地下結構地震反應計算的Ritz 向量法

楊志恒 YANG Zhi-heng；陳攀 CHEN Pan；駱湘勤 LUO Xiang-qin；孫傳海 SUN Chuan-hai；吳德漢 WU De-han

（北京城建勘測設計研究院有限責任公司，北京 100029）

0 引言

地鐵車站構造復雜，其所處土層環境往往也很復雜，因計算機條件的限制，常采用二維模型進行地下結構抗震分析，為更深入研究地下結構地震反應規律，分析不同地震動場的綜合影響，采用地下結構三維整體模型進行研究是很有必要的[1]。同樣的原因，充分研究地下結構與鄰近地表結構（群）的相互作用問題[2]和“城市效應”問題[3]時都需要建立三維有限元模型。

雖然個人計算機硬件發展較十年前有較大進步，但三維土層-結構動力分析模型的自由度很大，在運算的時候就會出現運算時間過長和內存不足的情況。因此，三維模型高效快速計算問題，是土層-結構系統動力相互作用分析模型推廣應用所需要解決的關鍵問題之一[4]。

在快速高效計算方法發展方面，姜忻良研究了混合約束模態子結構法[5]。馮青松探索了約束模態綜合法在商用軟件ANSYS 平臺上的實現[6]。

以上研究成果均表明約束模態子結構法能在保證計算精度的前提下有效提高計算效率。因該類型的子結構需求解n 階廣義特征值問題，對于大型結構，其迭代求解仍然花費較多的計算時間，若采用Ritz 向量代替模態向量可以進一步提高計算效率，因為獲得Ritz 向量僅需解n 階線性代數方程組。本文探索基于Ritz 向量法在結構動力分析中應用的可行性。

1 理論分析

Ritz 向量法先假設有這樣一組比結構系統主模態集[Φm]相對來說更為有效的Ritz 向量基[X]=[x1，x2，…，xm]，則根據Rayeigh-Ritz 法，系統的位移動力響應可表示為：

通過遞推求解可獲得一組比模態向量更為有效的Ritz 向量基，遞推求解步驟如下：

首先，根據外荷載{f（s）}求解得到擬靜力反應{y1}：

將{y1}對質量陣[M]歸一化后求得第一個Ritz 向量{x1}：

按照這種方法產生m 個Ritz 向量后，就可得出廣義質量矩陣[M*]和廣義剛度矩陣[K*]。廣義矩陣[C*]由廣義質量和剛度矩陣線性組合而成。該方程可由逐步積分法求解。

將以上求解結構動力反應的方法稱之為Ritz 向量法，本文簡稱為MRV 法。

2 算例

本文關于MRV 法是通過自編代碼實現的，為驗證自編代碼的正確性，以商用軟件ANSYS 的常規有限元法的計算結果為標準，對比自編程序的計算結果，同時對比了本文方法與常規有限元法計算量差別。

2.1 懸臂梁算例

某懸臂梁橫截面尺寸為0.3m*0.5m，長2.8m，如圖1所示。彈性模量為7.3E8N/m2，密度1820kg/m3，泊松比0.25。用六面體八結點等參元離散該梁，其有限元網格如圖2 所示，模型共有840 個單元，1400 個自由結點，4200個自由度。

圖2 有限元網格

表1 列出了懸臂梁前12 階頻率值。商用軟件ANSYS給出的模態結果是采用Lanczos 法求解的，其中MRV 法取12 個Ritz 向量進行計算，從表1 可以看出，MRV 法求得的前6 階低階頻率值有9 個以上的精確的有效數字，說明該方法自編代碼正確。關于此懸臂梁的模態計算，常規有限元法需要4200 個自由度，而MRV 法僅需12 個自由度就能達到滿意精度。

表1 懸臂梁前12 階頻率 單位：Hz

為進一步驗證本文方法的計算精度，下面以人工地震波為激勵，計算該懸臂梁梁端時程反應，并與ANSYS 計算結果對比。（圖3）

圖3 MRV 法和ANSYS 計算結果對比

運用MRV 法時，分4 種情況：分別取10、12、20 和30個Ritz 向量。將原系統降階后的運動方程如式（2），其中阻尼矩陣中的質量矩陣比例系數取1.5259，剛度矩陣比例系數取0.0015。運用NewMark 法求解該運動方程時，積分系數γ 和β 分別取0.25 和0.5。計算結果列于表2。

表2 MRV 法計算結果

表2 列出了懸臂梁在人工基巖波豎向激勵下，梁端豎向位移與加速度的地震反應。從表中數據可以看出，MRV法計算結果與ANSYS 計算結果接近，取10 個Ritz 向量計算時，位移結果有5 個相同的有效數字；加速度結果有3個相同的有效數字，加速度誤差僅為0.15%。

2.2 地下結構算例

選用雙層雙柱島式地鐵車站為研究對象。地面至車站頂的距離為2m，車站寬20m，高11.54m，中跨寬6m，側跨寬6.3m，上層高3.5m，下層高6.24m。頂板、側墻0.8m 厚，底板厚0.9m，中柱截面為0.6m×0.8m。車站橫截面如圖4所示。不考慮土體的非線性特性接觸非線性。

圖4 地鐵車站標準段橫截面

模型深度范圍取至基巖面處，即深度取230m，水平方向長度取2320m，場地土層性質見表3。有限元網格示意圖詳見圖5。

表3 場地土物理力學參數

圖5 二維模型有限元網格示意圖

三維模型土體部分采用八節點六面體等參元離散，中柱部分為三維梁單元離散。約束模型底部結點的所有自由度，作為地震輸入激振面。選用kobe 波和汶川波作為激勵，計算地下結構地震反應。為評價MRV 法的計算精度，也列出了ANSYS 的計算結果如表4。

表4 地下結構地震反應

表4 列出了在kobe 波和WC 波作用下地下結構的地震反應。從表中數據可以看出，MRV 法計算結果精度較高，相對于ANSYS 計算結果，誤差最大不超過7%，但計算自由度僅為ANSYS 計算自由度的1/10 左右。這說明MRV法在地下結構地震反應分析中能極大提高計算效率。

3 結論

本文分別以懸臂梁和一地鐵車站為算例，采用MRV法與ANSYS 有限元軟件兩種計算方法進行計算，對比了MRV 法與ANSYS 的計算結果，得出如下結論：

①采用ANSYS 軟件運用Lanczos 法求解結構模態特性，常規有限元法需要4200 個自由度，然而采用MRV 法求結構模態僅需12 個自由度就能達到滿意精度。

②懸臂梁在人工基巖波豎向激勵下，MRV 法計算結果與ANSYS 計算結果非常接近，取10 個Ritz 向量計算時，位移結果有5 個相同的有效數字；加速度結果有3 個相同的有效數字，加速度誤差僅為0.15%。

③MRV 法能有效求解大規模地下結構地震反應問題，在僅用約1%普通有限元法自由度的情況下，計算誤差不超過7%。