對拋體運動物體落地無限彈跳問題的思考

陳衛國

(北京師范大學貴陽附屬中學)

本文分析做拋體運動物體在給定約束條件下落地彈跳至終止的時空問題,得出所耗時間及空間水平位移的普遍表達式,再用普遍表達式分析特殊情況,討論結果與實際情況是否吻合.

1 物理原型

現實中有一類拋體運動,拋出后落地與地面撞擊再彈起又落地,經過多次撞擊后最終不再彈起.在給定約束條件下,確定其彈跳的時間與水平位移是一個非常具有現實意義的問題.

分析此類問題的基本思想是運動等時性原理:物體合運動與分運動所耗時間相等.

2 模型建構

模型1一個小球在距離地面高度為h的位置以速度v0水平拋出,小球與水平地面碰撞后瞬間,其速度的水平分量與碰撞前瞬間相等;速度垂直地面的分量大小與碰撞前瞬間的比值為k(k≤1).重力加速度大小為g,忽略空氣阻力,試確定小球在地面彈跳的時間及彈跳的水平位移.

分析小球運動情況如圖1所示,小球開始平拋到落地耗時,落地瞬間,小球豎直方向的速度,小球第一次向上彈跳的速度vy1＝.

圖1

小球第一次斜上拋到落地,耗時

小球第二次斜上拋到落地,耗時

小球第三次斜上拋到落地,耗時

小球與地面第n次碰撞,豎直方向上的速度為vyn,斜上拋到落地,耗時.假設此后,小球不再有豎直方向上的速度,則從開始平拋到最后豎直方向上的速度為零的時刻,該時間段為

在上述時間段中,小球水平方向以速度v0做勻速直線運動,與地面第n次碰撞時,水平位移

1)令n→∞,得

由上可知,當k＝1 時,小球在地面將做無限彈跳;當k＜1時,小球將做有限彈跳.

2)令n＝0,得,與,此即初次平拋所耗時間和水平位移.

模型2如果初始時刻小球在地面做斜上拋運動,且水平速度為v0,豎直向上速度大小為vy1,令vy1＝kvy0＝,其他約束條件相同.

分析耗時為前述普遍表達式中刪去n＝0時的初始平拋時間;水平位移為前述普遍表達式中刪去n＝0時的初始平拋位移,即

3 模型應用

例 (2023年全國甲卷)如圖2所示,光滑水平桌面上有一輕質彈簧,其一端固定在墻上.用質量為m的小球壓彈簧另一端,使彈簧彈性勢能為Ep.釋放后,小球在彈簧作用下從靜止開始在桌面上運動,與彈簧分離后,從桌面水平飛出.小球與水平地面碰撞后瞬間,其平行于地面的速度分量與碰撞前瞬間相等;垂直于地面的速度分量大小變為碰撞前瞬間的.小球與地面碰撞后,彈起的最大高度為h.重力加速度大小為g,忽略空氣阻力.求:

圖2

(1)小球離開桌面時的速度大小;

(2)小球第一次落地點距桌面上其飛出點的水平距離.

試題拓展在題給參量不變的前提下,小球最終將不再上彈,到小球在地面不再斜上拋時刻,試確定其距離桌面飛出點的水平距離及所耗時間.

分析小球離開桌面的全過程,運動軌跡如圖3所示(沿地面水平向右為＋x軸,豎直向上為＋y軸),從桌面平拋開始計時.

圖3

小球從桌面做平拋運動到第一次落地耗時

與地面第一次碰撞,向上速度為vy1,斜上拋到落地,耗時

與地面第二次碰撞,設向上速度為vy2,斜上拋到落地,耗時

假設與地面第三次碰撞,設向上速度為vy3,斜上拋到落地,耗時

與地面第n次碰撞,設向上速度為vyn,斜上拋到落地,耗時.

在與地面第n次碰撞后,小球不再有向上速度,則從開始平拋到最后沒有豎直向上速度時刻,所需時間

或者將相關參量進行轉化,直接代入“模型建構中的時間公式”亦可直接得到上述結果.

在上述時間段中,小球水平方向以速度v＝vx＝做勻速直線運動,設與地面第n次碰撞時,距離桌面拋出點的水平距離為x,有

4 結語

拋體運動物體落地無限彈跳時空問題,看似復雜無解,實則通過原型分析、模型建構、數學處理,我們可以洞察常見現象背后隱藏的簡潔的物理本質.“對問題認識越深刻,得出的結論越簡潔”,學以致用,我們解決問題也就越輕松.

就2023年高考理綜甲卷第24題而言,試題只設置了第(1)、(2)問,屬于求具體事件的相關物理參量,學生解決比較順利,如果把上述“拓展”作為第(3)問,試題的品質陡然上升,更能考查學生的思維品質、物理素養.

如何帶領學生跳出題海,與機械刷題告別呢? 模型建構不失為一種有效途徑.教師帶領學生對典型問題深入剖析、建構模型,使問題解決由“特別”上升到“一般”,再由“一般”指導“特別”問題的解決.如此,學生的學習一定是輕松的、高效的,我們的教學也一定是成功的.

(完)