運動問題中動能定理的妙用

趙 飛

(甘肅省玉門市第一中學)

運動問題是高中物理學習中繞不開的研究內容,在高考中分值所占比例很高.在處理運動問題時,有四大基本方法,即牛頓運動定律、動能定理、動量定理和機械能守恒定律.本文對動能定理在運動問題中的應用進行總結剖析,以提高學生對動能定理的理解和應用能力.

1 動能定理在直線運動問題中的應用

解決直線運動問題是動能定理的基本應用,在解題時需要注意的是確定研究對象的初、末狀態,準確分析運動過程中研究對象的受力情況和位移情況.

例1如圖1所示,一根彈力與伸長量成正比關系的彈性輕繩左端固定在墻壁A點處,右端穿過固定在B點且光滑的圓環后連接一個質量為m的小球(可視為質點),當小球在B點時彈性細繩處于自然伸直狀態,繩間無張力.將小球穿過一個豎直固定的細桿,在C點固定時(點A、B、C處于同一條水平直線上)彈性細繩的張力為mg.將小球從C點由靜止釋放,它在達到D點時恰好靜止.若小球與豎直細桿的動摩擦因數為0.2,CD＝h,重力加速度為g,彈性細繩在整個過程中都處在其彈性限度內.

圖1

(1)求小球在從C點運動到D點過程中摩擦力做的功;

(2)若小球質量變為2m,其他條件均不變,求其到達D點時的速度大小.

分析確定小球為研究對象,對其進行受力分析,其在從C點運動到D點過程中,彈性細繩的彈力隨著繩長變化而不斷改變.這是一個變力做功問題,因此可以考慮使用動能定理求解.

解(1)設B、C兩點間的距離為L,根據胡克定律有mg＝kL.設BD與豎直方向的夾角為α,根據幾何知識和胡克定律,小球在D點時細繩彈力

對小球在D點時進行受力分析如圖2所示,可知其在水平方向上受力平衡,有

圖2

故小球在從C點運動到D點過程中摩擦力大小為

在這個過程中摩擦力做功為

(2)在質量為m和2m兩種情況下,對小球從C點運動到D點過程中應用動能定理,分別列式得

聯立三式可解得

【小結與拓展】解答本題要注意兩點:一是明確小球在D點水平方向受力平衡;二是在小球質量變化前后,摩擦力做功不變.

通過上例可以看出,利用動能定理求直線運動中的變力做功問題比較便捷,尤其是在不涉及時間的時候動能定理是首選.在解題時還需注意:研究對象涉及的物理量所選參考系必須統一;研究對象所受力無須同時作用在物體上;各力所做功的代數和等于總功.

2 動能定理在曲線運動問題中的應用

應用動能定理求解曲線運動問題的核心思路是“運動分析＋受力分析”.運動分析是確定研究對象的運動狀態,并最終確定初、末狀態的動能;受力分析是確定研究對象所受力的性質及各個力的做功情況,即最終確定各個力做的是正功還是負功.這兩個“分析”是并行的,互為補充的,都是為最終應用動能定理列式服務的.

例2如圖3所示,在豎直平面內有一個由金屬細桿制成的軌道OABC,其中OA段為一拋物線形狀,所在拋物線的方程為,且該段金屬軌道粗糙;ABC段為半徑R＝1 m 的圓的一部分,該段軌道光滑,圓心O1與端點O等高,B點是軌道最低點,C點是軌道最高點.現在以端點O為原點、水平和豎直方向為橫縱坐標軸建立平面直角坐標系.已知軌道的拋物線段與x軸在O點處相切,A點處兩部分軌道平滑連接,A點的橫坐標為2.4 m,∠AO1B＝37°.現有一個中心開孔、質量m＝0.1 kg的小球套在軌道上,小球以5 m?s－1的速度從O點水平向右拋出,過A點時的速度為6 m?s－1,已 知sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,g取10 m?s－2.

圖3

(1)求小球經過B點時對軌道的壓力.

(2)求小球通過OA段過程克服摩擦力所做的功.

(3)小球能否到達C點?

分析第(1)問可利用動能定理求出小球經過B點時的速度,然后利用圓周運動知識和牛頓第二定律列式;第(2)問依然要使用動能定理,前提是先求出A點的縱坐標,這樣才能知道重力勢能的變化量;第(3)問要注意小球是套在軌道上的,屬于圓周運動中的“桿模型”,因此需要先用動能定理求出過C點時速度,然后與臨界速度比較.

解(1)設小球經過B點時的速度為vB,在小球從A點運動到B點過程中,根據動能定理有

小球過點B時做圓周運動,可得

聯立以上兩式可得

由牛頓第三定律可知,小球經過B點時對軌道的壓力為5 N,方向豎直向下.

(2)將A點的橫坐標代入拋物線方程,可得

在小球由O點運動到A點的過程中,根據動能定理有

代入題給數據,解得小球在通過OA段過程中克服摩擦力所做的功

(3)小球要從B點運動到C點,克服重力所做的功

小球在B點的動能

因為EkB＝W′,所以可知小球到達C點時速度恰好為0,因為小球是套在軌道上的,軌道對其有支撐力作用,所以小球是可以到達C點的.

【小結與拓展】本題的分析思路非常有層次感,只需按照運動的時間順序正確對小球進行受力分析和運動過程分析,將動力學角度和能量角度進行結合,得到答案.像本例題這類不要求分析細節的曲線運動問題,一般都優先考慮使用動能定理進行分析求解.

應用動能定理求解曲線運動問題是高考中的常見考查方式,在具體解題時,需要注意不同力的做功特點,比如重力做功與路徑無關,摩擦力做功與路徑有關,等等.另外,還需要特別注意動能定理的標量性質,不能在某個方向上套用動能定理列式,重點還是要分清楚研究對象的初、末狀態.

以上是對動能定理在運動問題中常見應用的總結分析.除此之外,高考中還常出現將圖像問題與動能定理結合的考查方式,大家不妨嘗試總結歸納一下,必會對解題有所幫助.

(完)