壓電驅(qū)動的橋式放大機構(gòu)設(shè)計與優(yōu)化

伍建軍,周敏,章仕磊

(1.天府新能源研究院,成都 610000; 2.江西理工大學(xué)機電工程學(xué)院,贛州 341000)

柔順機構(gòu)利用柔性鉸鏈代替裝配復(fù)雜的運動關(guān)節(jié),不僅無摩擦、靈敏度高,且一次加工成型,特別適用于精密微動領(lǐng)域。但柔性鉸鏈通過形變產(chǎn)生運動,運動范圍受限,需要位移放大機構(gòu)實現(xiàn)相關(guān)功能[1-2]。

目前研究的放大機構(gòu)有多級杠桿放大機構(gòu)、差動杠桿放大機構(gòu)、三角放大機構(gòu)和橋式放大機構(gòu)等,它們都具有各自的特點,如Li等[3]和Iqbal等[4]設(shè)計的多級杠桿放大機構(gòu)雖然原理簡單,在一定條件下也能實現(xiàn)較大的放大倍數(shù)和負(fù)載能力,但是往往需要多級杠桿才能達(dá)到需要的放大倍數(shù),這也造成了誤差累積和整體結(jié)構(gòu)笨重。Fan等[5]設(shè)計的差動式杠桿放大機構(gòu)雖然具有6.5倍的放大倍數(shù)和較高的固有頻率,但是體積大而且分析較為復(fù)雜。Lu等[6]設(shè)計的非對稱三角放大機構(gòu)也存在著體積大,放大倍數(shù)不足等缺點。反觀Huang等[7]和Wu等[8]設(shè)計的橋式放大機構(gòu)不僅結(jié)構(gòu)緊湊,且機構(gòu)所得到的放大倍數(shù)和固有頻率都較大。在力學(xué)研究方面,郝云鋒等[9]設(shè)計了多級的嵌套菱形結(jié)構(gòu),并對其進(jìn)行了分析與計算。閆洪波等[10]采用計算鉸鏈中心點偏移量的方法來近似得出輸入輸出位移以計算放大倍率。林超等[11]通過能量守恒方法和彈性梁理論推導(dǎo)出了放大比公式和剛度計算解析式,并根據(jù)拉格朗日方程得出固有頻率計算方法。Ling等[12]綜合橋式和杠桿式柔順機構(gòu),提出一種結(jié)構(gòu)緊湊的新型混合三級兼容位移放大器,不僅在放大效率上有所提升,而且結(jié)構(gòu)尺寸僅為57 mm×50 mm×10 mm。Chen等[13]基于偽剛體法計算輸入變量與輸出變量的關(guān)系,通過仿真分析驗證了理論計算的正確性。

但是,傳統(tǒng)許多針對橋式放大機構(gòu)的力學(xué)研究中,沒有明確菱形結(jié)構(gòu)與橋式結(jié)構(gòu)的區(qū)別,簡單地把橋式結(jié)構(gòu)簡化成用連桿代替的菱形結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析,這種不適當(dāng)?shù)暮喕赡軐?dǎo)致柔順機構(gòu)的理論預(yù)測不準(zhǔn)確。

為了說明和澄清菱形機構(gòu)和橋式機構(gòu)之間靜態(tài)建模的混淆。現(xiàn)給出位移放大比的精確解析,以提高柔順機構(gòu)的輸出位移的預(yù)測精度。然后,對橋式放大機構(gòu)進(jìn)行強度分析和動態(tài)特性分析,并通過ANSYS仿真驗證理論模型的正確性。最后基于最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計方法獲取數(shù)據(jù),通過徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多島遺傳算法(multi-island genetic algorithm,MIGA)對橋式放大機構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。預(yù)想通過靜力學(xué)分析對橋式放大機構(gòu)的放大倍數(shù)有更加精確預(yù)測,通過參數(shù)優(yōu)化能進(jìn)一步提高橋式放大機構(gòu)的放大倍率和固有頻率,擴大橋式放大機構(gòu)的使用范圍和響應(yīng)速度。

1 結(jié)構(gòu)模型

圖1所示為橋式放大機構(gòu),該機構(gòu)的結(jié)構(gòu)對稱,由8個柔性鉸鏈、4個連梁、2個平移桿,1個輸出塊和1個固定塊組成[14]。在兩個輸入端各產(chǎn)生Δx的輸入位移,相應(yīng)的在輸出塊位置產(chǎn)生2Δy的輸出位移。

t為柔性鉸鏈的厚度;t1為連接梁的厚度;d為橋式放大機構(gòu)的寬度;l1和l2分別為柔性鉸鏈和連接梁的長度;h為兩個柔性鉸鏈的間距;m1、m2、m3為連接梁的質(zhì)量;PZT為壓電陶瓷;Δx為壓電陶瓷的驅(qū)動位移

2 靜力學(xué)分析

2.1 位移放大比分析

2.1.1 歐拉-伯努利梁模型

根據(jù)如圖1所示的橋式放大機構(gòu)取如圖2所示的一部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析,連接梁及柔性鉸鏈的受力方程為

圖2 部分結(jié)構(gòu)受力圖

fA=fB=fx=fPZT

(1)

2Mr=fxh

(2)

式中:fA和fB為連接梁所受的水平力;fx為柔性鉸鏈?zhǔn)艿睦?Mr為柔性鉸鏈?zhǔn)艿牧?fPZT為壓電陶瓷產(chǎn)生的輸入力。

根據(jù)能量守恒原理,力fPZT所做的功轉(zhuǎn)化為柔性鉸鏈的彎曲勢能和拉伸變形能。

(3)

式(3)中:Δx為輸入位移;Mr(x)為柔性鉸鏈?zhǔn)艿牧?fx(x)為柔性鉸鏈?zhǔn)艿妮S向力;A(x)和I(x)為柔性鉸鏈橫截面積和慣性矩;E為楊氏模量。

根據(jù)胡克定律,可以得到

fx=Kl1Δl1

(4)

式(4)中:fx為柔性鉸鏈所受的軸向拉力;Kl1、Δl1分別為柔性鉸鏈的拉伸剛度和軸向伸長量。

將式(4)代入式(3)并求解積分得到橋式放大機構(gòu)的軸向位移為

(5)

式(5)中:Kθ1為柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度。

使用歐拉-伯努利梁理論計算變形梁的擾度作為輸出位移Δy,即

(6)

式(6)中:E1為修正后的楊氏模量。

對式(6)求解積分得到輸出位移為

(7)

式(7)中:l1、l2分別為柔性鉸鏈、連接梁的長度。

因此,聯(lián)立式(5)和式(7)得到歐拉-伯努利梁模型的放大比為

(8)

2.1.2 考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型

考慮連接梁的變形,則輸入力fPZT所做的功轉(zhuǎn)化為柔性鉸鏈和連接梁的彎曲勢能與拉伸變形能,得到橋式放大機構(gòu)的輸入位移為

(9)

式(9)中:Kθ2和Kl2為連接梁的轉(zhuǎn)動剛度和拉伸剛度。

由剛度矩陣可知Kl1、Kθ1、Kθ2和Kl2的值分別為[15]

(10)

式(10)中:d為柔性鉸鏈的寬度;t為柔性鉸鏈的厚度。

當(dāng)d>10t時,楊氏模量E應(yīng)修正為E1[15],即

(11)

式(11)中:v為泊松比。

柔性鉸鏈和連接梁的擾度之和作為橋式放大機構(gòu)的輸出位移Δy為

(12)

對式(12)求解積分得到輸出位移為

(13)

因此,聯(lián)立式(5)和式(13)得到考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型的放大比為

(14)

2.1.3 二自由度模型

Δy為輸出位移;fN為連接梁所受的拉力;α為變形前桿AB與水平線的夾角;α′為變形后桿AB與水平線的夾角;Δα=α-α′圖3 橋式機構(gòu)簡化原理圖

將橋式放大機構(gòu)簡化為如圖3所示的類似菱形的連桿結(jié)構(gòu)[16],機構(gòu)在輸入力的作用下從實線位置變?yōu)樘摼€位置,橋式放大機構(gòu)變形前連接梁兩端的柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)中心是點A和點B,變形后連接梁兩端的柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)中心變成了點A′和點B′,桿AB的水平夾角α在輸入力作用下變?yōu)棣痢洹?/p>

由式(1)可知fA=fB=fx,根據(jù)圖3在連桿端點A處建立力矩和力方程為

fxh=2Mr=2Kθ1Δα

(15)

(16)

根據(jù)虛工原理,建立能量方程

fxΔx=fNΔl1+2MrΔα

(17)

聯(lián)立式(15)～式(17)可得橋式放大機構(gòu)的軸向位移Δx為

(18)

根據(jù)圖3可得

ly=lABsinα

(19)

式(19)中:lAB為點A和B之間的長度。

對式(19)兩邊求全微分得到

dly=lABcosαdα+sinαdlAB

(20)

用微小增量代替微分得

Δy=lABcosαΔα+sinαΔlAB

(21)

由式(15)和式(16)得到Δα和Δl1,并代入式(21)得

(22)

因此,聯(lián)立式(18)和式(22)得到二自由度模型的放大比為

(23)

將3種放大比模型以及單自由度模型[17]的計算結(jié)果與軟件Workbench17.0的仿真結(jié)果做比較。從圖4可以看出考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型的輸出位移值與仿真值最接近,說明考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型具有更高的預(yù)測精度。

圖4 各模型的放大比

2.2 應(yīng)力分析

要保證材料在彈性變形范圍內(nèi)產(chǎn)生形變,需要滿足最大應(yīng)力小于許用應(yīng)力,應(yīng)力為

(24)

式(24)中:W為柔性鉸鏈的抗彎截面系數(shù);A為柔性鉸鏈的截面面積。

3 動態(tài)特性分析

對橋式放大機構(gòu)進(jìn)行動態(tài)特性分析,因其只有y方向上一個自由度的輸出,取輸入位移為廣義坐標(biāo)q,根據(jù)圖1機構(gòu)模型,橋式放大機構(gòu)系統(tǒng)動能可以表示為

(25)

式(25)中:q為輸入位移;d為輸出位移,根據(jù)式(23)求出d=Ramp2q。

根據(jù)拉格朗日方程[18],橋式放大機構(gòu)的等效質(zhì)量M和等效剛度K分別為

(26)

橋式放大機構(gòu)固有頻率為

(27)

4 理論模型驗證

為驗證理論模型,采用ANSYS對放大機構(gòu)進(jìn)行有限元仿真,機構(gòu)尺寸如表1所示,材料選用AL-7075鋁合金,其彈性模量為71.7 GPa,泊松比為0.33,密度為2 810 kg/m3,屈服強度為503 MPa。根據(jù)放大機構(gòu)的尺寸選擇網(wǎng)格密度為0.5 mm。

將固定塊固定,在x軸兩端各輸入10 μm的位移,得到橋式放大機構(gòu)的輸出位移、固有頻率和應(yīng)力,應(yīng)力分布如圖5所示,將仿真值與理論值對比,對比結(jié)果如表2所示。

表2 仿真值與理論值比較分析

圖5 應(yīng)力分布圖

根據(jù)圖5的應(yīng)力分布圖可知,最大應(yīng)力產(chǎn)生在柔性鉸鏈中間處,最大應(yīng)力為40.58 MPa,遠(yuǎn)小于屈服極限,強度符合要求。從表2對比結(jié)果可以看出各性能的理論值誤差均在7%以內(nèi),證明了理論模型的正確性。

5 參數(shù)優(yōu)化

5.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立

由于橋式放大機構(gòu)的響應(yīng)與參數(shù)的關(guān)系難以用顯式函數(shù)擬合,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型屬于非線性模型,能夠通過有限的樣本點建立響應(yīng)與參數(shù)之間的關(guān)系模型,利用該模型預(yù)測非樣本點的響應(yīng)值,為橋式放大機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計提供優(yōu)化模型。以橋式放大機構(gòu)的放大倍數(shù)和固有頻率作為性能指標(biāo),柔性鉸鏈的長度l1和厚度t,連接梁的長度l2和厚度t1以及兩個鉸鏈的間距h尺寸作為參數(shù),各參數(shù)的取值范圍如表3所示,根據(jù)表3的取值范圍使用最優(yōu)拉丁超立方抽樣確定試驗點并計算對應(yīng)的響應(yīng)值,結(jié)果如表4所示。

表3 參數(shù)取值范圍

表4 試驗設(shè)計數(shù)據(jù)表

(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有3層結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)類型,分別為輸入層、隱含層和輸出層。輸入層接收輸入信號并傳遞到隱含層,輸入層節(jié)點個數(shù)取決于輸入變量個數(shù),隱含層也稱中間層,該層中的隱元素使用非線性變換函數(shù)將輸入映射至新的空間。輸出層常用線性函數(shù)作為傳遞函數(shù),輸出層節(jié)點個數(shù)取決于響應(yīng)個數(shù)。根據(jù)本文5個參數(shù)兩個響應(yīng),構(gòu)建RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖6所示。

圖6 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

對于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),使用高斯函數(shù)[19]作為徑向基函數(shù),函數(shù)形式為

(28)

式(28)中:Fi為隱含層的輸出;X為n維輸入向量;Ci為權(quán)值向量,與X具有相同的維數(shù);σi為第i個隱含層節(jié)點變量,其確定了基函數(shù)半徑;‖X-Ci‖為向量X-Ci的歐幾里德范數(shù);m為隱含層的節(jié)點個數(shù)。

5.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型擬合精度檢驗

將表4中的數(shù)據(jù)當(dāng)作訓(xùn)練樣本,應(yīng)用MATLAB自帶工具箱中的newrb函數(shù)建立RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。采用最優(yōu)拉丁超立方抽樣設(shè)計10組檢驗樣本點,通過ANSYS仿真獲得橋式放大機構(gòu)這10組檢驗樣本的放大倍數(shù)和固有頻率值列于表5,通過這10組檢驗樣本點驗證模型的擬合精度。

表5 檢驗樣本

調(diào)用MATLAB中的sim函數(shù),輸入變量是表5中的10組數(shù)據(jù),得到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對放大倍數(shù)和固有頻率的預(yù)測,預(yù)測值分別用R′amp2和f′表示,如表6所示。

表6 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測結(jié)果

可決系數(shù)可以用來評價RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合精度,其計算公式[20]為

(29)

式(29)中:R2為可決系數(shù);Xi為預(yù)測值;Yi為模擬值;n為試驗次數(shù);li為模擬值的平均值。

將表5檢驗樣本中的響應(yīng)值與表6中的響應(yīng)預(yù)測值代入式(29),分別計算得到放大倍數(shù)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的可決系數(shù)R2=0.948 1和固有頻率RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的可決系數(shù)R2=0.941 2,R2均接近1,說明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合精度較高。圖7放大倍數(shù)與圖8固有頻率的仿真值和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值非常接近,直觀地證明了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合精度較高。

圖7 放大倍數(shù)模擬值與預(yù)測值對比圖

圖8 固有頻率模擬值與預(yù)測值對比圖

5.3 基于多島遺傳算法(MIGA)的多目標(biāo)優(yōu)化

MIGA將種群分成多個島嶼共同并行進(jìn)化,相比于其他算法,它適用于參數(shù)較多的尋優(yōu)。具有全局性,能避免陷入局部最優(yōu),而且求解速度快。在建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型內(nèi)進(jìn)行全局尋優(yōu),各結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍如表3所示,MIGA的參數(shù)值設(shè)置如表7所示。尋優(yōu)得到的參數(shù)值如表8所示。

表7 MIGA參數(shù)

表8 優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)

將參數(shù)優(yōu)化前與參數(shù)優(yōu)化后的性能指標(biāo)進(jìn)行對比分析,對比結(jié)果如表9所示。由表9可知優(yōu)化后的放大倍數(shù)7.34,相比優(yōu)化前的6.33倍提高了16.0%,優(yōu)化后的固有頻率237 Hz,相比優(yōu)化前的198 Hz提高了19.7%,優(yōu)化結(jié)果符合預(yù)期,證明建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和采用的MIGA是準(zhǔn)確可靠的。

表9 橋式放大機構(gòu)優(yōu)化前與優(yōu)化后性能指標(biāo)

6 結(jié)論

(1)通過對比分析可知,將變形梁的擾度作為輸出位移,考慮連接梁變形的歐拉-伯努利梁模型對放大比的預(yù)測精度最高,通過仿真分析驗證,放大倍數(shù)、固有頻率和最大應(yīng)力的理論值與仿真值的誤差均在7%以內(nèi),驗證了理論模型的正確性。

(2)使用最優(yōu)拉丁超立方抽樣確定試驗點,用ANSYS仿真獲得試驗點的放大倍數(shù)和固有頻率,采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論建立關(guān)鍵參數(shù)與響應(yīng)之間的非線性模型,為橋式放大機構(gòu)的尋優(yōu)提供近似模型,最后通過多島遺傳算法尋優(yōu),結(jié)果表明放大倍數(shù)提高了16.0%,固有頻率提高了19.7%,證明了所采用的優(yōu)化方法具有明顯效果。