聚焦圓錐曲線的離心率問題

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學 徐春生

一、由定義求離心率

例1設F1、F2分別是橢圓)的左、右焦點,M為直線y=2b上的一點,△F1MF2是等邊三角形,則橢圓C的離心率為( )。

解析:因為△F1MF2是等邊三角形,M為直線y=2b上的一點,所以M(0,2b),|MF1|=|F1F2|,即

因為b2=a2-c2,所以4a2=7c2,即a=。

所以橢圓C的離心率,選C。

點評:根據橢圓或雙曲線的定義,求出a,c或列出關于a,c的等式,得到關于e的方程,進行求解。

二、由幾何性質求離心率

例3設F1、F2分別為雙曲線C:的左、右焦點,P是雙曲線C上一點。若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小內角為30°,則雙曲線C的離心率為_____。

解析:根據雙曲線的對稱性,不妨設點P在第一象限,則解得

又因為|F1F2|=2c,所以△PF1F2中|PF2|最小,故∠PF1F2=30°。

解析:如圖1,設PF1的中點為M,連接PF2。因為O為F1F2的中點,所以OM//PF2, ∠PF2F1=∠MOF1=90°。

圖1

因為∠PF1F2=30°,所 以|PF1| = 2|PF2|,|F1F2| =

由橢圓的定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,所以

點評:涉及焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等來求得e的值。

三、由齊次方程求離心率

例5已知橢圓b>0),A,B分別為橢圓C的左頂點和上頂點,F為右焦點,且AB⊥BF,則橢圓C的離心率為_____。

解析:在△ABF中,|BF|=a,|AF|=a+c。

由AB⊥BF,得|AB|2+|BF|2=|AF|2。將b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0,解得

因為0

例6雙曲線若矩形ABCD的四個頂點在雙曲線E上,AB,CD的中點為雙曲線E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則雙曲線E的離心率是 。

圖2

又因為2|AB| =3|BC|,所以2c,即2b2=3ac。

因為b2=c2-a2,所以2(c2-a2)=3ac。兩邊同除以a2并整理得2e2-3e-2=0,解得e=2或(舍去),所以雙曲線E的離心率是2。

點評:利用定義以及圖形中的幾何關系建立關于參數a,b,c的關系式,結合c2=a2+b2(或a2=b2+c2),化簡為參數a,c的關系式進行求解。