借助高考真題，提升思維品質

陳達文

思維品質是一個人智力水平高低的標志，而數學思維品質是學習數學的過程中必不可少的基本素養.對于學生個體發展而言，數學思維品質存在著個體思維發展的年齡特征和個體差異，是數學基礎知識、數學思想方法和數學能力等各方面綜合體現的一種特殊標志，影響著對數學的理解與學習.下面筆者結合往年高考數學真題中的客觀題教學，就提升學生數學思維品質加以實例剖析.

1 思維的嚴謹性

思維的嚴謹性是指考慮問題時要全面、嚴密、有理有據.提升學生思維品質的嚴謹性，必須嚴格要求，按部就班，按照一定的邏輯順序進行全面、周密的思考，以充分的理由進行推理論證，加強訓練.

例1? 已知集合S={s|s=2n+1，n∈Z}，T={t|t=4n+1，n∈Z}，則S∩T=（? ）.

A.

B.S

C.T

D.Z

分析：從集合S入手，討論當n分別是偶數、奇數時的集合元素情況，與集合T中的元素加以比較，結合集合的基本運算進行判斷，即可得到答案C.

點評：通過對集合S中的變量n分偶數、奇數這兩種不同的取值情況進行分類討論，進而比較兩個集合中對應元素之間的關系，得以確定兩個集合的關系.解題過程嚴密有據，無懈可擊，充分體現了數學思維的嚴謹性.

2 思維的廣闊性

思維的廣闊性是指站在更高的層面上去處理問題，增加問題的切入視角，擴大范圍，把研究對象放在更大的環境中去考察，從而更大可能地發現更多的屬性，得到更加廣泛的結論，為研究性學習提供保障，創新開辟新的道路.

例2? 設函數f（x）=1-x1+x，則下列函數中為奇函數的是（? ）.

A.f（x-1）-1

B.f（x-1）+1

C.f（x+1）-1

D.f（x+1）+1

分析：先根據函數f（x）的解析式進行變形與轉化處理，確定函數f（x）的對稱中心，然后通過函數圖象的平移變換，使得變換后的函數圖象的對稱中心為（0，0），吻合奇函數的基本性質，從而得到答案B.

點評：根據以上問題及其破解，進一步深入研究，總結規律，提升思維品質的廣闊性，可以得到一般性的結論——若函數y=f（x）的圖象關于點（m，n）（m，n∈R）中心對稱，則函數y+n=f（x+m）的圖象關于坐標原點O（0，0）中心對稱，即函數y=f（x+m）-n為奇函數.

3 思維的深刻性

思維的深刻性是指深入鉆研與思考問題，深刻認識事物，善于挖掘復雜事物的內涵，把握問題的本質屬性，努力克服思維的表面性與絕對化，不被表面現象所迷惑，從而得到新看法、新結論等，深層研究.

例3? 如圖1所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則（? ）.

A.A1D與D1B垂直，MN∥平面ABCD

B.A1D與D1B平行，MN⊥平面BDD1B1

C.AD與D1B相交，MN∥平面ABCD

D.A1D與D1B異面，MN⊥平面BDD1B1

分析：通過證明A1D⊥平面ABD1，以及MN是△ABD1的中位線，可判斷選項A正確；根據異面直線的判定可知A1D與直線D1B是異面直線，可判斷選項B錯誤；根據異面直線的判定可知AD與D1B是異面直線，可判斷選項C錯誤；由MN∥AB，可知MN不與平面BDD1B1垂直，可判斷選項D錯誤.

點評：借助空間線面位置關系的判定定理與“性質”定理來分析，考查邏輯推理與空間想象能力，對數學思維的深刻性有很好的培養與提升，盡顯思維的深刻性其能，順利解決問題.

4 思維的靈活性

思維的靈活性是指思維活動在選擇知識、切入角度、運用方法、開展過程等方面的靈活程度.在教學過程中，克服思維定式，往往通過“一題多解”“一題多變”“多題一解”“多題一法”等形式加以展開，多側面進行分析與思考，提高創新性與靈活性.

例4? 已知F1，F2是橢圓C：x29+y24=1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|＼5|MF2|的最大值為（? ）.

A.13

B.12

C.9

D.6

分析：根據題目條件，結合兩個焦半徑的乘積，在基本不等式背景、函數背景以及焦半徑公式等背景下，從不同的思維視角來切入，利用不同的知識來確定對應的最值問題，實現數學思維的靈活性，達到一題多解的目的.

解法1：基本不等式法.

由橢圓C的方程x29+y24=1，可知a=3，

而點M在C上，利用橢圓的定義可得

|MF1|+|MF2|=2a=6.

利用基本不等式，可得

|MF1|＼5|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=9，

當且僅當|MF1|=|MF2|=3時，等號成立.

所以|MF1|＼5|MF2|的最大值為9.

故選：C.

解法2：距離公式法.

由于F1，F2是橢圓C：x29+y24=1的兩個焦點，則a=3，b=2，c=5，

可得F1（-5，0），F2（5，0）.

設M（x，y），其中-3≤x≤3，則有

y2=41-x29，

于是可得

|MF1|＼5|MF2|

=（x+5）2+y2·（x-5）2+y2

=59x2-9=9-59x2≤9，

當且僅當x=0時，等號成立.

所以|MF1|＼5|MF2|的最大值為9.

故選：C.

解法3：焦半徑公式法.

由于F1，F2是橢圓C：x29+y24=1的兩個焦點，則知a=3，b=2，c=5，

可得橢圓C的離心率e=ca=53.

設M（x，y），其中-3≤x≤3，

結合橢圓的焦半徑公式，有

|MF1|=a+ex=3+53x，

|MF2|=a-ex=3-53x.

于是|MF1|＼5|MF2|=9-59x2≤9，當且僅當x=0時，等號成立.

所以|MF1|＼5|MF2|的最大值為9.

故選：C.

點評：從以上問題所對應的三種思維視角切入，借助不同的數學知識與數學方法來破解，殊途同歸，消除學生思維定勢的消極影響，進行“一題多解”訓練，充分展示數學思維的靈活性.

5 思維的批判性

思維的批判性是指有主見地評價事物，嚴格地估計思維材料，精確地檢查思維過程，是思維過程中自我意識作用的結果.在數學解題過程中，對一些問題進行深入研究，自我鑒別，深層挖掘，發現問題，辨析真假，培養學生思維的批判性.

例5? 已知f（x）=3sin x+2，對任意的x1∈0，π2，都存在x2∈0，π2，使得f（x1）=2f（x2+θ）+2成立，則下列選項中，θ可能的值是（? ）.

A.3π5

B.4π5

C.6π5

D.7π5

分析：結合題目條件，利用邏輯關系確定三角函數的最大值與最小值，對θ的可能取值進行分類討論，分別確定在不同背景下三角函數的取值情況，進而得以分析與判斷，實現批判性思維的發展.

點評：巧妙綜合邏輯推理與三角函數的圖象和性質，借助題目創新情境確定三角函數的最值情況，再通過三角函數的圖象與性質確定限制條件下的最值情況，對比分析、判斷，深層挖掘，辨誤駁謬，有效破解綜合應用問題，培養學生思維的批判性.

有意識地借助一些高考典型真題實例，合理引入課堂教學與學生學習，巧妙引導，加強督促，結合學生的參與和訓練，能夠很好地提升數學的思維品味，提高數學能力，受益終生.合理培養學生的思維品質，使學生真正學有所得，真正實現教學相長.