對一道高考題的分析與拓展

洪秀成

1.試題呈現

（2022年高考數學新高考Ⅰ卷第22題）已知函數f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

本題主要考察了函數的單調性和極值、等差數列、函數的零點存在定理、函數的同構等知識；考察了分類討論、數形結合、轉化與化歸、函數與方程等數學思想；考察了推理論證、運算求解、抽象概括等關鍵能力；考察了邏輯推理、數學運算等核心素養.本題在知識層面、能力立意、創新要求等方面都有所體現，能很好的發揮數學試卷在高考中的選拔功能.