基于核心素養的高中數學單元教學策略

趙萍

高中數學單元教學是基于發展核心素養的課程改革的需要。通過整體安排單元教學內容，總結單元教學整體框架和高效路徑，提供教師單元教學策略，改變學生當前淺層學習的現狀，發展學生的核心素養，以實現“立德樹人”的育人目標。

一、借助單元教學，明確教學單元的核心素養

普通高中教科書“圓錐曲線的方程”單元的主要內容包括橢圓、雙曲線、拋物線等內容。教學前，總攬全章，從核心素養的角度進行梳理，不難發現本單元蘊含的主要核心素養包括數學抽象、數學運算、數學建模、邏輯推理素養。

（一）創設情境，形成定義，發展學生數學抽象素養

教師將一條定長繩子的兩端固定在同一個定點上，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是什么曲線？學生們共同回答是：圓。

學生拿出準備好的繩子，同桌合作在白紙上將繩子的兩端固定在兩個定點上（兩定點的距離小于繩長），鉛筆拉緊繩子，移動筆尖，得到的軌跡是什么曲線？

以活動為載體，引導學生自己畫出橢圓，經歷知識的形成過程，積累感性認知，讓學生在做中學數學，同時培養學生的直觀想象能力。

教師引導學生觀察在橢圓形成的過程中哪些量變了？哪些量沒變？

引導學生觀察兩定點的距離和定長之間有無關系？

引導學生類比圓的定義形成，得出橢圓的定義。進一步追問常數等于或小于兩定點距離時，點的軌跡存在嗎？是什么？

使用信息技術軟件（如GeoGebra）畫出筆尖移動的軌跡，觀察這個軌跡，發現它是一個橢圓或線段。利用信息技術軟件可以形象、直觀地表明定義中的必備條件，讓學生體會數學的理性與嚴謹，培養學生的數學抽象素養。

（二）類比研究，推導方程，發展學生邏輯推理素養

類比橢圓標準方程的研究過程與方法、建立雙曲線的方程，在對比橢圓、雙曲線定義的基礎上，讓學生自主推導雙曲線的方程；并對橢圓、雙曲線的標準方程進行比較，分析它們結構的異同，發現不同形式的標準方程以及不同點。

教師在教學過程中，激活學生已有的認知結構，用類比思想為研究雙曲線找到了方法和策略。通過類比橢圓方程的研究過程，建立的坐標系不同，雙曲線方程的表達式也不同，讓學生進一步鞏固如何建系才能使雙曲線的方程更簡捷，加深理解根據對稱性建系方程更簡捷的思想。

（三）自主探究，化簡方程，發展學生數學運算素養

推導圓的方程時，由圓的定義列出方程涉及一個根號，所以我們直接平方去掉根號即可，而由定義列出的橢圓方程含有兩個根號，直接平方方便化簡嗎？請同學們試一下。

課堂上，教師可以讓前后四人作為一個小組合作交流，看看怎么辦？

學生經過交流后發現兩個根號在一側不好化簡，可以對這個式子變形，轉化成我們熟悉的一個根號的問題再化簡，即移項。

通過小組合作突破難點“怎么化簡帶根式的式子”。利用希沃白板軟件的交互性將學生的推導過程投影展示，并請學生本人做簡要陳述。教師讓學生觀察x2、y2的系數以及常數項，考慮怎樣能讓方程

（a2-c2）x2+a2у2=a2（a2-c2）更簡捷。

學生指出兩邊同時除以a2（a2-c2）。

教師馬上問可以除嗎？還能讓方程? +? ? ?=1再簡潔嗎？

學生回答：因為a2-c2>0，類比圓的標準方程，所以令“b2=a2-c2”。

由此得到了橢圓的方程? +? =1（a>b>0），該方程叫作焦點在x軸上的橢圓的標準。

（四）去偽存真，運用知識，發展學生數學建模素養

焦點在x軸上的橢圓的標準方程? +? =1（a>b>0）；

焦點在y軸上的橢圓的標準方程? +? =1（a>b>0）；

如何從橢圓的標準方程中判斷橢圓焦點的位置？

學生經過小組討論，總結出哪個變量下的分母大，焦點就在哪個軸上。

通過歸納總結，強化學生對兩個橢圓方程的理解，有助于教學目標的實現，使學生體會類比的思想方法，為后續雙曲線、拋物線及其他知識的學習打下基礎。

從現實情境中抽象概括出橢圓、雙曲線、拋物線的定義，發展數學抽象素養。

觀察圓錐曲線形狀，通過對標準方程的討論，研究它的的幾何性質，發展邏輯推理素養。

在求圓錐曲線的標準方程中，把握運算的關鍵點，掌握運算的通性通法，感悟運算的程序性，發展數學運算素養。

將本章具有實際背景的問題數學化，用相應的圓錐曲線的知識方法準確表達數學化過程和結果，從而解決簡單的實際問題，發展數學建模素養。

二、立足教學整體觀念，做好單元教學設計，聚焦核心素養

為提升學生的核心素養，應立足于數學的整體觀念進行單元設計，要通過集體的問題情境激發學生“用數學的眼光看問題并進行數學思考”，以便學生體驗和領悟核心素養。

（一）站在“學會抽象”的高度，建立概念

概念的建立過程具有一般性，今天建立概念的模式既是對過去概念模式的再現，又是以后概念建立的基礎。比如雙曲線概念的教學，筆者課前讓學生梳理圓、橢圓的學習過程，研究的一般內容、模式、步驟是什么，形成一份表格。然后再呈現新的情境，這樣學習的線索就很明確了。同時，通過雙曲線概念的再次強化，“概念抽象”的一般模式就被學生接受了。

案例：雙曲線概念的教學設計。

一般說來，研究一類新對象要關注以下幾點：（1）它是什么（抽象出一類對象的共同特質、建立概念）；（2）對象命名（類名稱與個體的符號記法）；（3）要素分析（構成元素、基本結構）；（4）對象管理（簡單分類、每個對象的表達與表現）；（5）對象運算（運算、性質）；（6）概念運用。

類比橢圓定義：|PF1|+|PF2|=2a，a>c>0，a2-c2=b2（b>0）

提出雙曲線定義：||PF1|-|PF2||=2a，c>a>0，c2-a2=b2（b>0）

類比橢圓標準方程：焦點在x軸上? +? =1；焦點在y軸上? +? =1；推出雙曲線標準方程：焦點在x軸上? -? =1；焦點在y軸上? -? =1。

（二）從“學會推理”的高度，提出問題

在教學過程中，要從“怎樣進行推理”的角度提出問題，要引導學生圍繞“怎樣進行推理”進行反思、內省，而不是僅僅關注推理的結果。

當學生對新的領域還比較陌生，對新領域內知識點之間的邏輯關系不清楚時，很難找到研究的線索、方向。采用類比推理，情況就不一樣了。所以，波利亞說：“類比是一個偉大的引路人。”同樣地，歸納推理也是建立新命題、發展新知識的重要方式。因此，在教學過程中通過恰當的設計，學生的學習就變成了在教師引領下的“再創造”的過程，學生經歷“觀察、歸納、猜測、計算、推理、驗證”等數學活動，推理的能力在潛移默化中得到了提升，從而發展了核心素養。

（三）從“理解算理”的高度，設計題組

變式教學實現了歷史過程再現化，形式相同、本質不同的問題同時集中在一起，就便于學習者進行比較、概括與抽象，便于抓住問題的本質，是教師使用最多的一種教學形式。在本單元中，橢圓、雙曲線、拋物線的方程與簡單幾何性質方法彼此都不一樣。完全可以在本單元結束后，采用變式題組的辦法，將它們集中在一起讓學生比較，這具有很好的啟發性。

（四）從強化“建模意識”的高度，應用數學

另外，“圓錐曲線的方程”單元整體結構也體現了數學建模的思想：描述現實問題情境—建立數學模型—解決實際問題。在整個單元教學結束時，要組織學生回頭看，采用整體回顧的方法，讓學生體會整章的知識結構，體驗宏觀的建模過程，提升建模能力。教師沒有建立一種整體的觀念，沒有整體、全局地看問題，蘊含在其中的大道理、大的邏輯線索沒有被覺察出來，學生自然不可能建立正確的數學理解，更談不上形成素養了。

三、基于自主探究與自我內省，實施好教學過程

單元教學便于教師明了教學單元涉及的核心素養，深入鉆研課程標準和教材，根據學生的實際，創設合適的教學情境、以學生為主體，精心安排學生活動，著眼于整體的教學設計，將數學核心素養的提升目標落實到課堂教學中，便于教師在教學中聚焦核心素養，基于學生自主探究，自我內省的教學實施過程，便于學生將活動經驗內化為數學素養。

（徐德明）