時(shí)變載荷下三維摩擦系統(tǒng)接觸運(yùn)動(dòng)響應(yīng)研究

周耀兵，雷 威，何思澈，郭子源，趙 燈*

（第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北 武漢）

引言

沖擊是機(jī)械系統(tǒng)中遇到的強(qiáng)非線性行為之一，由于其在齒側(cè)間隙、懸架系統(tǒng)、轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)等齒輪嚙合系統(tǒng)的建模中被廣泛研究。力-位置關(guān)系的固有非線性引起了豐富的非線性現(xiàn)象，包括擦掠分岔和混沌運(yùn)動(dòng)，相關(guān)的研究一直備受關(guān)注。例如，Dyskin 等人[1]考慮了具有完美彈性接觸和周期性驅(qū)動(dòng)力的沖擊振蕩器，發(fā)現(xiàn)次諧波共振的振幅比線性增長慢。Jiang 等人[2]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)單面沖擊振蕩器的剛度比隨著彈性約束的增加而增加時(shí)，會(huì)出現(xiàn)從光滑分岔到非光滑分岔的轉(zhuǎn)變現(xiàn)象。

同時(shí)，摩擦是兩個(gè)接觸面產(chǎn)生的涉及相對(duì)運(yùn)動(dòng)的對(duì)抗性力，由于表面磨損和能量耗散是大多數(shù)機(jī)械系統(tǒng)在設(shè)計(jì)和工作過程中關(guān)注的兩個(gè)主要問題，因此在文獻(xiàn)中也得到了相當(dāng)大的關(guān)注。涉及摩擦界面的動(dòng)力學(xué)問題在廣泛的技術(shù)和科學(xué)應(yīng)用中被發(fā)現(xiàn)，包括螺栓連接、渦輪葉片、鐵路轉(zhuǎn)向架以及許多其他。對(duì)于更復(fù)雜的二維問題，相對(duì)簡單的系統(tǒng)可以表現(xiàn)出復(fù)雜的不穩(wěn)定性，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行精確的數(shù)值積分就會(huì)出現(xiàn)問題。Menq[3]給出了二維庫侖摩擦系統(tǒng)中不包含滑/粘轉(zhuǎn)移的質(zhì)點(diǎn)的一項(xiàng)簡諧形式解析解。

為了代表齒輪軸承系統(tǒng)、BHA 等面向工程的問題，本文建立了一個(gè)包含碰撞和摩擦的二維摩擦系統(tǒng)的數(shù)值算法來研究其動(dòng)態(tài)響應(yīng)，拓展了在恒定外部激勵(lì)作用下的平面滑移過程中質(zhì)量所走曲線長度的閉合形式解，并根據(jù)滑動(dòng)曲線長度預(yù)測沖擊位置。在此基礎(chǔ)上，提出了一種二維摩擦系統(tǒng)曲線長度封閉解的求解算法。

1 三維單節(jié)點(diǎn)摩擦模型

如圖1 所示，在二維摩擦系統(tǒng)中可以將滑塊載荷簡化為集中力Qt以及摩擦力Fμ，其中摩擦力與正壓力和速度有關(guān)，集中力受到阻尼、剛度、外部激勵(lì)等控制。

圖1 二維摩擦系統(tǒng)

在以往的研究中，作者已經(jīng)提供了二維摩擦系統(tǒng)數(shù)值解析解，如下式所示。

1.1 滑移-黏附轉(zhuǎn)換

考慮到集中力Qt以及摩擦力Fμ之間的相互關(guān)系，滑移-黏附轉(zhuǎn)換可以細(xì)分為滑移→黏附轉(zhuǎn)化和黏附→滑移轉(zhuǎn)換。而轉(zhuǎn)換過程最重要的特征為轉(zhuǎn)換時(shí)間以及轉(zhuǎn)換位置。

在滑移→黏附轉(zhuǎn)換過程中，當(dāng)速度將為零瞬間，集中力Qt與速度之間的夾角，因此，轉(zhuǎn)換時(shí)間和黏附前瞬間滑移軌跡可以表述為:

在黏附→滑移過程中，利用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行泰勒展開，可以獲取時(shí)間間隔內(nèi)滑塊的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)如式(3)所示。

1.2 滑移/黏附-分離轉(zhuǎn)換

當(dāng)法向力N 能夠克服自身重力時(shí)能夠使得滑塊與接觸平面發(fā)生分離，此時(shí)摩擦力為零，因此=0。因此，滑移→分離前滑移軌跡可以表述為

對(duì)于平面接觸模型，只要滑塊運(yùn)動(dòng)縱坐標(biāo)滿足z>z0，滑塊將一直處于分離階段。考慮到滑塊與接觸平面碰撞時(shí)會(huì)引起速度突變，造成能量發(fā)生損耗，因此碰撞后滑塊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與滑塊運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，如式(5)所示。

2 案例與驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述接觸解析解，本文綜合考慮了剛度和阻尼引入了如式(6)所示的集中力形式

2.1 滑移-黏附轉(zhuǎn)換

為了在運(yùn)動(dòng)過程中引入滑移-黏附轉(zhuǎn)換，本文將式(6)中各參數(shù)設(shè)置為。在法向力N 小于重力的情況下，在運(yùn)動(dòng)過程中不可能產(chǎn)生滑移/黏附-分離轉(zhuǎn)換，而集中力與最大摩擦力Fμ之間的大小關(guān)系未定，使得在運(yùn)動(dòng)過程中滑塊能夠與接觸平面保持接觸狀態(tài)，同時(shí)引?入了滑移-黏附轉(zhuǎn)換。

動(dòng)態(tài)響應(yīng)和狀態(tài)轉(zhuǎn)換時(shí)間可以用來評(píng)價(jià)我們所提供的摩擦算法和另外兩種數(shù)值方法(數(shù)值積分法NI和龍格-庫塔法RK)。

圖2(a)展示了在式(6)所示的外部受力條件下結(jié)點(diǎn)在達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)軌跡變化。在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，結(jié)點(diǎn)存在兩處速度響應(yīng)變化劇烈位置，對(duì)結(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)精確求解提高了難度。

圖2 滑移- 黏附轉(zhuǎn)化結(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)

圖2(a)比較了使用本文的求解算法（Alg）、數(shù)值積分法（NI）和龍格-庫塔法（RK）在時(shí)間步長△t=10-5下節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)軌跡。結(jié)果表明，基于三種求解算法的運(yùn)動(dòng)軌跡完全重合，本文提出的求解算法能夠準(zhǔn)確地計(jì)算動(dòng)力響應(yīng)和預(yù)測滑粘過渡。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該算法對(duì)求解補(bǔ)償?shù)拿舾行裕疚牟捎靡幌盗械臅r(shí)間步長，對(duì)三種求解算法的求解結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。如圖2(b)所示，展示了五種時(shí)間步長下20 s 時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位置誤差。由于數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性與時(shí)間離散負(fù)相關(guān)，時(shí)間步長越小，求解結(jié)果愈接近于準(zhǔn)確解。因此本文擬定△t=10-8條件下可以獲取節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的“準(zhǔn)確值”。如圖2(b)所示，可以明顯看出三種不同算法下在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)位置誤差與時(shí)間步長近似呈現(xiàn)線性相關(guān)。NI 算法由于只能通過節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)判定節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而且在一個(gè)時(shí)間步內(nèi)忽略了節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中外部在和的變化，為求解計(jì)算引入一定誤差，因此在三種算法中NI 算法的求解準(zhǔn)確性最弱。RK 算法在時(shí)間步長較低時(shí)求解準(zhǔn)確性最好，而隨著時(shí)間步長降低，節(jié)點(diǎn)位置誤差會(huì)逐步向NI 接近，求解準(zhǔn)確性將弱于本文提出的求解算法。本文提出的算法充分考慮了節(jié)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中狀態(tài)轉(zhuǎn)變階段，以及在同一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)因運(yùn)動(dòng)方向的改變引起的摩擦力變化，能夠更加準(zhǔn)確預(yù)測節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

2.2 滑移/黏附-分離轉(zhuǎn)換驗(yàn)證

為了在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生滑移/粘連分離過渡，將選擇式(5)中的參數(shù)An的值為An=12，以確保單節(jié)點(diǎn)接觸可以違反不等式Q0<μmg。圖3 對(duì)比了三種方法計(jì)算出的運(yùn)動(dòng)平面的狀態(tài)轉(zhuǎn)換力矩、軌道和速度。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)單個(gè)節(jié)點(diǎn)的法向坐標(biāo)低于零時(shí)，由于受到界面的沖擊，速度會(huì)發(fā)生突然的變化，甚至Vx和Vy也會(huì)減小到零。這意味著單個(gè)結(jié)點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中可以經(jīng)歷滑動(dòng)分離和黏附分離的轉(zhuǎn)換。因此，利用我們的摩擦算法能夠準(zhǔn)確地預(yù)測具有單節(jié)點(diǎn)接觸的三維摩擦系統(tǒng)中時(shí)變外部載荷下涉及滑移-粘連-分離過渡的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

圖3 滑移/黏附- 分離轉(zhuǎn)化結(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)

如圖3(b)-(c)所示，在周期性外部載荷作用下，節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡在10 s 內(nèi)逐漸達(dá)到穩(wěn)定，最終呈現(xiàn)周期性運(yùn)動(dòng)，其穩(wěn)定后的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3(a)所示。如圖3(d)-(f)所示，在運(yùn)動(dòng)過程中節(jié)點(diǎn)在三個(gè)方向上分速度均出現(xiàn)為零的情形，且出現(xiàn)時(shí)刻并不完全一致，可知在運(yùn)動(dòng)過程中節(jié)點(diǎn)發(fā)生了滑移-分離-黏附轉(zhuǎn)換。在z 方向速度發(fā)生突降為零時(shí)，x、y 兩方向的速度隨著發(fā)生突變，可知此時(shí)節(jié)點(diǎn)與邊界發(fā)生碰撞，引起了速度的突變，造成了能量損耗，發(fā)生了分離-滑移/黏附轉(zhuǎn)變。

3 結(jié)論

為了求解二維摩擦系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題的數(shù)值解，提出了一種新的實(shí)現(xiàn)角增量的摩擦算法。結(jié)果表明，所提出的摩擦算法能夠準(zhǔn)確地捕捉到物體狀態(tài)變化時(shí)的過渡時(shí)間，計(jì)算精度高。

研究結(jié)果為研究二維多節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)提供了基礎(chǔ)，該系統(tǒng)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都涉及復(fù)雜的滑/粘轉(zhuǎn)換，方便了復(fù)雜的多節(jié)點(diǎn)計(jì)算，它也可以推廣到粗糙表面之間接觸特性的研究。