從誤解到理解，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)中的反例視角

曾煥輝　陳國(guó)勇

【摘 要】本文深入探討了平行四邊形面積計(jì)算的常見(jiàn)誤解——鄰邊相乘，揭示了在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用反例的重要性，強(qiáng)化了正確的概念。

【關(guān)鍵詞】深度教學(xué) 反例教學(xué) 平行四邊形面積

一、起源：慣性遷移，鄰邊相乘

當(dāng)前，新課標(biāo)中提及的核心素養(yǎng)理論已經(jīng)逐漸滲透到基礎(chǔ)教育的各個(gè)角落，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也因此發(fā)生了質(zhì)的轉(zhuǎn)變，從簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授跨越到了實(shí)現(xiàn)教育的真正價(jià)值——育人。因此，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓他們能深入理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念及思想。同時(shí)，教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，更要教會(huì)他們用數(shù)學(xué)思維去思考問(wèn)題，解決他們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中遇到的難題。

然而，教師也必須面對(duì)現(xiàn)實(shí)。在當(dāng)前的社會(huì)環(huán)境下，應(yīng)試教育的影響痕跡仍然深重，教學(xué)過(guò)程往往過(guò)于單一和機(jī)械。知識(shí)點(diǎn)的傳遞更多的是通過(guò)正面教學(xué)和反復(fù)練習(xí)實(shí)現(xiàn)的，而忽視了引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤的本質(zhì)原因。這就導(dǎo)致即使經(jīng)過(guò)反復(fù)練習(xí)，學(xué)生依然無(wú)法真正掌握知識(shí)點(diǎn)。因此，教師需要巧妙地運(yùn)用反例，探求錯(cuò)誤的根源，以此強(qiáng)化概念的滲透，促進(jìn)正向的遷移。以“平行四邊形面積”相關(guān)內(nèi)容為例，當(dāng)學(xué)生初次面對(duì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)，有些學(xué)生會(huì)自然而然地想到平行四邊形的面積等于底乘以高。筆者以本校五年級(jí)學(xué)生為樣本，對(duì)203位學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試。有866%的學(xué)生知道用底乘高的方法來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積。由筆者參考的大部分案例來(lái)看，大多數(shù)學(xué)生最初常用的方法是鄰邊相乘，那么，對(duì)本校的前測(cè)數(shù)據(jù)為何與常見(jiàn)案例會(huì)有這么明顯的差別呢？為了深入探索這個(gè)問(wèn)題，筆者決定選擇書(shū)面形式詢問(wèn)那些使用底乘高計(jì)算平行四邊形面積的學(xué)生。你是如何知道平行四邊形的面積用底乘高計(jì)算？為什么用底乘高計(jì)算？近96%的學(xué)生指出是外界環(huán)境教導(dǎo)學(xué)生要這么計(jì)算，而剩下的4%的學(xué)生則是通過(guò)猜測(cè)得出這個(gè)方法的。這意味著大多數(shù)學(xué)生并不真正理解他們所使用的方法。從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，求平行四邊形面積用底乘高的方法并不是學(xué)生的自然認(rèn)知。因?yàn)椋處熞枰龑?dǎo)學(xué)生深入研究平行四邊形面積的計(jì)算方法，以幫助他們真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

另外，通過(guò)口頭訪問(wèn)選擇“鄰邊相乘”方法的學(xué)生，筆者得到的結(jié)論和參考的案例類似，即“長(zhǎng)方形和正方形的面積都是長(zhǎng)乘寬，所以這個(gè)形狀也應(yīng)該用這種方法”“平行四邊形是特殊的長(zhǎng)方形，所以我覺(jué)得用長(zhǎng)乘寬比較合適”“平行四邊形拉起來(lái)就是個(gè)長(zhǎng)方形，所以我就用計(jì)算長(zhǎng)方形面積的算法來(lái)計(jì)算它”等。因此，正方形、長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)有很大可能成為學(xué)習(xí)平行四邊形面積的障礙，而教師，順著學(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn)，研究驗(yàn)證平行四邊形面積用鄰邊相乘的方法不成立是有必要的。在此，筆者將揭示在小學(xué)階段可以在課堂中教學(xué)的三種反例，這些方法都是為了證明一個(gè)經(jīng)常被學(xué)生誤解的數(shù)學(xué)方法：平行四邊形面積能否通過(guò)鄰邊相乘來(lái)計(jì)算。這些反例教學(xué)方法不僅可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的真諦，還可以挑戰(zhàn)他們的思維，讓他們感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。

二、實(shí)踐：困惑解鎖，格子計(jì)數(shù)

如圖1所示，學(xué)生可以通過(guò)“不是一格按半格計(jì)算”和“拼接成完整的長(zhǎng)方形”兩種不同的數(shù)格子方法，得出“平行四邊形如果鄰邊相乘不會(huì)等于它的面積”的正確結(jié)論。數(shù)格子這種最原始、最簡(jiǎn)單的方法，因其直觀性和簡(jiǎn)單性，得出的結(jié)論更接近問(wèn)題的本質(zhì)且更具有說(shuō)服力，也為推理出其他方法提供了基礎(chǔ)，這些方法可能更為復(fù)雜，但也更具有普遍性。它們可以幫助我們更深入地理解這個(gè)問(wèn)題，就像一把更復(fù)雜的鑰匙，能打開(kāi)更深層的門(mén)。

前測(cè)的例子是等底、等高、不等鄰邊的長(zhǎng)方形和平行四邊形進(jìn)行比較，接下來(lái)筆者選擇另一種素材，即用等底、等高、不等鄰邊的兩個(gè)普通平行四邊形來(lái)證明平行四邊形面積用鄰邊相乘不成立。

三、探索：迷思破解，對(duì)比矛盾

在同一個(gè)格子圖里畫(huà)了兩個(gè)等底、等高、不等鄰邊的平行四邊形（如圖2）。我們通過(guò)數(shù)格子的方法計(jì)算出平行四邊形[WTBX]ABCD和平行四邊形ABEF的面積都是18cm？倕 。這兩個(gè)平行四邊形的面積相等，這是一個(gè)無(wú)可爭(zhēng)議的事實(shí)。然而，當(dāng)我們嘗試用鄰邊相乘的方法來(lái)計(jì)算這兩個(gè)平行四邊形的面積時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了二者的面積并不相同。兩個(gè)平行四邊形等底，我們將它們的底邊記為線段a，平行四邊形ABCD的另一條鄰邊記為線段b。平行四邊形ABEF的另一條鄰邊記為線段c。因?yàn)樵谝粋€(gè)鈍角三角形中，鈍角的對(duì)邊總是最長(zhǎng)的，所以在鈍角三角形ADF中，鈍角的對(duì)邊b的長(zhǎng)度大于線段c的長(zhǎng)度。如果用鄰邊相乘的方法來(lái)計(jì)算這兩個(gè)平行四邊形的面積，我們會(huì)得到a×b＞a×c[WTBZ]的結(jié)果。這與數(shù)格子得到的面積相等的結(jié)論是矛盾的。這個(gè)矛盾再次證明了：平行四邊形的面積不能通過(guò)鄰邊相乘來(lái)計(jì)算。

四、深化：疑云揭開(kāi)，變與不變

然而，數(shù)格子的方法也有其局限性。它雖然簡(jiǎn)單直觀，但并不能適用于所有情況。格子圖提供了一個(gè)直觀的參照，使學(xué)生能夠清楚地看到面積的變化。但是，如果沒(méi)有格子圖，是否還能得出同樣的結(jié)論呢？這是一個(gè)值得深入探討的問(wèn)題。

筆者繼續(xù)嘗試了一種不依賴于格子圖的方法，在黑板上進(jìn)行了平行四邊形的變形實(shí)驗(yàn)，這樣就可以更自由、直觀地操作學(xué)具，而不受格子圖的限制。筆者將平行四邊形右邊的陰影部分移動(dòng)到左邊（如圖3所示），形成了一個(gè)新的長(zhǎng)方形。然后，我們將這個(gè)新的長(zhǎng)方形與原來(lái)平行四邊形拉伸后的長(zhǎng)方形進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)拉伸后長(zhǎng)方形的面積明顯大于原來(lái)的平行四邊形的面積。這個(gè)結(jié)果再次證明：平行四邊形的面積不能通過(guò)鄰邊相乘來(lái)計(jì)算。

以上三種反例的方法得到的結(jié)果是明顯的，學(xué)生們也能清楚地看到這一點(diǎn)。通過(guò)這些實(shí)驗(yàn)，他們理解了平行四邊形面積計(jì)算的真相，即特殊的平行四邊形（如正方形、長(zhǎng)方形）可以用鄰邊相乘計(jì)算面積，而普通平行四邊形不能用鄰邊相乘計(jì)算面積。

五、綜述：視角切換，資源再生

在邏輯中，反例可以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明某些知識(shí)的概括是錯(cuò)誤的，特別是在數(shù)學(xué)和哲學(xué)領(lǐng)域。它能夠揭示學(xué)生對(duì)知識(shí)的誤解，幫助學(xué)生修正錯(cuò)誤的觀念。反例像一面鏡子，映襯出學(xué)生思維的缺陷，當(dāng)學(xué)生面對(duì)一個(gè)反例時(shí)會(huì)被迫去思考為什么他們的理解有誤，這個(gè)過(guò)程中。然而，反例并不是萬(wàn)能的。它們只能揭示學(xué)生理解中的誤區(qū)，并不能提供解決問(wèn)題的方法。因此，教師需要選擇合適的反例設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，以一個(gè)好的反例應(yīng)該是簡(jiǎn)單的，容易理解的，能夠直接反映出問(wèn)題的本質(zhì)。同時(shí)，反例的使用應(yīng)該是適度的，過(guò)多的反例可能會(huì)使學(xué)生感到困惑，無(wú)法抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，本文提供了小學(xué)階段可以用于教學(xué)“平行四邊形為什么不能鄰邊相乘”的三個(gè)反例，作為一線教師應(yīng)該根據(jù)本班學(xué)生的學(xué)情合理選擇。因此，合理地使用反例，教師不僅提高了教學(xué)效果，也幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，有效培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

反例，作為本文探討“平行四邊形面積不能鄰邊相乘”教學(xué)中的一種再生資源，給學(xué)生提供不同的觀察視角，這種視角的切換正是幾何直觀的體現(xiàn)，它幫助學(xué)生感知知識(shí)的本質(zhì)、明晰思維的路徑。同時(shí)，也激發(fā)了學(xué)生的推理意識(shí)，使他們能夠從一些事實(shí)和問(wèn)題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論。這種推理過(guò)程無(wú)疑提高了學(xué)生的推理能力，使他們能夠從特殊結(jié)果推斷出一般結(jié)果。

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