接觸式輪廓儀測量的自動標注問題探究
——基于最小二乘法

蔣培軍

（三門峽職業技術學院 汽車學院，河南 三門峽 472000）

0 引言

輪廓測量儀作為一種精密設備常用于測量各種機械零件的截面輪廓形狀和素線形狀[1]。如在機械行業中，用于測量不同零件的線輪廓度、角度、直線度和平行度等；在汽車制造行業中，用于測量齒輪及油泵油嘴形狀、汽車活塞外形等。接觸式輪廓儀具有測量速度快，操作方便，結果可靠等優點，并且對于復雜工件也可實現測量。但是，由于存在探針缺陷、探針粘塵及掃描位置偏移等問題，易導致測量的輪廓曲線粗糙，影響工件形狀的精確標注[2]。因此，利用測量數據建立數學模型，并對工件形狀進行準確標注有重要意義。

1 接觸式輪廓儀的測量原理及測量數據

圖1 是一種常用的接觸式輪廓儀，其結構包括固定架、可調三維平臺、傳感器、探針等部件。接觸式輪廓儀為接觸測量，通過儀器的觸針與被測表面的滑移實現對被測物的測量[3]。輪廓儀傳感器通過感知被測物表面的幾何變化，在兩個維度分別采點，并將采集的信息轉換成電信號，再將電信號處理轉換為數字信號進行存儲，實現對工件的測量[4]。

圖1 接觸式輪廓儀及其結構組成

表1 給出了接觸式輪廓儀測量的某工件水平狀態下的輪廓線部分數據，數據來源于2020 年中國大學生數學建模競賽D 題附件。該工件的具體輪廓如圖2。圖2 中，工件輪廓線由圓弧段和直線段構成，且均為平面曲線。對該工件進行準確標注，需利用數學方法擬合出各段曲線的表達式并求出節點坐標，進而標注輪廓線各項參數值[5]，如槽口寬度（x1，x3等）、圓弧長度、水平線段長度（x2，x4等）、圓心之間的距離（c1，c2等）、圓弧半徑（R1，R2等）、人字形線的高度（z1）和斜線線段長度、斜線與水平線之間的夾角（∠1，∠2 等）。

表1 接觸式輪廓儀測量某工件輪廓部分數據

圖2 工件輪廓

2 輪廓儀標注模型構建

2.1 斜直線擬合

工件輪廓圖雖已給出，但仍需要與接觸式輪廓儀測量數據進行比對，以便確定工件輪廓線的具體坐標，完成對工件形狀的自動標注[6]。借助MATLAB 軟件，繪制輪廓儀測量數據散點圖如圖3，完成工件輪廓圖與接觸式輪廓儀測量散點圖的比對[7]。由于該工件的輪廓線由圓弧段和直線段構成，而直線段又包含水平直線段（斜率為零）與斜直線段（斜率非零），因此只需分別對這三類輪廓線建立模型并求解，即可完成對工件形狀的標注[8]。

圖3 接觸式輪廓儀測量散點圖

2.1.1 基于最小二乘法構建模型

由于種種原因，接觸式輪廓儀對復雜工件測量時會出現輪廓線粗糙不平現象，需借助數學優化方法進行擬合后對其進行精確標注。最小二乘法通過誤差平方和最小化尋找數據的最佳匹配函數，其目標是找到一組參數，使得擬合函數的預測值與實際觀測值的差異最小[9]。作為一種經典的數學優化方法，最小二乘法可用于解決未知參數估計及曲線擬合等問題，也可用于其他優化問題。例如，能量最小化或熵最大化等均可通過將問題轉化為最小二乘形式，應用最小二乘法來求解。因此，本文采用最小二乘法構建輪廓線的擬合模型。

對于工件輪廓中的斜直線段，以A4A5段為例，采用最小二乘法，建立斜直線擬合模型，其原理表達式為

其中，（xi，zi）為A4A5段輪廓儀測量數據，a，b 為待定參數。

由于節點A4和A5具體坐標未知，為便于模型擬合，選取A4A5段坐標的一個子區間段對斜直線模型式（2）進行擬合[10]。

式（2）中，ε 為隨機誤差項，且假設ε 滿足最小二乘模型對誤差項的基本要求。為了讓更多的測量點進入模型，結合圖3，選擇[52，52.5]區間段數據對A4A5段斜直線方程進行擬合。

對比輪廓儀測量數據，序號10 763—11 790共1 028 組數據在[52，52.5]區間段，將其作為樣本點，借助MATLAB 軟件[11]即可求得A4A5段擬合方程為

2.1.2 模型誤差項檢驗

對斜直線擬合模型及誤差項進行檢驗[12]，得到模型擬合優度為0.999 3，說明因變量的99.93 %變異可由自變量的變異解釋。模型F=1 498 817.76，對應概率P=0，在置信水平（1-α=0.95）下，表明模型通過顯著性檢驗，建立的斜直線模型有統計學意義[13]。

圖4 為斜直線模型誤差檢驗圖。由圖4a）可以看出：斜直線模型誤差隨機分布在零點附近，在1 028 組數據中，有743 項殘差在[-0.01，0.01]，占比72.28 %；有963 項殘差在[-0.02，0.02]，占比93.68 %，表明模型整體擬合效果較好。序號為280—344 的樣本點殘差超過了0.02，對比樣本點位置可知，該型號接觸式輪廓儀在工件幾何形狀發生改變一小段距離后會產生較大的測量誤差。

圖4 斜直線模型誤差檢驗結果

由圖4b）的殘差直方圖可看出，誤差項大致服從正態分布。為了定量化分析模型誤差項是否服從正態分布，采用K-S 檢驗[14]對斜直線模型誤差項進行分析。K-S 檢驗的原假設為H0，即斜直線模型誤差項分布與正態分布無顯著差異；備擇假設為H1，即斜直線模型誤差項分布與正態分布存在顯著差異。由表2 可看出，斜直線模型誤差項的K-S 檢驗統計量為4.122 2，對應的概率P=0.062 1>0.05，表示接受原假設，認為斜直線模型誤差項分布與正態分布無顯著差異，表明模型誤差項滿足最小二乘回歸對誤差項的基本要求[15]。

表2 斜直線模型誤差項K-S 檢驗表

對于其他斜直線段如A6A7、A9A10、A17A18等，都可類似給出擬合模型并進行檢驗。求出斜直線擬合方程后，可利用式（4）求出斜線與水平線間的夾角。例如：∠2=π-arctan 2.782 7=1.915 8，即角度為109.766 8°。對于其他各角可類似求解，本文不再贅述。

2.2 水平直線段擬合

對于工件中的水平直線段，以A5A6段為例，建立擬合模型。水平直線段可視作斜直線段斜率為零的一種特殊情況，對應的模型為

其中，c 為常數，其估計值為

對于A5A6段，選擇[53，57]區間段輪廓儀測量數據對其進行擬合。根據接觸式輪廓儀測量數據，找出x∈[53，57]的樣本點，其序號為12 796—20 795，在此區間的樣本點共有8 000 組，對其坐標zi求平均值，可得c^=-1.767 4。模型的顯著性檢驗及誤差項檢驗可參照2.1.2 節進行。對于其他水平直線段如A10A11、A15A16、A27A28等也可類似給出擬合模型。

2.3 圓弧段擬合

在平面直角坐標系中，圓的標準方程為

其變形式為

式（9）中D，E，F 為待定參數。

接觸式輪廓儀測量數據中，序號為8 531—9 729共計1 199 組數據在[50.9，51.5]區間段，將其作為樣本點，借助MATLAB 軟件中的非線性擬合函數[17]，求得段的擬合圓方程為

此外，工件的節點為斜直線段、水平直線段和圓弧段的交點，在已知輪廓曲線方程的情況下可以通過聯立方程組求解節點坐標。如對節點A5可聯立方程組為

由方程組（11）求得A5坐標為（52.658 4，-1.767 4）。其他節點坐標可類似求取。

3 模型的推廣與不足

接觸式輪廓儀自動標注模型的構建，是最小二乘法在機械加工領域的一項應用探索。經驗證，構建的模型可實現接觸式輪廓儀測量數據的校準，精確標注被測工件的各項參數，對接觸式輪廓儀的推廣及后續設計有積極作用。但是，模型建立也存在一些不足：

1）在各段輪廓線擬合時，采用對比法截取擬合數據區間段，存在一定的主觀性，會對模型精度產生影響；

2）只對圓弧段和直線段輪廓線建立了輪廓儀標注模型，對于其他曲線段輪廓線如何標注未做討論；

3）模型的誤差項中可能存在一些有價值的信息，還需進一步研究采用合適模型對誤差項信息進行提取，以進一步提高模型精度。

4 結束語

作為一種精密設備，接觸式輪廓儀在機械零件的截面輪廓形狀和素線形狀的測量中應用廣泛。為減少輪廓儀測量工件的輪廓曲線粗糙情況，更好地對工件形狀進行標注，針對數學建模大賽賽題提供的輪廓儀測量數據，基于最小二乘法對測量數據中的圓弧段和直線段輪廓線建立了標注模型。模型顯著性檢驗及誤差項檢驗顯示，提出的輪廓儀標注模型符合對隨機誤差項的基本假設，建立的模型具有統計學意義。輪廓儀測量數據與標注后數據進行擬合的效果對比表明，模型能一定程度上解決工件形狀不能準確標注的問題。