具有非線性導數項的二階常微分方程的正周期解

劉曉明,李永祥

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

-u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t),u′(t)), t∈

正2π-周期解的存在性,其中: a: →(0,+∞)連續,以2π為周期;f: ×[0,+∞)×→[0,+∞)連續,f(t,x,y)關于t以2π為周期.在非線性項f(t,x,y)滿足適當的不等式條件下,得到了該方程正2π-周期解的存在性.

0 引 言

目前,關于二階常微分方程周期解的存在性研究已有很多結果,但已有工作主要集中在非線性項中不含未知函數導數的方程上,而對含未知函數導數的一般情形研究較少[1-5].本文研究非線性項中含未知函數導數的變系數二階常微分方程

-u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t),u′(t)),t∈

(1)

正2π-周期解的存在性問題,其中系數函數a與非線性項f分別滿足下列條件:

(H1)a:→(0,+∞)連續,以2π為周期;

(H2)f:×[0,+∞)×→[0,+∞)連續,f(t,x,y) 關于t以2π為周期.

文獻[6-10]研究了該問題的一些特殊情形.文獻[6]討論了a(t)恒為常數M及f不含導數項u′(t)的情形:

-u″(t)+Mu(t)=f(t,u(t)),

(2)

在f(t,x)關于x超線性或次線性增長的條件下,用錐映射的Krasnoselskii不動點定理,獲得了方程(2)正2π-周期解的存在性.文獻[7]用正算子擾動方法與錐映射的Krasnoselskii不動點定理獲得了變系數二階微分方程

-u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t))

(3)

正周期解的存在性與多重性結果.文獻[8]和文獻[9]用錐上的不動點指數理論分別對方程(2)和(3)建立了正周期解存在的特征值準則,即當f(t,x)連續,滿足下列條件之一時方程有正周期解:

(i)f0<λ1,f∞>λ1;

(ii)f0>λ1,f∞<λ1.

其中

(4)

而λ1為相應的線性周期特征值問題的最小正實特征值.對方程(2),λ1=M.文獻[8]和文獻[9]的特征值準則分別包含并改進了文獻[6]和文獻[7]的結果.此外,文獻[11-14]討論了二階微分方程

u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t))

(5)

正周期解的存在性.與方程(3)不同,討論方程(5)的正周期解要求系數函數a(t)的值適當小,如文獻[13]要求:a(t)≤1/4,t∈[0,2π].此時,方程(5)的周期問題對應的Green函數是非負的,其正周期解可化為錐映射的不動點,從而可用與文獻[6-9]類似的方法獲得方程(5)的正周期解.

1 預備知識

設C2π()是以2π為周期的全體連續函數按最大模范數構成的Banach空間.一般地,對n∈,()表示以2π為周期的全體n階連續可微函數按范數

為討論非線性方程(1)正2π-周期解的存在性,先考慮相應的線性方程

-u″(t)+a(t)u(t)=h(t),t∈

(6)

2π-周期解的存在唯一性,其中h∈C2π().下面總假設a(t)滿足(H1).令

(7)

則0

-u″(t)+Mu(t)=h(t),t∈.

(8)

由文獻[9]中引理2.1知,對?h∈C2π(),方程(8)存在唯一2π-周期解

(9)

其中

(10)

由式(9)直接驗證易知,方程(8)的周期解算子T:C2π()()是線性有界算子.記

取正常數

(11)

引理1線性方程(8)的周期解算子T作為C2π()到C2π()的線性有界算子,其范數且當()時,線性方程(8)的2π-周期解u=Th滿足估計:

u(t)≥σ0‖u‖C, |u′(t)|≤C0|u(t)|,t∈.

(12)

證明: 對?h∈C2π(),由式(9)及式(10),有

(13)

即式(12)的第一個估計式成立.另一方面,由式(9)得

從而由式(13)可得

即式(12)的第二個估計式成立.證畢.

下面考慮變系數線性二階微分方程(6)的2π-周期解的存在性.

引理2對?h∈C2π(),線性方程(6)存在唯一的2π-周期解(),且周期解算子S:C2π()()是線性有界算子.當()時,線性方程(6)的2π-周期解u=Sh是非負的,且滿足式(12).

證明: 改寫方程(6)為如下形式:

-u″(t)+Mu(t)=Bu(t)+h(t),t∈,

(14)

其中B:C2π()→C2π()為乘積算子

Bu(t)=(M-a(t))u(t),t∈.

(15)

易見,B:C2π()→C2π()為正的線性有界算子,其范數‖B‖=M-m.按算子T:C2π()→C2π()的定義,方程(14)的2π-周期解等價于Banach空間C2π()中的算子方程

(I-TB)u=Th

(16)

的解,其中I是C2π()中的單位算子.因為故由單位算子擾動定理,I-TB在C2π()中有有界逆算子,且其逆可展開為冪級數:

(17)

故方程(16)(等價地方程(6))有唯一的2π-周期解

u=(I-TB)-1Th=∶Sh.

(18)

由式(17),S=(I-TB)-1T可展開為

(19)

其中,

(20)

為C2π()中的正線性有界算子.由T:C2π()()的有界性,S=TQ為C2π()到()中線性有界算子.

u=Sh=T(Qh)=Th1,

(21)

其中h1=Qh.由式(20),Q:C2π()→C2π()為正線性算子,故().因此,由引理1知,u=Th1滿足估計式(12).

下面考慮方程(6)相應的周期線性特征值問題:

-u″(t)+a(t)u(t)=λu(t),t∈,().

(22)

(23)

證明: 定義微分算子L:D(L)?C2π()→C2π()為

(24)

則特征值問題(22)可化為算子L的特征值問題

Lu=λu,u∈D(L).

(25)

由引理2,L有有界逆算子L-1=S.因為S:C2π()()有界,故由嵌入()C2π()的緊性及引理2知,S:C2π()→C2π()是正的線性全連續算子.取h0(t)恒為1,則由引理2知,u=Sh0滿足估計式(12),從而有

Sh0≥‖Sh0‖Ch0.

(26)

將式(26)兩端用S累次作用,并由S的正性可得

Snh0≥‖Sh0‖Cnh0,n=1,2,…,

因此有

由Gelfand譜半徑公式知,S的譜半徑為

(27)

由式(19)及式(9),有

因此λ1≥m,于是λ1∈[m,M].

(28)

F(u)(t)∶=f(t,u(t),u′(t)),t∈,

(29)

Au∶=S(F(u)),u∈K.

(30)

由S:C2π()()的有界性及嵌入()()的緊性知,S:C2π()()全連續.因此,由式(30)定義的A:K→K全連續.再由算子S的定義,方程(1)的正2π-周期解等價于A的非零不動點.下面用錐上的不動點指數理論[16]尋找A的非零不動點.

2 主要結果

下面討論非線性方程(1)正2π-周期解的存在性.設σ0和C0是式(11)定義的正常數,λ1是線性特征值問題(22)的最小正實特征值.

定理1假設條件(H1),(H2)成立.若f:×[0,+∞)×→[0,+∞)還滿足下列條件:

1) 存在常數a,b≥0滿足a+C0b<λ1及常數δ>0,使得

f(t,x,y)≤ax+b|y|,x≥0,y∈, |(x,y)|≤δ;

2) 存在常數c>λ1及常數H>0,使得

f(t,x,y)≥cx,x≥0,y∈, |(x,y)|≥H.

則方程(1)至少有一個正2π-周期解.

(31)

μAu≠u,μ∈(0,1],u∈K∩?Ω1.

(32)

(33)

因為u0∈K∩?Ω1,由K和Ω1的定義,有

(34)

將方程(33)兩端同乘φ1(t),然后從0到2π積分,并應用不等式(34),得

對式(35)左端應用分部積分和式(23),有

從而由式(35),得

(36)

因為u0∈K,φ1=S(λ1φ1)∈K,由錐K的定義,有u0(t)≥σ0‖u0‖C,φ1(t)≥σ0‖φ1‖C,t∈.故有

于是由式(36)得λ1≤a+C0b,與條件1)中的假設矛盾.因此式(32)成立.從而由不動點指數理論的同倫不變性,有

i(A,K∩Ω1,K)=1.

(37)

其次,令R>(1+C0)H/σ0.因為φ1=S(λ1φ1)∈K,故φ1∈K{θ}.下證A在K∩?Ω2上對e=φ1滿足缺方向性條件:

u-Au≠τφ1,τ≥0,u∈K∩?Ω2.

(38)

反設式(38)不成立,則存在τ1≥0及u1∈K∩?Ω2,使得u1-Au1=τ1φ1.因為

u1=Au1+τ1φ1=S(F(u1))+τ1S(λ1φ1)=S(F(u1)+τ1λ1φ1),

(39)

又因為u1∈K∩?Ω2,由K和Ω2的定義,有

(40)

(41)

于是,由式(40)的第一個不等式,有

(42)

將方程(39)兩端同乘φ1(t),再從0到2π積分,并對其左端應用分部積分,右端應用不等式(42),有

i(A,K∩Ω2,K)=0.

(44)

從而由式(37)和式(44)及不動點指數的區域可加性,有

定理2假設條件(H1),(H2)成立.若f:×[0,+∞)×→[0,+∞)還滿足下列條件:

1) 存在常數c>λ1及δ>0,使得

f(t,x,y)≥cx,x≥0,y∈, |(x,y)|≤δ;

2) 存在常數a,b≥0滿足a+C0b<λ1及常數H>0,使得

f(t,x,y)≤ax+b|y|,x≥0,y∈, |(x,y)|≥H.

則方程(1)至少有一個正2π-周期解.

i(A,K∩Ω1,K)=0.

(45)

類似于式(37)的證明,當R適當大時,應用條件2)可證得

i(A,K∩Ω2,K)=1.

(46)

于是由式(45),(46),有

注1在定理1中,條件1)與2)分別允許當|(x,y)|→0和|(x,y)|→∞時,非線性項f(t,x,y)關于x和y超線性增長,典型的例子是關于x和y的冪函數:

(47)

其中α,β>0是常數.顯然,fα,β(t,x,y)滿足條件(H1).易驗證,當α,β>1時,f1(t,x,y)滿足定理1中條件1)知2).因此,條件1)和2)允許非線性項f(t,x,y)關于x和y任意階超線性增長.

注2在定理2中,條件1)和2)分別允許當|(x,y)|→0和|(x,y)|→∞時,非線性項f(t,x,y)關于x和y次線性增長,例如,當α,β∈(0,1)時,式(47)定義的冪函數fα,β(t,x,y),此時易驗證fα,β(t,x,y)滿足定理2中條件1)和2).

注3在定理1和定理2中,當f(t,x,y)不顯含y,退化為f(t,x)時,由式(4)易驗證:

定理1中條件1) ?f0<λ1, 定理1中條件2) ?f∞>λ1;

定理2中條件1) ?f0>λ1, 定理2中條件2) ?f∞<λ1.

因此,定理1的條件退化為(i),定理2的條件退化為(ii).此時定理1和定理2恰為文獻[9]中的特征值準則.故本文定理1和定理2概括并推廣了文獻[6-9]中的主要結果.

此外,本文定理1的不等式條件允許非線性項f(t,x,y)關于x和y任意階超線性增長,而已有的涉及超線性增長的工作,如關于周期問題的工作[3-4]和兩點邊值問題的工作[17-18],均要求f(t,x,y)關于y的增長滿足Nagumo條件.Nagumo條件限制了f(t,x,y)關于y至多二次增長,本文定理1突破了該限制.