類比“火箭發(fā)射”“人船拋物”模型遷移解決變質(zhì)量問題

李旭斌

(中國人民大學附屬中學朝陽學校)

類比遷移是根據(jù)兩個對象之間某些屬性相同,推出它們的其他屬性也可能相同的間接推論,即借助事物之間的相似性,通過比較將一種已經(jīng)掌握的特殊對象上的知識,推到另一種新的特殊對象上的思維方法.學習者在運用類比遷移解決問題的過程中,基本上都要經(jīng)歷“激活源問題—映射或匹配—解決靶問題”的過程,靶問題和源問題表面相似程度越高,越有助于靶問題的解決.

1 靶問題的給出

變質(zhì)量問題的特點是綜合性強、貼近實際、過程復雜,對科學思維的考查、物理學科方法的運用都有著較高的要求.我們以一道變質(zhì)量問題作為靶問題,談談如何運用類比遷移高效解題.

靶問題質(zhì)量為M的絕熱薄壁容器處于遠離其他星體的太空(可視為真空)中.在某慣性系中觀察,該容器的初始速度為零,容器的容積為V,容器中充滿某種單原子分子理想氣體,氣體的初始分子數(shù)、分子質(zhì)量分別為N0、m,氣體的初始溫度為T0.t＝0時刻容器上出現(xiàn)面積為S的一個小孔,由于小孔漏氣,導致容器開始運動,但容器沒有轉(zhuǎn)動.假設小孔較小,容器中的氣體在泄漏過程中始終處于平衡狀態(tài).已知氣體分子相對容器沿x方向的平均速度為ˉvx,滿足,其中氣體溫度T與容器內(nèi)分子數(shù)N的關系滿足:T＝CN1/3,C為常數(shù);容器內(nèi)分子個數(shù)N隨時間變化關系滿足:N＝,k為玻爾茲曼常數(shù).求t時刻容器運動的速度大小(假設M?N0m).

2 激活源問題并進行匹配和映射

通過類比,我們不難發(fā)現(xiàn)可將火箭發(fā)射問題作為源問題.這里運用的是“淺加工激活策略”,即通過靶、源問題的表面相似性確定源問題.為更好地解決靶問題,我們更應該運用“深加工激活策略”確定源問題,即對靶問題進行細致加工后,通過靶、源問題結構的相似性確定源問題,具體過程如表1所示.

表1 靶問題與火箭發(fā)射問題、人船拋物問題的類比

具體做法是將變質(zhì)量靶、源問題分為主體質(zhì)量、主體速度、附體質(zhì)量、附體速度、系統(tǒng)動量是否守恒五個類比項目并逐一進行對比,發(fā)現(xiàn)三類問題具有高度相似的結構,因此適合將火箭發(fā)射和人船拋物源問題的解決方案遷移至靶問題中.

如圖1-甲所示,人坐在船上以一定的速度u將貨物水平拋出,船獲得反方向的速度v,不計水及空氣的阻力,水平方向系統(tǒng)動量守恒.如圖1-乙所示,火箭以一定的速度u向下噴射燃料以獲得上升的速度v,由于火箭噴氣過程系統(tǒng)內(nèi)部作用遠大于外部作用,可忽略外力,豎直方向動量近似守恒.可見,火箭及剩余燃料組成的主體可與人船及剩余貨物組成的主體進行類比,火箭噴出的燃料附體可與被拋出的貨物附體進行類比.

圖1 火箭發(fā)射問題與人船拋物問題的類比

由此,可將人船拋物問題中船最終獲得的速度所滿足的規(guī)律遷移至火箭發(fā)射問題中去,并且在貨物拋出速度u所滿足的兩種不同條件下,分析船最終獲得的速度v.

條件1u是貨物相對拋出貨物后的船的速度,即人相對船以恒定的速度u進行拋物,每次拋出貨物質(zhì)量為Δm,通過n次拋完所有貨物.設人船質(zhì)量為M,拋出貨物后人船及剩余貨物的速度為v1.該條件以地面為參考系.

拋出第1個貨物:

拋出第2個貨物:

拋出第n個貨物:

最后解得船獲得的速度

條件2u是貨物相對拋出貨物前的船的速度,即人相對拋出貨物前的船以恒定的速度u進行拋物,每次拋出貨物質(zhì)量為Δm,通過n次拋完所有貨物.該條件以人船主體為參考系.

拋出第1個貨物:

拋出第2個貨物:

拋出第n個貨物:0＝Mvn＋Δm?u,最后解得船獲得的速度為

將人船拋物問題得到的結論遷移至火箭發(fā)射問題中.條件1對應的是火箭發(fā)射的“齊奧爾科夫斯基”噴射條件:燃料相對噴氣后的火箭以恒定速度u噴射,即燃料相對噴口以恒定的速度u噴射,通過n次將所有燃料噴射完,每次噴射的燃料質(zhì)量為Δm,火箭獲得的發(fā)射速度為

條件2對應的是火箭發(fā)射的“密歇爾斯基”噴射條件:燃料相對噴氣前的火箭以恒定速度u噴射,通過n次將所有燃料噴射完,每次噴射的燃料質(zhì)量為Δm,火箭獲得的發(fā)射速度

兩種噴射條件的等價性:由于火箭燃料噴射次數(shù)非常多且n→∞,有n≈n－1,n－1≈n－2,…,因此齊奧爾科夫斯基噴射條件和密歇爾斯基噴射條件下的火箭發(fā)射速度是等價的.

3 靶問題的解決

在容器噴氣模型中,容器以一定的速度向后噴射氣體,容器獲得向前的速度,容器和剩余氣體構成的主體可與人船及剩余貨物構成的主體、火箭和剩余燃料構成的主體進行類比;容器噴射的氣體附體可與人拋出的貨物附體、火箭噴射的燃料附體進行類比.

將齊奧爾科夫斯基噴射條件下的火箭速度v遷移到該題中的容器速度u,容器每次噴射的氣體分子數(shù)為dN,對應每次噴射氣體質(zhì)量為mdN,分n次噴完,氣體相對容器的噴射速度為ˉvx,得到

由于t時刻容器內(nèi)分子個數(shù)為N,假設此時容器完成第k次噴氣,有容器內(nèi)氣體質(zhì)量為(n－k＋1)mdN＝Nm,對應t～t＋dt內(nèi),即第k次噴氣容器獲得的速度du滿足

對上式兩端積分得到

在M?N0m的條件下,上式進一步化簡為

最后將容器內(nèi)分子數(shù)隨時間的變化關系代入上式,得到

4 小結

在物理學習中,通過類比遷移可以化解學習難度,簡化問題分析過程.同時注意,對于通過類比遷移得到的結論,要善于從多個角度審視其正確性,為遷移的可行性提供依據(jù).

(完)