電阻距離和基爾霍夫指數(shù)的幾個(gè)結(jié)果[5]。

在最近的二十年來，一些化學(xué)圖的電阻距離成為了研究熱點(diǎn)。Barrett教授等人研究了線性三邊形鏈的電阻距離[6]。陳海燕教授得到了線性四邊形鏈中任意兩點(diǎn)電阻距離的表達(dá)式，并進(jìn)一步地確定了其中最大和最小的電阻距離，分析電阻距離的單調(diào)性和漸近性質(zhì)[7]。

苯是一類重要的化合物，其圖結(jié)構(gòu)往往用六邊形表示，研究由苯環(huán)組成的六邊形系統(tǒng)中任意兩點(diǎn)的電阻距離有著重要意義。電阻距離可以描畫分子之間的類液，也是波狀的強(qiáng)力的通訊橋梁。一個(gè)苯鏈就是具有以下性質(zhì)的一個(gè)苯系統(tǒng)[5]：1.它沒有同時(shí)屬于三個(gè)六角形的頂點(diǎn)；2.它沒有多于兩個(gè)的六角形相鄰。如果一個(gè)苯鏈中不含有彎曲的地方，就稱該苯鏈?zhǔn)侵北芥湥簿褪俏覀儽疚难芯康谋江h(huán)線性六角鏈。運(yùn)用電路縮減原理計(jì)算苯環(huán)線性六角鏈初始點(diǎn)間的任意兩點(diǎn)電阻距離，通過等效電阻原則及電路縮減原理得出新增點(diǎn)與其他點(diǎn)間任意兩點(diǎn)的電阻距離。

1 準(zhǔn)備工作

首先介紹苯環(huán)線性六角鏈的空間結(jié)構(gòu)，將其變形為普通的線性六角鏈，如圖1所示。

圖1 苯環(huán)線性六角鏈變形

變換后的線性六角鏈可以通過線性四角鏈將按照一定的規(guī)則進(jìn)行加點(diǎn)實(shí)現(xiàn)，如圖2所示。

圖2 線性四角鏈與線性六角鏈

由圖2 可知，苯環(huán)線性六角鏈中的點(diǎn)可以分為兩類，一類是原點(diǎn)，即{u1,u2,…,un} 與{v1,v2,…,vn} ；一類是新增點(diǎn)，即{s1,s2,…,s1} 與{t1,t2,…,tn} 。規(guī)定圖G上的任意兩點(diǎn)s,t間的電阻距離記為rG(s,t)。

給出電網(wǎng)絡(luò)中的等效電阻和規(guī)則。

引理[8]：設(shè)N=(G,C)是一個(gè)電網(wǎng)絡(luò)，對(duì)其任意的點(diǎn)i和j(i≠j)，有

其中，C是一個(gè)電導(dǎo)函數(shù)，cik是邊ik的電導(dǎo)。

定義以下3個(gè)函數(shù)：

2 主要結(jié)論

2.1 初始點(diǎn)間任意兩點(diǎn)的電阻距離

圖3 線性四角鏈

圖4

根據(jù)上式，可以得到zn的解

圖5

由圖5，可以得到

綜合上述公式，有

將公式進(jìn)行運(yùn)算，可以得到

并且，

圖6 關(guān)于頂點(diǎn)un，ui + 1及vi + 1做電路縮減

由公式（10）有

根據(jù)公式（11），我們可以得到

將公式（6）與（11）代入（12），能得到

可以驗(yàn)證，對(duì)于n≥i≥1，公式（13）也成立。

在上述結(jié)果的基礎(chǔ)上，可以求解rWn(ui,uj)，rWn(ui,vj)。對(duì)圖關(guān)于頂點(diǎn)ui，vi及uj做電路縮減得到一個(gè)Y型圖，如圖7所示。

圖7 關(guān)于頂點(diǎn)ui，vi及uj做電路縮減

根據(jù)圖7，有

進(jìn)而可得

和

聯(lián)合公式（6）、（13）、（15）及（16）有

同理，可以驗(yàn)證對(duì)于n≥i≥j≥1，上述兩個(gè)公式也成立。更進(jìn)一步，有

2.2 新增點(diǎn)與其他點(diǎn)間任意兩點(diǎn)的電阻距離

前文給定了原點(diǎn)之間任意兩點(diǎn)的電阻距離，接下來將會(huì)求出新增點(diǎn)與其他點(diǎn)間任意兩點(diǎn)的電阻距離。

圖8 線性六角鏈

將公式（19）乘以3減去（20），有

將公式（20）乘以3減去（19），有

聯(lián)立公式，可以得到如下結(jié)果

對(duì)于任意i，j∈Z+，若i＞j，則i≥j+ 1，對(duì)于，有

上式解得結(jié)果如下

聯(lián)立公式有

由上式，可以得到

因而有

由于苯環(huán)線性六角鏈的結(jié)構(gòu)及其對(duì)稱性，可以驗(yàn)證，對(duì)于任意的n≥i≥j≥1，有

綜上所述，可以得到下述定理：

定理1：對(duì)于苯環(huán)線性六角鏈，n≥i≥j≥1，其任意兩點(diǎn)間的電阻距離如下：

1.初始點(diǎn)間任意兩點(diǎn)電阻

2.新增點(diǎn)與其他點(diǎn)間任意兩點(diǎn)電阻距離

由公式（17）和（18），可以發(fā)現(xiàn)，苯環(huán)線性六角鏈中新增點(diǎn)與其他點(diǎn)任意兩點(diǎn)間的電阻距離可以由初始點(diǎn)的任意兩點(diǎn)電阻距離來表示。

定理2：對(duì)于苯環(huán)線性六角鏈，n≥i≥j≥1，其任意兩點(diǎn)間的電阻距離如下：

1.初始點(diǎn)間任意兩點(diǎn)電阻

2.增點(diǎn)與其他點(diǎn)間任意兩點(diǎn)電阻距離