一道圓錐曲線質(zhì)檢題的探究

謝卿孝

題?（2022年福建省質(zhì)量檢測(cè)試題第21題）已知橢圓C的中心為O，離心率為22.圓O在C的內(nèi)部，半徑為63.P，Q分別為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)的最小距離為1－63.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求C的方程；（2）A，B是C上不同的兩點(diǎn)，且直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓O上.求證：以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

易得第（1）問(wèn)的答案是C的方程為x22+y2=1；第（2）問(wèn)中，由條件”直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)（不妨設(shè)為）在圓O上” ，可得O⊥AB，從而可得直線AB與圓O相切于點(diǎn)，由此可證明OA⊥OB，即得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O.本題（2）內(nèi)涵豐富，可進(jìn)行如下深入探究.