例說解析幾何中的經典解法

■河南省南陽市一中 王喜朝

解析幾何是考查“數學運算,邏輯思維,數學建模”等數學素養的絕佳載體,是對同學們的數學思維、科學思維影響最大的一個模塊。解析幾何是“多思考少計算的最佳代表”,研究解析幾何中的經典解法很有意義,用一句話來概括就是:幾何優先,代數為本,優化算法,熟記結論。下面筆者結合實例來說明,以期能夠拋磚引玉。

一、巧用圖形性質捕捉幾何解法

解析幾何是數形結合的典范,不同的題型側重點有所不同,由于幾何解法不易嚴謹地表達出來,故幾何解法更多地在填空、選擇題中體現。很多圓錐曲線題如果能夠找到幾何解法,就會比代數解法簡便。

例1(2022 年新高考Ⅰ卷第16 題)已知橢圓C,橢圓C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,離心率為。過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D,E兩點,|DE|=6,則△ADE的周長是____。

如圖1,因為橢圓C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,所以△AF1F2為等邊三角形。

圖1

因過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D,E兩點,故

由等腰三角形的性質可得,|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|。

設直線DE的方程為D(x1,y1),E(x2,y2)。

將直線方程與橢圓方程聯立,化簡可得13x2+8cx-32c2=0。

點評:利用等腰三角形三線合一,得出△ADE?△F2DE,進而用橢圓定義求周長,避免了直接計算三邊長的煩瑣計算。

二、厘清圖形生成過程,找到解題思路

解析幾何的基本思想是用代數解析方法解決幾何問題,因此解析法是處理解析幾何問題的根本方法。通過厘清圖形的生成過程,依據正確的畫圖順序來順藤摸瓜,是找到解析幾何解題思路的一種常用方法。

(1)求橢圓的方程。

(2)如圖2,設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H。若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍。

圖2

分析:本題(2)中,命題人不僅未提供圖形,還故意打亂了圖形的生成過程,大大增加了思維難度。我們經過認真梳理,發現應該是這樣的作圖順序:設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),連接BF,過F作FH⊥BF交y軸于H,過H作HM⊥l于M。這樣,由B點坐標求出直線BF的方程,進而求出FH的方程,得到H點坐標,從而得到HM的方程,最終解出M點坐標。再化簡條件:∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|,即xM≥1。解題思路是先聯立方程組求B,再根據BF⊥HF求出H,然后求出xM,代入xM≥1解出取值范圍。

點評:厘清圖形生成的過程,畫出圖形,進而追根溯源,就容易找出代數解析方案。

三、探究命題意圖,優化解題方案

認真審題是正確解題的前提。深刻領會命題人的命題意圖,正確提取題中信息,把所求問題準確轉化為等價的更簡捷的數學問題是解決壓軸題的必備素養。

例3(2020年新高考Ⅰ卷)已知橢圓)的離心率為,且過點A(2,1)。

(1)求橢圓C的方程。

(2)點M,N在橢圓C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值。

分析:(1)由題意得到關于a,b,c的方程組,求解方程組可確定橢圓的方程為。(2)中存在定點Q,使得|DQ|為定值,表面上說的是求證點D的軌跡為一個圓,注意到AD⊥MN,就可以明白命題人的真實意圖是讓證明直線MN過定點,這樣思路就完全打開了。設出點M,N的坐標,當斜率存在時設方程為y=kx+m, 聯立直線方程與橢圓方程,根據已知條件可得到m,k的關系式,進而得直線MN恒過定點;當直線斜率不存在時,要單獨驗證,然后結合直角三角形的性質即可確定滿足題意的點Q的位置。

i)如圖3,當直線MN的斜率存在時,設方程為y=kx+m。

圖3

代入橢圓方程消去y,并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0。

根據y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理可得:

(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0。

因為A(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,2k+3m+1=0,k≠1。

于是MN的方程為

ii)如圖4,當直線MN的斜率不存在時,可得N(x1,-y1)。

圖4

代入(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,得(x1-2)2+1-y21=0。

由于AE為定值,且△ADE為直角三角形,AE為斜邊,所以AE中點Q滿足|QD|為定值(AE長度的一半)。

由于A(2,1),,故由中點坐標公式可得

點評:本題關鍵是做第二問時領悟出命題人本意是把問題轉化為直線MN經過定點,避免直譯求點D軌跡,從而使解題方案得到優化。

四、感悟巧思妙解,攻克運算瓶頸

傳統的聯立方程使用韋達定理設而不求的方法是解析幾何的基本方法,但是有時計算量較大,以至于許多同學知道思路但無法正確算出最后結果。因此,平時需要積累一些題型的巧思妙解,讓同學們感悟其能簡化運算的原因,進而自覺去應用,這一點意義重大,很有必要。例如,當處理斜率乘積及斜率和為定值的定點定值問題時,就可以用齊次化方法來解。

例4(2017 年全國Ⅰ卷)已知橢圓,四點P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點在橢圓上。

(1)求橢圓C的方程。

(2)設直線l不經過點P2,且與橢圓C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:直線l過定點。

解析:(1)因為點P3,P4關于x軸對稱,四個點中有三個點在橢圓上,所以P3,P4一定同時在橢圓上,點P1不在橢圓上。因為P2(0,1)在橢圓上,所以b=1。解得橢圓方程為

(2)(解法一)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1和k2。如果直線l與x軸垂直,設l:x=t,由題設知t≠0且|t|<2,可得A,B的坐標分別是,于是,得t=2,不符合題意。

從而可設l:y=kx+m(m≠1),將直線方程與橢圓方程聯立可得:

(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0。

由題設可知Δ=16(4k2-m2+1)>0。

代入直線l的方程mx+n(y-1)=1,化簡得n(y+1)=-m(x-2),所以直線l過定點(2,-1)。

點評:齊次化法能解決兩條直線斜率之和(積)為定值的圓錐曲線問題,運算量相對較小。類似的技巧還有:巧用韋達定理求點坐標,巧用同理求點坐標,巧用直線參數方程求線段乘積等。同學們可以循序漸進去積累,并真正弄懂悟透,不要急于求成,以免欲速則不達。

五、熟記基本結論,節省解題時間

課后練習、作業、考試試卷中會有一些問題的奇妙結論,我們可以把這些結論提取出來進行記憶,并經常總結、整理、復習、應用。比如例1 中算出后,可以利用橢圓的焦點弦長公式快速得到