用平均力解決變力問題時的常見謬誤分析

趙康鑫 張 浩

(1.北京師范大學(xué)樂育書院 2.甘肅省蘭州市第二中學(xué))

在高中階段,涉及變力的動力學(xué)問題比較復(fù)雜,在處理一維變力做功問題時,可找出等效恒力代替此變力從而解決問題.此處的易錯點是誤將動量定理得出的平均力代入動能定理進行求解,不少學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)其中的錯誤.本文從定義出發(fā)辨析高中物理中常見的兩種平均力的不同,并基于例題指出在不同情境下使用平均力解題的常見謬誤,給出正確解題的思路和方法.

1 辨析兩種平均力

以一維變力問題為例.考慮動量定理的表達式:

式中F為物體受到的合外力.當(dāng)此合外力為變力時,我們可以用平均力來代替此合外力:定義平均合外力

代入式①得

通過式②即可求出此變力F的平均力,但這樣求得的平均力并不能用于計算功的大小.

由功的定義知

式中F為合外力.定義為

代入式③得

式②與式④有相似的數(shù)學(xué)形式,但物理意義不同.式②即為動量定理,代表力對時間的累積效果,是動量的變化量;式④為動能定理,代表力對位移的累積效果,是動能的變化量.且兩式中平均力的物理意義也不相同,式②中的是力對時間的平均值,而式④中的則是力對位移的平均值,在一般情況下這兩種平均力不能相互替代.

另外,當(dāng)力F隨時間(位移)線性變化時,平均力可以表示為

在高中物理中,涉及變力做功的問題比較常見,做題時要辨析清楚平均力的物理意義.下面通過例題分析用兩種平均力解題中的常見謬誤.

2 用平均力求解變力問題的典型謬誤分析

例1一輛汽車在平直公路上由靜止開始運動,汽車的輸出功率隨速度大小的變化如圖1所示,當(dāng)汽車速度達到v0后,汽車的功率保持不變,汽車能達到的最大速度為2v0,已知汽車受到的阻力大小恒為f,汽車從v0達到2v0用時為t,汽車質(zhì)量為m.求汽車從靜止開始達到最大速度的過程中通過的位移大小.

圖1

分析首先對題目描述的物理過程進行分析,由P＝Fv知,0～v0過程中牽引力為一恒力F0,汽車做勻加速直線運動;

v0～2v0過程中,功率達到最大值P0,此過程中汽車速度不斷增大,故牽引力F不斷減小.當(dāng)汽車速度到達最大值2v0時,牽引力F＝f,最大功率P0＝2fv0;

故在0～v0過程中的牽引力F0＝2f,加速度大小

典型錯解直接對整個過程使用動量定理和動能定理得

正解1在v0～2v0的過程中,汽車牽引力所做的功為W2＝P0t,由動能定理可得

解得

則總位移x＝x1＋x2.

聯(lián)立解得

正解20～v0過程中汽車做勻加速直線運動,滿足v∝t,且此時P∝v,所以功率P隨時間線性變化,故P對時間的平均值為

對全過程應(yīng)用動能定理有

聯(lián)立解得

汽車以恒定功率加速問題是高中物理中典型的變力問題之一.本題中汽車先做勻加速直線運動,當(dāng)功率達到最大值后,汽車以恒定功率加速,此后牽引力不斷減小,汽車做加速度減小的變加速直線運動,直至牽引力等于阻力時,汽車的速度達到最大值.根據(jù)兩種平均力的物理意義可知此題中用動量定理求出的平均力不能用在動能定理中.要讓學(xué)生明確與在定義中的不同,避免出現(xiàn)“張冠李戴”的情況.一般情況下,將代入動能定理或?qū)⒋雱恿慷ɡ磉M行求解,必然是錯誤的.

例2平行金屬導(dǎo)軌水平放置,導(dǎo)軌間距為l,一端接有一阻值為R的電阻,現(xiàn)將一根質(zhì)量為m的金屬桿置于導(dǎo)軌上,整個裝置處于豎直向下的勻強磁場中.已知金屬桿開始運動的初速度為v0,方向平行于導(dǎo)軌.金屬桿、導(dǎo)軌的電阻和桿與導(dǎo)軌間的摩擦力均忽略不計.求金屬桿運動位移為x時速度的表達式.

分析在金屬桿運動的過程中,安培力是變力,則金屬桿做變減速直線運動.設(shè)整個過程用時Δt,平均安培力為,則

聯(lián)立解得

3 反思總結(jié)

本文通過定義和例題,辨析了兩種平均力物理意義的不同,在求解相關(guān)變力問題時二者不能相互替代.要理解這兩種平均力的不同,避免在解題時出現(xiàn)“張冠李戴”的情況.只有真正掌握物理概念,明確其物理意義,在做同類型題目時才能夠得心應(yīng)手.

(完)