一種基于五彈簧模型的準零剛度隔振裝置特性分析

楊兆豪，帥長庚，李步云

(1.海軍工程大學 振動與噪聲研究所，湖北 武漢 430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，湖北 武漢 430033)

0 引 言

目前，大量采用線性隔振元件解決工程隔振問題[1]。然而，對于某些工程問題而言，需要實現低頻隔振，甚至極低頻隔振。若仍采用線性隔振方式，要實現低頻隔振勢必要降低隔振系統的剛度，這不僅會降低隔振系統的靜態穩定性，在一些復雜工況下，如搖擺、沖擊，還會導致隔振器變形過大，影響系統穩定性。使用非線性隔振器可以解決上述問題，在一系列參數設定下，實現高靜態剛度低動態剛度特性，此類隔振器被稱為準零剛度(Quasi-zero stiffness，QZS)隔振器[2]。準零剛度隔振裝置的動力學特性方程可以由具有三次非線性項Duffing 振子模型描述[3]。

Kovacic[4]設計了一種由2 個有預壓、非線性斜向彈簧與線性垂向彈簧并聯的準零剛度隔振器，研究了該隔振器實現準零剛度的條件及在非對稱激勵下的動力學響應，結果表明該模型在平衡位置的準零剛度特性與初始彈簧的幾何關系，斜向彈簧的預壓程度、剛度有關，然而動力學分析表明該模型在非對稱激勵下，在一定激勵頻率范圍內，會產生周期倍增的分叉，最終會產生混沌行為。Carrella[5]在Kovacic的研究基礎上做了進一步推廣，將2 個斜彈簧分為有預壓的線性彈簧、有預壓的非線性彈簧以及無預壓的線性彈簧這3 種情況進行靜力學分析，研究了3 種模型在對稱激勵下的動力學特性，結果表明3 種情況的準零剛度隔振裝置的隔振效果都比原線性系統的隔振效果好，其中斜彈簧為有預壓的非線性彈簧隔振效果最佳。Brennan[6]總結了前人對Duffing 振子的研究，給出了對于小阻尼Duffing 振子在簡諧激勵下的跳躍頻率和該頻率下響應幅值的表達式，比較了諧波平衡法與微擾法求解方程的誤差，結果表明向上跳躍頻率與系統的非線性度和激勵力的幅值有關，向下跳躍頻率不僅與上述因素有關還與系統阻尼有關。彭獻[7]研究了三彈簧連桿機構準零剛度隔振器，側向彈簧只在水平方向移動，其隔振性能優于非線性隔振器，當隔離隨機振動時，宜隔運動而不宜隔離力。任旭東[8]基于空氣彈簧隔振器，設計了一種三氣囊連桿結構的準零剛度隔振裝置，結果表明當在相同激勵幅值的條件下，空氣彈簧準零剛度隔振系統相對于單個空氣彈簧隔振系統能夠隔離更低頻的振動，且當激勵頻率大于空氣彈簧準零剛度隔振系統的向下跳躍頻率時，空氣彈簧準零剛度隔振系統具有更好的隔振性能。

本文提出一種五彈簧準零剛度隔振裝置模型（簡稱為五彈簧裝置），推導了模型的靜力學關系，利用近似回復力并借助帶有三次非線性項的Duffing 振子動力學方程進行模型的動力學分析，分析該隔振裝置的穩定性，并研究不同參數對該隔振裝置力傳遞率的影響。

1 準零剛度隔振裝置力學模型建立

1.1 準零剛度隔振裝置模型靜力學關系推導

本文的準零剛度隔振裝置布置如圖1 所示。斜置彈簧原長為y，初始壓縮量為 δ ，長度為L0=y-x10，重物距離基座的水平距離為a，斜向彈簧安裝位置到平衡位置的垂直距離為h0，斜向彈簧與水平夾角為 θ0，剛度為kd；垂向支撐彈簧初始壓縮量為x0，剛度為ku，質量M=kux0。

圖1 五彈簧準零剛度隔振裝置模型Fig.1 Five-springs quasi-zero-stiffness vibration isolator model

取向下為正方向，假設不存在垂向彈簧時，僅分析4 個斜置彈簧力學特性，當外力F作用，M下移x時（見圖2），在小位移條件下，認為1 彈簧和2 彈簧始終處于壓縮狀態，由力學平衡可得：

圖2 五彈簧準零剛度隔振裝置受力作用后任意時刻Fig.2 A time when five-springs QZS vibration isolator model forced

1.2 準零剛度隔振裝置模型靜力學特性分析

對于不同的δ? 、k? 、 γ值，無量綱回復力、無量綱剛度與無量綱位移關系分別如圖3～圖5 所示?？梢钥闯觯谝欢ǖ膮禇l件設定下，該隔振裝置能夠在平衡位置附近 (x?=0)，實現準零剛度特性。

圖3 k ?=1，γ=√3/2時 ，不同 δ?值下，無量綱回復力和無量綱剛度與無量綱位移關系特性曲線((a)中實線部分為|x?|

圖4 k ?=1，δ?=2/3時 ，不同 γ值下，無量綱回復力和無量綱剛度與無量綱位移關系特性曲線((a)中實線部分為|x?|

圖5 γ =√3/2，δ?=2/3時 ，不同 k? 值下，無量綱回復力和無量綱剛度與無量綱位移關系特性曲線(a)中實線部分為|x?|

將參數條件(7)代入式(5-b)可以得到下式：

將符合式(8)要求的不同 γ 、 δ?值代入式(7)中，計算出相應的k? 值，當k?大于0 時，該組數據即為可取值，代入式(5)中，研究不同的 γ 和 δ?值對五彈簧系統力學特性的影響。

由圖6 可以看出，當 δ? 值不變時，隨著 γ值的增大，系統由不穩定狀態（系統存在負剛度）變為穩定狀態，存 在 一 個 最 佳 的 γ 值（ γ =0.887 758，即 安 裝 角 度θ=27.407 1?）使得平衡位置附近具有最大范圍的準零剛度特性。當 γ值繼續增大時，平衡位置附近的準零剛度特性變差，且系統在平衡位置附近的剛度也隨之增大。

圖6 δ ?=0.664 時不同 γ值下準零剛度系統力學特性曲線Fig.6 The mechanical charateristic curve of QZS system under different γ when δ?=0.664

選 取 γ=0.887 758 ，分 析 δ?對 系 統 的 影響，得到圖7?？芍?，當 γ不變時，隨著 δ?增大，系統的無量綱剛度與無量綱位移關系曲線的形狀基本不變，能體現良好的準零剛度特性，但遠離平衡位置處的剛度變小。比較K?D-QZS=1位置處對應的偏移平衡位置的位移量，可以發現當 δ?增大時，能夠表現出準零剛度特性的允許偏移量范圍也在不斷增大，這對整個裝置而言有益，當重物造成較大位移偏移量時，五彈簧裝置的剛度仍可以小于原線性系統。

圖7 γ =0.887 758 時不同 δ?值下準零剛度系統力學特性曲線Fig.7 The mechanical charateristic curve of QZS system under different δ? when γ=0.887 758

2 簡諧力激勵下動力學方程的求解

2.1 準零剛度隔振裝置運動方程建立

在動力學分析中，使用近似無量綱回復力進行代替原無量綱回復力表達式。

假設質量M在平衡位置附近的位移很小，即x? 為小量，對無量綱回復力在零點處進行三階泰勒展開。

式(11)可變為

比較式(13-a)與式(5-a)，在泰勒三階展開下得到的近似回復力F?rapp與回復力F?r的比較，如圖8 所示。

圖8 五彈簧準零剛度隔振裝置回復力曲線比較圖Fig.8 Comparisonof restoringforcecurves of the five-spring QZS vibration isolatorwhenk=1，γ=3/2

可以看出，近似回復力F?rapp能夠較好地代替回復力F?r進行表達。因而在后續的動力學分析中，使用近似回復力F?rapp進行推導求解并完成相關分析。

假設隔振裝置的阻尼為線性粘性阻尼，其阻尼系數為c，圖1 隔振模型可以等效為圖9 所示的單自由度隔振模型。

圖9 五彈簧隔振裝置等效單自由度模型Fig.9 Equivalent SDOF system of the five-spring QZS vibration isolator

當施加諧波激勵力fe=Fcos(ωt)時，根據牛頓第二定律可得到該系統的非線性運動微分方程為：

將式(13-b)代入式(14)可以得到裝置的無量綱運動微分方程：

2.2 跳躍頻率的計算

設裝置在諧波激勵條件下的穩態響應解為：

對于該隔振裝置，將式(16)代入式(15)，得到

利用三角變換并令各諧波項和常數項的系數等于0，同時忽略高階諧波項，可以得到系統穩態響應解表達式為：

為了得到向下跳躍頻率，將共振頻率 ?的2 個正值解解出得到

為比較五彈簧裝置隔振效果，構建單個彈簧隔振裝置等效自由度模型，如圖10 所示。

圖10 單個隔振裝置等效單自由度模型Fig.10 Equivalent SDOF system of the one-spring vibration isolator

當同樣給系統施加諧波激勵力fe=Fcos(ωt)時，可得到該系統的無量綱運動微分方程為：

同樣可以得到其共振頻率 ?single的2 個正值解為

2.3 力傳遞率的計算

對于簡諧波激勵條件下的系統，采用絕對力傳遞率作為評價其隔振性能的指標，并定義為

式中：F?t為施加于隔振系統的力F?經過隔振效果后所殘余的力。五彈簧裝置的無量綱恢復力可由式(13)得到：

3 動力學特性分析

3.1 穩定性分析

準零剛度隔振裝置由于存在多個穩態響應解，從而會出現跳躍現象，其中包括與系統阻尼比相關的向上跳躍，以及出現穩態響應幅值最大值對應的向下跳躍。

使用馬蒂厄方程判別法，引入擾動變量 ε ?(τ)，分析該五彈簧裝置穩態響應解的穩定性。系統的穩態響應解可以設為：

將式(30)代入五彈簧裝置的無量綱微分方程式(15)，能夠得到該微小擾動的微分方程：

式(31)為含有阻尼的Mathieu 方程，可變為：

將式(33)代入式(32)，同時利用三角函數變換并忽略高階諧波項得到多項式方程組，使其方程組判別式等于0，能夠得到穩定性判定邊界條件。

3.2 傳遞率分析

3.2.1 激勵幅值的影響

圖11 為阻尼比 ξ、結構參數 γ 與k?一定時，不同激勵幅值F?條件下隔振系統的傳遞率曲線。參數的具體取值如表1 所示，傳遞率用分貝（dB）表示。

表1 研究激勵幅值對裝置隔振性能影響時的系統參數取值Tab.1 The parameter values studied when different excitation amplitude effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

圖11 不同激勵幅值對裝置隔振性能的影響比較圖Fig.11 Comparison of effects of different excitation amplitude the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

隨著激勵幅值的增大，五彈簧裝置的絕對力傳遞率會產生明顯的變化。激勵幅值越大，絕對力傳遞率的最大值越大。在較小的激勵幅值影響下，五彈簧裝置的隔振性能表現較好。

比較相同激勵幅值的條件，在激勵頻率增大的過程中，五彈簧裝置率先開始隔振，意味著其能夠隔離更低頻的振動；當激勵頻率大于五彈簧裝置的向下跳躍頻率時，五彈簧裝置的絕對力傳遞率小于單個彈簧隔振系統，意味著其具有更好的隔振性能；在較高的激勵頻率區間，五彈簧裝置的隔振性能優勢逐漸減小。此外，對于五彈簧裝置，隨著激勵幅值的增大，其隔振起始頻率減小，因而為了獲得更好的低頻隔振性能，需要控制適當的激勵幅值。

3.2.2 阻尼比的影響

圖12 為 激勵幅值F? 、結構參 數 γ 與k?一定時，不 同阻尼比 ξ條件下隔振裝置的傳遞率曲線。參數的具體取值如表2 所示，傳遞率用分貝（dB）表示。

表2 研究阻尼比對裝置隔振性能影響時的參數取值Tab.2 The parameter values studied when different damping ratio effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

圖12 不同阻尼比對裝置隔振性能的影響比較圖Fig.12 Comparison of effects of different damping ratio the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

隨著阻尼比的增大，2 個裝置在不同激勵頻率區間內隔振性能的相互關系與激勵幅值增大時正好相反。較大的阻尼比會使2 個系統絕對力傳遞率的最大值均減小。當阻尼比增大到一定程度時，五彈簧裝置的絕對力傳遞率的最大值消失。因而在調整五彈簧裝置的隔振性能時，需選擇適當的阻尼比。

3.2.3 結構參數的影響

圖13 與圖14 分別為激勵幅值F? 、阻尼比 ξ一定時，不同結構參數 γ 與k?條件下隔振裝置的傳遞率曲線。具體取值如表3 和表4 所示，傳遞率用分貝（dB）表示。

表3 研究 γ對裝置隔振性能影響時的參數取值Tab.3 The parameter values studied when different γ effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

圖13 不同 γ對裝置隔振性能的影響比較圖Fig.13 Comparison of effects of different damping γ on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

圖14 不同 k?對裝置隔振性能的影響比較圖Fig.14 Comparison of effects of different k? on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

當結構參數 γ的取值減小時，五彈簧裝置絕對力傳遞率的最大值和隔振起始頻率均較小，并在平衡位置附近具有更大的較小剛度位移范圍，但 γ低于一定數值后該裝置的絕對力傳遞率的最大值將會消失，失去準零剛度特性。

當結構參數k? 的取值減小時，五彈簧裝置絕對力傳遞率的最大值和隔振起始頻率均較小，并在平衡位置附近具有更大的較小剛度位移范圍，因而在選取水平和垂向彈簧剛度時，應選擇水平彈簧相對于垂向彈簧剛度比更大的彈簧組合。

4 結 語

對建立的五彈簧準零剛度隔振裝置模型進行靜力學推導，并在靜力學分析的基礎上對五彈簧裝置的回復力進行泰勒展開并近似求解，利用諧波平衡法得到了五彈簧裝置的動力學方程，研究不同參數對力傳遞率與跳躍頻率的影響，得出如下結論：

1）五 彈 簧裝置可以通過對參數 γ 、k? 和 δ?的 合 理 設置以實現準零剛度特性，其中 γ影響平衡位置處的穩定性，k? 和δ ?影響裝置引入的負剛度大小。

2）五彈簧裝置的絕對力傳遞率會隨著激勵幅值的增大產生明顯的變化。激勵幅值越大，絕對力傳遞率的最大值越大；在較小的激勵幅值影響下，五彈簧裝置的隔振性能表現較好；相同激勵幅值條件下，五彈簧裝置率先開始隔振，能夠隔離更低頻的振動；當激勵頻率大于五彈簧裝置的向下跳躍頻率時，五彈簧裝置的絕對力傳遞率小于單個彈簧隔振裝置，具有更好的隔振性能；在較高的激勵頻率區間，五彈簧裝置的隔振性能優勢逐漸減??；控制適當的激勵幅值能夠使五彈簧裝置獲得更好的低頻隔振性能。

3）較大的阻尼比會使2 個隔振裝置絕對力傳遞率的最大值均減小。當阻尼比增大到一定程度時，五彈簧裝置絕對力傳遞率的最大值消失。因而在調整五彈簧裝置的隔振性能時，需選擇適當的阻尼比。

4）結構參數 γ減小時，五彈簧裝置絕對力傳遞率的最大值和隔振起始頻率均較小，并在平衡位置附近具有更大的較小剛度位移范圍；當 γ低于一定數值后，五彈簧裝置絕對力傳遞率的最大值將會消失，裝置將會失去準零剛度特性，需要對 γ進行適當的取值。

5）當結構參數k?的取值減小時，五彈簧裝置絕對力傳遞率的最大值和隔振起始頻率均較小，并在平衡位置附近具有更大的較小剛度位移范圍，因而在選取水平和垂向彈簧剛度時，應選擇水平彈簧相對于垂向彈簧剛度比更大的彈簧組合。

總體來說，五彈簧裝置平衡位置附近的低剛度范圍更大，系統穩定性更好，有利于工程應用。