揭示數學的美學價值

◆文/吳振奎

《美妙的數學》吳振奎 著/北京大學出版社/2022.10/69.00元

美是自然（確切地講是“自然的人化”）。數學作為“書寫宇宙的文字”（伽利略語）反映著自然，其中當然存在著美。

“美”是一個哲學概念。對于山水、風景、形體、相貌這類自然形成的事物，可以根據社會文明進步程度、人類智力發展水平、大眾審美觀點的演化層次，再根據多數人的審美觀點直觀評判其美與否；然而對于文學、藝術、建筑、園林等等帶有人工雕琢痕跡的物件，人們去欣賞它時，美與不美便是一種抽象的思維、判斷過程了。比如欣賞藝術大師畢加索的晚年（立體主義抽象）畫作時，不僅需要觀賞者有較高的藝術修養，還要有抽象思維的能力，因為這類畫作是將自然物像分解成幾何塊面，從而從根本上擺脫傳統繪畫的視覺規律和空間概念（也有人認為這是畫家在四維空間作畫，即將四維空間的物像用二維圖形表現出來）。因此，真正能夠讀懂畫作的人不會很多，有人會認為畫作很美，但也有人認為畫作不美甚至很丑（正如有人說“美其實是一種感覺”），這正是“美學”這門學科所要研究的。

而數學美學研究的主要內容也包括探求數學中的現實美、抽象美、美的感悟和美的創造。數學（特別是現代數學）作為自然科學的基礎、工程技術的先導、國民經濟的工具，其本身就具有許多美的特性，它們中的某些是形象、生動而具體的，比如數學的簡潔性、抽象性、和諧性、奇異性等諸方面均展現著數學自身的美——這些一旦讓人覺知、被人認識，數學便有了新的希望與未來。數學正是在不斷追求完美的過程中孕育、創造并發展的。

把數學中，特別是現代數學中，美的現象展示出來，再從美學角度重新認識，這不僅是對人們觀念的一種啟迪，還可以幫助人們去思維、去探索、去研究、去發掘、去創造。

數學中的一個結論（定理、公式、圖形）、一種證明、一項計算、一份解答，如果看上去很美（簡練、和諧、巧妙、生動……），差不多可以說它是正確的。這就是說：從美學角度探索數學中的一些現象，并揭示其中的某些規律，往往可以得到一些研究數學的方法。

簡言之，數學中的美需要被揭示、探討、挖掘，從而成為對美學乃至整個哲學的一種豐富；反過來，美學方法又可以指導數學學習和研究。

其實數學中的美的現象很早就為一些大數學家（如畢達哥拉斯、高斯等）所關注，并提出過不少精辟、獨到的見解，但遺憾的是他們未能有專門論著面世（我國古代數學家也從“趣味”角度探討過這類問題，雖然美包含趣味，但“趣味”并不等于美）。

古希臘哲學家蘇格拉底認為：最有益的即是最美的。因而，古希臘的美學是知識不可分割的一部分，這恰恰是由于當時許多學科的幼芽尚未從人類知識這棵大樹上長成獨立的枝干。當時的哲人們還認為：（現實）美和宇宙之美是統一的。

畢達哥拉斯學派（請注意這是一個數學團體）則認為這個學派在研究音樂時最早使用了數學（他們試圖提出一個關于聲調對比關系的數學表述：八度音與基本音調之比為1∶2，五度音等于2∶3，四度音等于3∶4，等等），這也是人們最早用數學方法研究美的實踐與創始。

至于數學，在當今的科學分類研究中，許多學者稱哲學和數學是普遍科學，且認為二者可應用于任何學科和領域，其差別在于刻畫現實世界時使用的方法和語言不同：哲學使用的是自然語言，數學使用的是人工語言（數學符號）；哲學使用的是辯證邏輯方法，而數學使用的是形式邏輯與數理邏輯方法。這樣哲學家有時可以“感覺到”思維的和諧，而數學家有時可以“感覺到”公式與定理的和諧，即美。

無論從哪個角度來看，數學美都是一個值得探討的話題。德國數學家庫默爾（E.E.Kummer）說：一種特別的美統治著數學王國，這種美與藝術美的相似性不如與自然美的相似性那么大，它反映了具有抽象能力的思想，它也會得到人們的欣賞，這一點很像自然中的美。

古希臘的亞里士多德認為：數學能促進人們對美的特性——數值、比例、秩序等的認識。

早在三十幾年前，筆者便在思考數學之美到底美在哪里，同時留意“數學美”的文字與資料，只是自嘆力有不逮，始終未敢妄動。試想：這樣一個宏大的課題，要用不太多的文字、在不太長的篇幅里將它全部（哪怕是一部分）展現出來，遠非易事。正如古希臘哲人蘇格拉底所說：美是許多現象所固有的一個唯一的東西，它有最普遍的具體性，但美是難以捉摸的。

“無知者無畏”，筆者曾斗膽撰寫了《數學中的美》。后來應北京大學出版社之邀承擔此書的寫作，鑒于叢書的要求，一切必須推倒重來。這是一件極不情愿卻又無可奈何，而且遠非輕松（也許會是費力不討好）的事情，婉拒未果，只得硬著頭皮答應。讀書、查資料，寫筆記……構思良久，始得框架，遂試圖以數學實例揭示數學潛在規律的同時，探索運用美學原理指導數學創造、發現的途徑。

如前所說，數學美的研究也是對美學自身的一種豐富。雖心里忐忑不安（因為一切要從零開始），但聊以自慰的是：我雖年邁但尚有精力和體力，而我會努力，且我在用心，加之還有北京大學出版社的鼎力支持，以及叢書的諸作者的勉慰，更有編輯陳靜的輔佐（書中不少圖片系她提供），成稿之余，筆者首先深深感謝他們。

如此一來，我的盡力縱然有瑕疵，即便是敗筆，一切也許能夠贏得讀者的理解與寬容。倘若如此，便沒有冷落我的勞動，足矣。