不同視角推導橢圓標準方程

■成都經濟技術開發區實驗中學校 杜海洋

在學習橢圓及其標準方程時,其中涉及對橢圓方程進行化簡,課本上呈現出同學們易懂的通性通法(去根號化簡),但過程運算量較大,是否還會有其他路徑化簡呢? 本文就通過不同視角推導其標準方程,以饗讀者!

1.根據定義推導橢圓標準方程

如圖1,取過焦點F1,F2的直線為x軸,線 段F1F2的垂直平分線為y軸,設P(x,y)為橢圓上的任意一點,橢圓的焦 距 是2c(c>0)。則F1(-c,0),F2(c,0)。設P與F1,F2距離之和等于2a(2a>2c)(常數),則P={P||PF1|+|PF2|=2a}。

圖1

下面對此等式進行化簡。

解法1:課本方法(兩次平方去根號)

2.推導感悟

解析幾何其本質為“幾何”,如在推導過程中產生不同的表達形式都隱藏其“幾何”意義,如

當x≠±a時,有(定值),其對應《選擇性必修第一冊》第113頁例6:動點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和M到定直線l:的距離的比是常數,求動點M的軌跡。請同學們自行查閱相關資料。