利用曲線坐標(biāo)方程計(jì)算線路縱斷面標(biāo)高

張群亮，廖顯軍

（1.中國鐵路青藏集團(tuán)有限公司 格爾木工務(wù)段，助理工程師，青海 格爾木 816000；2.中國鐵路南寧局集團(tuán)有限公司 南寧鐵路工程建設(shè)指揮部，工程師，廣西 南寧 530029）

0 引言

根據(jù)線路設(shè)計(jì)規(guī)范，正線和城際鐵路160km/h及以上相鄰坡段的坡度差大于或等于1‰，城際鐵路160km/h 以下動(dòng)車組行走線相鄰坡段坡度差大于3‰，應(yīng)采用豎曲線連接［1］。

傳統(tǒng)鐵路線路縱斷面標(biāo)高在豎曲線范圍進(jìn)行近似調(diào)整的計(jì)算方法，存在以下幾個(gè)缺點(diǎn)：

首先，實(shí)際上變坡點(diǎn)處沒有豎曲線是不存在的，相鄰坡段的坡度差小于1‰同樣產(chǎn)生豎曲線，因?yàn)楝F(xiàn)場線路縱斷面在變坡點(diǎn)處不可能出現(xiàn)有角度的變坡點(diǎn)，而是以平滑的線條過渡，即使豎曲線長度很短，每處變坡點(diǎn)都存在豎曲線，傳統(tǒng)計(jì)算忽略這一點(diǎn)，理論上存在缺陷。

最后，在計(jì)算豎曲線范圍內(nèi)線路縱斷面標(biāo)高時(shí)，還需要進(jìn)行豎曲線的縱距計(jì)算，換算為線路縱斷面最終標(biāo)高，不能一次計(jì)算完成，計(jì)算過程繁瑣。

因此，有必要研究出新的計(jì)算方法以解決實(shí)際問題。

1 利用曲線坐標(biāo)方程計(jì)算方法的提出

首先始坡度線上任意一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平線為橫軸建立獨(dú)立坐標(biāo)系，以每兩個(gè)坡段和豎曲線構(gòu)成一個(gè)豎曲線單元，變坡點(diǎn)為豎曲線的JD，如圖1，每個(gè)豎曲線建立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)曲線坐標(biāo)方程式，以曲線相對里程為自變量，計(jì)算豎曲線上任意測點(diǎn)里程對應(yīng)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)值，橫坐標(biāo)為線路里程，縱坐標(biāo)為線路縱斷面標(biāo)高。再者在獨(dú)立坐標(biāo)系下，建立連續(xù)曲線坐標(biāo)方程，計(jì)算出線路縱斷面上任意一計(jì)算點(diǎn)的線路里程和標(biāo)高。

圖1 線路縱斷面獨(dú)立坐標(biāo)系

2 建立線路縱斷面獨(dú)立坐標(biāo)系

以大地水平線為橫軸，以第一坡度線豎曲線外任意一測點(diǎn)為原點(diǎn)建立線路縱斷面獨(dú)立坐標(biāo)系，每一個(gè)豎曲線方程單元?jiǎng)澐秩鐖D1，各坡段的變坡點(diǎn)里程、標(biāo)高，各豎曲線ZY點(diǎn)里程、標(biāo)高計(jì)算如下：

（1）已知各坡段的坡度I（i），變坡點(diǎn)標(biāo)高H（i）、坡長L（i）、豎曲線半徑R（i），求得變坡點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)YJD（i）=H（i）。

導(dǎo)線長度為：

（2）在獨(dú)立坐標(biāo)系內(nèi)，將縱斷面劃分若干個(gè)曲線單元，第1 豎曲線單元從坐標(biāo)原點(diǎn)至第2 曲線ZY（2），依次類推，第i豎曲線單元從ZY（i）點(diǎn)至ZY（i+1），如圖2。

圖2 獨(dú)立坐標(biāo)系下豎曲線縱斷面圖

在獨(dú)立坐標(biāo)系下，以線路縱斷面線建立線路曲線坐標(biāo)方程，線路上某點(diǎn)j，里程為S（j），計(jì)算線路縱斷面上各測點(diǎn)的對應(yīng)的坐標(biāo)X（j），Y（j），橫坐標(biāo)為平面曲線的相對里程在水平線上的投影X（j），縱坐標(biāo)Y（j）為線路縱斷面標(biāo)高，如圖3。

圖3 線路縱斷面在獨(dú)立坐標(biāo)系下的坐標(biāo)圖

第1個(gè)豎曲線里程S（j）計(jì)算范圍：0～LZY（2）。

第2個(gè)豎曲線里程S（j）計(jì)算范圍：LZY（2）～LZY（3）。

…………

第i個(gè)豎曲線里程S（j）計(jì)算范圍：LZY（i）～LZY（i+1）。

其中最后一坡段終點(diǎn)；LZY（i+1）就是LJD（i+1）的里程，圖3中，LZY（3）就是LJD（3）的里程。

3 建立豎曲線標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)方程式

以ZY點(diǎn)為原點(diǎn)，始切線為橫軸，建立坐標(biāo)系，左轉(zhuǎn)圓曲線如圖4所示。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的圓曲線圖

以里程li為自變量，假設(shè)ZY點(diǎn)里程為0，則圓曲線及兩端切線方程為：

（1）始切線坐標(biāo)：

（2）圓曲線上任意一點(diǎn)i的坐標(biāo)方程為：

（3）終切線坐標(biāo)：

以上公式中φi為弧長li對應(yīng)的圓心角，L為豎曲線全長，T1、T2為豎曲線切線長，α為豎曲線的轉(zhuǎn)角，這就是普通圓曲線標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)方程（公式證明從略）。

如為曲線向右轉(zhuǎn)，則縱坐標(biāo)Yi=-Yi，其他與左轉(zhuǎn)曲線一致。

4 在獨(dú)立坐標(biāo)系下建立豎曲線坐標(biāo)方程式

在獨(dú)立坐標(biāo)系下，以變坡點(diǎn)為導(dǎo)線點(diǎn)建立線路縱斷面豎曲線坐標(biāo)方程，線路上某點(diǎn)j里程為S（j），其坐標(biāo)計(jì)算，首先計(jì)算豎曲線標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)方程下的坐標(biāo)，再通過坐標(biāo)平移旋轉(zhuǎn)換算成獨(dú)立坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

4.1 豎曲線標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)方程下的坐標(biāo)計(jì)算

首先根據(jù)S（j）值，判斷該點(diǎn)j落在哪個(gè)豎曲線范圍，根據(jù)圖1 判斷，第i個(gè)豎曲線里程S（j）計(jì)算范圍：LZY（i）～LZY（i+1）。

4.2 獨(dú)立坐標(biāo)系下豎曲線標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)方程坐標(biāo)換算

第i個(gè)豎曲線平移橫、縱坐標(biāo)為：XZY（i）、YZY（i），旋轉(zhuǎn)角度為始切的方位角AFJ（i），豎曲線標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)方程的坐標(biāo)通過平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)換算為獨(dú)立坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，計(jì)算公式如下：

由于獨(dú)立坐標(biāo)系豎曲線坐標(biāo)方程自變量里程S（j）是沿著線路縱斷面線移動(dòng)，其橫坐標(biāo)是線路里程，縱坐標(biāo)是標(biāo)高，曲線方程里程S（j）和線路里程并不相等，所以需要通過試算微調(diào)曲線方程里程的方式，達(dá)到計(jì)算出線路縱斷面某一確定里程對應(yīng)標(biāo)高的目的，這一步通常需要編寫計(jì)算機(jī)程序去完成。

用同樣方法求得各計(jì)算點(diǎn)的絕對線路縱斷面里程和標(biāo)高，這樣就完成了線路縱斷面里程和標(biāo)高的計(jì)算。

5 計(jì)算實(shí)例

已知i1=+2‰，i2=+3.4‰，變坡點(diǎn)里程V=K736+300，變坡點(diǎn)標(biāo)高HV=68.300m，豎曲線半徑R=20000m，試求豎曲線始終點(diǎn)里程及豎曲線上每20m點(diǎn)的標(biāo)高［2］。

每個(gè)坡段的方位角：

以豎曲線ZY點(diǎn)開始計(jì)算線路縱斷面標(biāo)高，則導(dǎo)線長度，以豎曲線ZY點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為橫軸建立獨(dú)立坐標(biāo)系，如圖5。

圖5 建立豎曲線獨(dú)立坐標(biāo)系

ZY點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)j點(diǎn)的里程時(shí)，求其坐標(biāo)為：

表1 線路縱斷面標(biāo)高計(jì)算成果表

6 結(jié)束語

利用曲線坐標(biāo)方程計(jì)算線路縱斷面標(biāo)高的新計(jì)算方法，該計(jì)算方法數(shù)學(xué)邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)，精度高，計(jì)算結(jié)果經(jīng)與已公開出版書籍的案例進(jìn)行對比，證明計(jì)算正確，克服了傳統(tǒng)計(jì)算方法存在的精度不高、計(jì)算過程繁瑣等問題，該方法也便于編寫計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行計(jì)算，通過對若干條線路的縱斷面標(biāo)高計(jì)算，其運(yùn)算速度快，提高了工作效率。