基于互質(zhì)陣列的近場(chǎng)源位置估計(jì)方法

王緒虎, 田雨, 張群飛, 李恩玉, 金序, 侯玉君

(1.青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院, 山東 青島 266520; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安 710072)

0 引言

隨著第5代移動(dòng)通信(5G)技術(shù)的發(fā)展,車聯(lián)網(wǎng)(IOV)[1-2]技術(shù)成為未來發(fā)展趨勢(shì)之一,而車輛定位[3-5]技術(shù)是IOV的重要分支,需要十分精確的位置和方向信息用于路徑規(guī)劃和安全操作,并且獲取信息不會(huì)受天氣因素和周圍環(huán)境的影響。車輛位置可以借助北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)獲得,但該方法時(shí)延和估計(jì)精度誤差很大,尤其在隧道或云層較厚等環(huán)境中,極大影響該方法的使用,因此無線網(wǎng)絡(luò)協(xié)作定位方法[6-7]成為車輛定位的研究方法之一,常用的方法是波達(dá)方向(DOA)估計(jì),即通過無線接入點(diǎn)(WAP)與車輛傳感器陣列共同配合,實(shí)現(xiàn)估計(jì)方位和距離功能,從而確認(rèn)車輛位置。

陣列孔徑是影響估計(jì)精度因素之一,與均勻線列陣相比,互質(zhì)陣列具有高自由度(DOF)的優(yōu)勢(shì),且能克服均勻線列陣間距受半波長限制的缺陷,因此互質(zhì)陣列研究逐漸受到學(xué)者的重視。與互質(zhì)陣列傳統(tǒng)方法[8-12]相比,基于壓縮感知和稀疏重構(gòu)的DOA估計(jì)方法,在低信噪比(SNR)或少快拍數(shù)等情況下能表現(xiàn)出更準(zhǔn)確的估計(jì)精度,因此文獻(xiàn)[13-17]提出了互質(zhì)陣列的各種處理方法,然而上述方法主要是針對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)提出的,無法直接套用在近場(chǎng)信號(hào)模型。針對(duì)近場(chǎng)模型,許多學(xué)者將傳統(tǒng)的多重信號(hào)分類(MUSIC)方法進(jìn)行了改進(jìn),提出了新的基于子空間的近場(chǎng)源(SLONS)定位方法[18]、降維MUSIC(RDMUSIC)方法[19]和改進(jìn)近場(chǎng)MUSIC(INF-MUSIC)方法[20]等,上述方法不需要二維峰值搜索便可實(shí)現(xiàn)位置估計(jì),并且可以實(shí)現(xiàn)估計(jì)角度與距離的一一匹配,大大降低了計(jì)算復(fù)雜度。然而,上述方法進(jìn)行了降維處理,依然需要多次一維搜索,會(huì)影響該方法的估計(jì)精度。文獻(xiàn)[21]在L1范數(shù)奇異值分解(L1-SVD)方法基礎(chǔ)上,提出了一種重新加權(quán)平滑的L0范數(shù)稀疏近場(chǎng)參數(shù)估計(jì)方法,該方法大大降低了計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[22]提出了一種無搜索近場(chǎng)源定位方法,通過參數(shù)分離和多項(xiàng)式根運(yùn)算,獲得了信號(hào)方位估計(jì)和距離估計(jì)值,該方法避免了譜搜索和參數(shù)配對(duì),提高了估計(jì)性能。上述方法都基于均勻線列陣,所能估計(jì)的信源數(shù)受到陣元數(shù)目的限制,估計(jì)多個(gè)目標(biāo)位置信息會(huì)增大系統(tǒng)硬件成本開銷。互質(zhì)陣列能有效地解決這一問題[23],因此本文提出了一種基于互質(zhì)陣列的近場(chǎng)源定位估計(jì)方法。所提方法通過迭代方法來逐步修正角度偏移向量,從而得到角度參數(shù)估計(jì)值;將已估計(jì)出角度值代入模型,通過迭代方法來逐步修正距離偏移向量,得到距離參數(shù)估計(jì)值。所提方法的處理過程能自動(dòng)匹配估計(jì)角度與估計(jì)距離,同時(shí)在數(shù)據(jù)預(yù)處理過程中,使用對(duì)稱陣列的協(xié)方差,消除了噪聲的影響,提高了入射角度和距離的估計(jì)精度。

1 近場(chǎng)源信號(hào)模型

兩個(gè)不同間距的均勻線列陣嵌套構(gòu)成一個(gè)稀疏陣列,互質(zhì)陣列近場(chǎng)信號(hào)源模型如圖1所示。陣元的位置索引可表示為Ω=-ΩC∪ΩC,其中

ΩC={Mn|0≤n≤(N-1)/2}∪ {Nm|0≤m≤(M-1)/2}

(1)

式中:M和N為互質(zhì)的整數(shù)。陣列1是N元均勻線列陣,間距為Md,陣列2是M元均勻線列陣,間距為Nd,d表示單位間距,一般將其設(shè)為d=λ/4,λ表示波長。

圖1 近場(chǎng)信號(hào)源模型結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Model configuration of near-field source

假設(shè)K個(gè)近場(chǎng)信號(hào)源入射到該互質(zhì)陣列上,入射角度為θ=[θ1,…,θk,…,θK],θk表示第k個(gè)信源與參考陣元的角度,入射距離為r=[r1,…,rk,…,rK],rk表示第k個(gè)信源距參考陣元的距離,sk(t)表示第k個(gè)信號(hào)源,其中k=1,2,…,K,則第i個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元來說,相對(duì)時(shí)延為

(2)

式中:Ωi表示第i個(gè)陣列的索引1≤i≤M+N-1;c表示信號(hào)的傳播速度。借助泰勒展開式,忽略 3階及以上階數(shù)的項(xiàng)數(shù),則得到相對(duì)延遲相位為

(3)

陣列接收數(shù)據(jù)模型為

Y(t)=A(θ,r)s(t)+n(t)

(4)

2 離網(wǎng)格稀疏表示估計(jì)方法

2.1 角度參數(shù)估計(jì)

第Ωi1個(gè)陣元與第Ωi2個(gè)陣元之間的空間相關(guān)性可以寫為

(5)

(6)

將式(6)寫成向量的表達(dá)形式,得到

(7)

(8)

式中:pθ表示網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的功率,是實(shí)際功率p的零擴(kuò)展。如果信號(hào)源的入射方向不在預(yù)設(shè)的網(wǎng)格上,則借助泰勒展開式得

(9)

(10)

(11)

然而上述問題會(huì)存在NP-Hard問題,文獻(xiàn)中已經(jīng)提出了各種方法來解決優(yōu)化公式(11),其中有代表性的是LASSO方法,該方法將式(11)中的L0范數(shù)用L1范數(shù)代替。文獻(xiàn)[16]利用對(duì)數(shù)和的方法進(jìn)行推導(dǎo),未知的功率矢量pθ和網(wǎng)格誤差δθ可以用以下方法求解:

(12)

(13)

(14)

(15)

式中:μ1表示角度網(wǎng)格的梯度下降系數(shù)。令式(14)中的參數(shù)表示為

(16)

(17)

式中:eu表示U×1維的單位列向量,第u個(gè)位置為1,其他位置全為0。

(18)

則?f1(δθ)/?δθ可得

(19)

(20)

2.2 距離參數(shù)估計(jì)

在得到估計(jì)角度后,新的接收數(shù)據(jù)模型變?yōu)?/p>

Y(t)=Aφ(,r)s(t)+n(t)

(21)

式中:Aφ(,r)是關(guān)于距離r的流形矩陣,表示K個(gè)估計(jì)值,Aφ(,r)=[aφ(1,r),…,Aφ(K,r)],信源距離r的分布空間為[0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ],D為陣列孔徑大小。參照DOA求解過程,本文將信源距離r的空間均勻劃分V份,得到網(wǎng)格點(diǎn)集合為Γ=[r1,r2,…,rV],進(jìn)而得到離格場(chǎng)景下的稀疏模型為

Y(t)=Aφ(,Г)x(t)+n(t)

(22)

式中:x(t)表示原始信號(hào)s(t)的0擴(kuò)展,在接近信號(hào)距離位置有值,其他位置全為0;Aφ(,Γ)=[aφ(1,Γ),…,aφ(K,Γ)]表示離散距離的完備基流型矩陣。假設(shè)信號(hào)與參考陣元之間的距離不在預(yù)設(shè)網(wǎng)格上,那么則借助一階泰勒展開式得到

Υ(,Γ)≈Aφ(,Γ)+Bφ(,Γ)diag(δr)

(23)

式中:Bφ(,Γ)=[bφ(1,Γ),bφ(2,Γ),…,bφ(K,Γ)],bφ(,Γ)=?aφ(,Γ)/?Γ;δr表示距離誤差,δr=[δr1,δr2,…,δrV]。在存在距離網(wǎng)格條件下,陣列接收數(shù)據(jù)表達(dá)式為

Y(t)=Υφ(,Γ)x(t)+n(t)

(24)

因此,得到的實(shí)際接收數(shù)據(jù)與離網(wǎng)格模型接收的數(shù)據(jù)誤差達(dá)到最小,定義目標(biāo)函數(shù)為

(25)

(26)

式中:μ2表示距離網(wǎng)格的梯度下降系數(shù)。令Cv=?Υφ(,Γ)/?δrv=Bφ(,Γ)diag(ev),ev表示V×1維的單位向量,在第v個(gè)位置為1,其余位置為0,1≤v≤V。則對(duì)距離誤差矢量某一個(gè)元素求導(dǎo)?f2(δr)/?δr,得

(27)

(28)

2.3 本文方法步驟

離網(wǎng)格互質(zhì)陣列近場(chǎng)信號(hào)位置估計(jì)的實(shí)現(xiàn)過程為:

1)得到近場(chǎng)模型的接收數(shù)據(jù),采用式(7)的思想構(gòu)造新的協(xié)方差數(shù)據(jù)rθ;

2)將空間區(qū)域[-π/2 rad,π/2 rad]均勻劃分成U份,得到式(10)離散網(wǎng)格模型;

3)固定角度網(wǎng)格間距δθ,利用式(13)求功率θ;

6)將距離區(qū)域[0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ]均勻劃分成V份,得到式(24)離散網(wǎng)格模型;

7)得到定義的最優(yōu)化問題,將式(25)中距離網(wǎng)格誤差矢量進(jìn)行求導(dǎo),利用式(26)梯度下降原理得到網(wǎng)格誤差δr;

8)當(dāng)滿足距離誤差精度的條件,利用式(28)確定入射角度所對(duì)應(yīng)的距離,否則進(jìn)入步驟7,直到滿足條件或者達(dá)到最大迭代次數(shù)停止,最后輸出入射角度與距離所對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖像。

3 仿真實(shí)驗(yàn)仿真及性能分析

為了驗(yàn)證所提方法在DOA估計(jì)方面的卓越性能,并與其他現(xiàn)有的方法進(jìn)行比較,包括SS-MUSIC方法[13]、JLASSO方法[14]、ESPRIT方法等。在仿真實(shí)驗(yàn)中,SS-MUSIC和ESPRIT方法需要提前知道信號(hào)源個(gè)數(shù),而其他方法則不需要假設(shè)信源數(shù)。在空域區(qū)間-90°～90°劃分網(wǎng)格,步長3°,選擇菲涅爾模型距離區(qū)間,以步長3 m劃分網(wǎng)格。模擬條件下SNR為10 dB,快拍數(shù)取500。考慮互質(zhì)陣列中子陣列傳感器數(shù)量M=5、N=3,則互質(zhì)陣列陣元位置索引為Ω=[-6,-5,-3,0,3,5,6]。

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1.1 功率譜圖分析

為了驗(yàn)證所提出的方法在DOA估計(jì)的可行性,與SS-MUSIC方法和JLASSO方法進(jìn)行比較。取K=3個(gè)窄帶不相關(guān)的近場(chǎng)信號(hào)源,角度與距離分別為[-22.87°,25.42 m]、[25.19°,34.66 m]和[43.21°,59.18 m],得到歸一化功率譜圖如圖2所示。

圖2 各類方法的歸一化功率譜圖Fig.2 Normalized power spectra of various methods

圖2的仿真結(jié)果表明上述3種方法都能估計(jì)出信號(hào)的入射角度θ。但是,從歸一化功率譜圖上可以看出,JLASSO方法會(huì)在實(shí)際入射角度位置產(chǎn)生偽峰,極大地影響了該方法的估計(jì)性能,SS-MUSIC方法與本文方法都能估計(jì)出信號(hào)角度,但是SS-MUSIC方法的估計(jì)精度取決于預(yù)設(shè)的掃描角度間隔,SS-MUSIC方法的峰值所對(duì)應(yīng)的角度與實(shí)際角度有誤差,且歸一化功率分布不均衡。而本文方法估計(jì)的角度幾乎與實(shí)際角度重合且歸一化的功率都到了0.9以上,所以本文方法的估計(jì)性能要優(yōu)于SS-MUSIC方法。

3.1.2 角度與距離估計(jì)分析

取K=3個(gè)窄帶不相關(guān)的近場(chǎng)信號(hào)源,角度與距離分別為[-22.87°,25.42 m]、[25.19°,34.66 m]和[43.21°,59.18 m],先估計(jì)角度后并固定,用上述3種方法和ESPRIT方法對(duì)距離進(jìn)行估計(jì),得到估計(jì)距離與估計(jì)角度一一對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 角度與距離對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.3 Relationship between angle and distance

從圖3的仿真結(jié)果中可以看出,除了JLASSO方法對(duì)近場(chǎng)信號(hào)的距離估計(jì)失效之外,其余3種方法都能準(zhǔn)確地估計(jì)出信號(hào)的位置。將實(shí)際信號(hào)位置細(xì)節(jié)進(jìn)行放大,可以看到,ESPRIT方法估計(jì)出的信號(hào)位置誤差最大,性能最差。本文方法與SS-MUSC方法都比較接近實(shí)際信號(hào)位置,其原因是SS-MUSIC方法與掃描角度間隔有關(guān),但本文方法與實(shí)際信號(hào)位置的距離更接近,表現(xiàn)出的估計(jì)性能要優(yōu)于上述3種方法。

3.2 估計(jì)精度性能分析

為了研究SNR和快拍數(shù)等因素和角度與距離之間的關(guān)系,把均方根誤差(RMSE)作為精度的判別準(zhǔn)則。定義均方根誤差表達(dá)式為

(29)

(30)

式中:Q表示蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)的次數(shù);qk表示第q次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)估計(jì)的第k個(gè)信號(hào)入射角;qk表示第q次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)估計(jì)的第k個(gè)信號(hào)距離。

3.2.1 RMSE隨SNR變化

為了研究角度誤差和距離誤差隨SNR的變化關(guān)系,在其他條件不變的情況下,設(shè)有一個(gè)近場(chǎng)信號(hào),其入射角度與距離分別為[-22.87°,25.42 m],改變SNR從-10 dB開始,以步長2 dB增加到 10 dB,進(jìn)行200次獨(dú)立的蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),得到仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同SNR下的RMSE性能Fig.4 RMSE performance versus SNR of different methods

從圖4(a)中可以看出,所有方法的角度誤差都隨SNR的增加而減少,但是JLASSO方法表現(xiàn)性能最差,角度誤差較大,而SS-MUSIC方法得到的角度誤差要小于ESPRIT方法,因此SS-MUSIC方法的性能優(yōu)于ESPRIT方法。本文方法在整個(gè)SNR范圍內(nèi)角度誤差小于上述3種方法,表現(xiàn)出了最優(yōu)的估計(jì)性能。從圖4(b)中可以看出,所有方法的距離誤差都隨SNR的增加而減少,在SNR整個(gè)區(qū)間,SS-MUSIC方法始終優(yōu)于ESPRIT方法,本文方法在距離估計(jì)方面仍然表現(xiàn)出優(yōu)良的估計(jì)能力,誤差始終小于上述兩種方法。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,本文方法具有穩(wěn)定優(yōu)良的DOA估計(jì)能力。

3.2.2 RMSE隨快拍數(shù)變化

為了研究角度誤差和距離誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系,在其他條件不變的情況下,設(shè)有一個(gè)近場(chǎng)信號(hào),其入射角度與距離分別為[-22.87°,25.42 m],改變信號(hào)快拍數(shù)從100開始,以步長100增加到1 000,進(jìn)行200次獨(dú)立的蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),得到仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同快拍數(shù)各類方法的RMSE性能Fig.5 RMSE performances of different snapshot methods

從圖5(a)中可以看出,所有方法的角度誤差都隨快拍數(shù)的增加而減少,但是JLASSO方法表現(xiàn)的角度誤差變化緩慢,呈現(xiàn)的效果最差,而其他3種方法的表現(xiàn)性能提升很大,本文方法在整個(gè)快拍數(shù)范圍內(nèi)均能表現(xiàn)出較好的估計(jì)性能,誤差始終小于SS-MUSIC方法和ESPRIT方法。從圖5(b)中可以看出,所有方法的距離誤差都隨快拍數(shù)的增加而減少,在快拍數(shù)的整個(gè)區(qū)間,SS-MUSIC方法始終優(yōu)于ESPRIT方法,本文方法在距離估計(jì)方面仍然給出了優(yōu)良的估計(jì)能力,誤差始終小于上述兩種方法。從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,本文方法具有穩(wěn)定優(yōu)良的位置估計(jì)能力。

3.3 估計(jì)分辨力性能分析

為了研究SNR和快拍數(shù)等因素和角度分辨能力與距離分辨能力之間的關(guān)系,設(shè)有兩個(gè)入射信號(hào),定義分辨條件[24]:

max{|1-θ1|,|2-θ2|}<|θ2-θ1|/2

(31)

max{|1-r1|,|2-r2|}<|r2-r1|/2

(32)

固定θ1=0°,θ2=θ1+Δθ,Δθ是角度增量;1是真實(shí)角度r1的估計(jì)值;2是真實(shí)角度r2的估計(jì)值。固定r1=20 m,r2=r1+Δr,Δr是距離增量。固定兩個(gè)信號(hào)源位置,其中信源1的位置為[0°,20 m],信源2的位置為[15°,35 m]。

3.3.1 角度分辨力

為了研究角度分辨力和距離分辨力誤差隨SNR的變化關(guān)系,在其他條件不變的情況下,固定信源1的位置,改變信號(hào)源2的入射角度,由1°增加到10°步長為1°。SNR快拍數(shù)分別為[0 dB,500]、[10 dB, 500]和[10 dB, 100],進(jìn)行200次獨(dú)立的蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),得到準(zhǔn)確率與角度間隔的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 角度分辨力變化Fig.6 Variation graph of angle resolution

從圖6的變化曲線中可以看出,所有方法的準(zhǔn)確率隨角度間隔的增加都呈上升趨勢(shì)。圖6(a)和圖6(b)中SNR分別設(shè)為0 dB和10 dB,快拍數(shù)都為500。SNR為0 dB時(shí),本文方法成功估計(jì)出兩個(gè)角度為9°,ESPRIT方法成功估計(jì)出兩個(gè)角度為10°,SS-MUSIC方法在角度為10°時(shí)準(zhǔn)確率接近0.95,而JLASSO方法在角度為10°時(shí)準(zhǔn)確率接近0.75,本文提出的方法分辨率優(yōu)于其他3種方法。SNR為10 dB時(shí),本文方法,SS-MUSIC方法和ESPRIT方法成功估計(jì)出兩個(gè)角度均為7°,而JLASSO方法在角度為10°時(shí)準(zhǔn)確率接近0.9,隨著SNR的增加,各類方法準(zhǔn)確率都得到了提升;圖6(b)和圖6(c)中SNR都為10 dB,快拍數(shù)分別設(shè)為500和100。快拍數(shù)為100時(shí),本文方法成功估計(jì)出兩個(gè)角度為8°,ESPRIT方法成功估計(jì)出兩個(gè)角度為9°,SS-MUSIC方法成功估計(jì)出兩個(gè)角度為10°,而JLASSO方法在角度為10°時(shí)準(zhǔn)確率接近0.8,快拍數(shù)為500時(shí),本文方法,SS-MUSIC方法和ESPRIT方法成功估計(jì)出兩個(gè)角度均為7°,而JLASSO方法在角度為10°時(shí)準(zhǔn)確率接近0.9,說明隨著快拍數(shù)的增加,各類方法準(zhǔn)確率都得到了提升。

3.3.2 距離分辨力

為了研究角度分辨力和距離分辨力誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系,在其他條件不變的情況下,固定信源1的位置,改變信號(hào)源2的距離,由21 m增加到30 m步長為1 m。進(jìn)行了3次仿真實(shí)驗(yàn),SNR快拍數(shù)分別為[0 dB,500]、[10 dB, 500]和[10 dB, 100],進(jìn)行200次獨(dú)立的蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),得到仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 距離分辨力變化曲線圖Fig.7 Variation graph of distance resolution

從圖7的變化曲線中可以看出,所有方法的準(zhǔn)確率隨距離間隔的增加都呈上升趨勢(shì),本文提出的方法優(yōu)于SS-MUSIC方法。將圖7(a)和圖7(b)SNR分別為0 dB和10 dB,快拍數(shù)都為500。SNR為0 dB時(shí),本文方法在距離為10 m時(shí)準(zhǔn)確率接近0.93,SS-MUSIC方法在距離為10 m時(shí)準(zhǔn)確率接近0.89。SNR為10 dB時(shí),本文方法成功估計(jì)出兩個(gè)距離為9 m,SS-MUSIC方法成功估計(jì)出兩個(gè)距離為10 m,說明隨著SNR的增加,各類方法準(zhǔn)確率都得到了提升。將圖7(b)和圖7(c)圖SNR都為10 dB,快拍數(shù)分別為500和100。快拍數(shù)為100時(shí),本文方法成功估計(jì)出兩個(gè)距離為10 m,SS-MUSIC方法在距離為10 m時(shí)準(zhǔn)確率接近0.95;快拍數(shù)為500時(shí),本文方法成功估計(jì)出兩個(gè)距離為9 m,SS-MUSIC方法成功估計(jì)出兩個(gè)距離為10 m。在其他距離間隔內(nèi)準(zhǔn)確率得到了提升,說明隨著快拍數(shù)的增加,各類方法準(zhǔn)確率都得到了提升。

4 結(jié)論

本文對(duì)壓縮感知技術(shù)進(jìn)行研究分析,利用該技術(shù)提出一種基于互質(zhì)陣列的近場(chǎng)源位置估計(jì)方法。該方法預(yù)處理接收數(shù)據(jù),得到了角度參數(shù)的求解模型,利用一種迭代方法來逐步修正角度偏移向量和功率向量,實(shí)現(xiàn)最終的DOA估計(jì);將估計(jì)的DOA結(jié)果代入,建立關(guān)于距離參數(shù)的求解模型,利用梯度下降方法估計(jì)出距離。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文方法在快拍數(shù)較少、SNR較低的情況下,依然可以獲得比較好的位置估計(jì)性能,該方法不僅具有較高的估計(jì)精度,而且可以實(shí)現(xiàn)角度和距離參數(shù)的自動(dòng)配對(duì)。本文處理角度網(wǎng)格和距離網(wǎng)格都需要使用梯度下降法,但梯度下降系數(shù)的選擇比較困難,因此找尋一個(gè)自適應(yīng)的梯度下降系數(shù)有待進(jìn)一步研究。