基于廣義簡約梯度算法的落差指數法參數優選

周紹陽,王 悅,龔朝海

(長江水利委員會水文局 長江下游水文水資源勘測局,江蘇 南京 210011)

0 引 言

在水文測驗領域,相比水位觀測,流量測驗更為復雜且費時費力。水位和流量在客觀上存在顯著關聯性,可通過實時監測水位推算斷面相應流量。然而,在天然河道中,受洪水漲落、斷面沖淤、變動回水等因素影響,水位流量關系通常不具有單值函數的特性,呈不穩定形態,無法直接通過水位推算相應流量,只能采用連時序等方法整編流量;而連時序法需要布置大量測次,工作量大。因此,為了減少流量測次,降低工作強度,有必要建立水位與流量的單值化關系[1-2]。

水位和流量單值化關系研究的主要方法包括校正因素法、抵償河長法、落差法等[3]。落差指數法是以落差法為基礎,通過優選落差指數β,建立水位與流量同落差的β次方之比例關系。該方法適用于斷面基本穩定、受變動回水或變動回水及洪水漲落綜合影響的測站。自20世紀70年代以來,該方法逐步發展完善,已被廣泛應用于水文站的資料整編[4]。在實際應用中,落差指數和落差系數等參數的確定是影響落差指數法精度的主要原因之一[5]。

傳統參數確定方法通常是利用相關資料,通過試錯法或優選法確定部分參數,再通過點繪關系圖或試錯法求解其他參數。該方法存在以下不足之處:① 點繪關系圖工作量大,且受人工經驗和技能水平影響,存在非唯一解的問題;② 各參數之間可能存在密切關聯,傳統方法得到的參數不一定是最優結果。近年來,隨著計算機技術和機器學習的快速發展,落差指數法的參數優選問題得到更廣泛研究。李正最[6]提出了一種直接求解落差指數法參數的方法,該方法簡單易行,但計算量較大。喻娓厚等[7]則利用遺傳算法的全局尋優能力對落差指數法中的參數進行優化,該方法適用范圍廣,但實現較為困難,需要對遺傳算法有一定的理解。鄧才等[8]引入粒子群算法直接求解落差指數法中的參數,該方法計算速度快,但算法實現較為困難,參數設置不當可能會導致出現局部最優解的情況。

本文研究了落差指數法原理,發現落差指數法的參數優選可視為一個非線性約束優化問題。廣義簡約梯度算法是求解非線性約束問題的最有效方法之一。相比其他優化算法,該方法具有簡單實用、算法收斂快、計算精度高等優點[9-10]。因此,本研究采用廣義簡約梯度算法對落差指數法中的參數進行優選,以確定水位與流量的單值化關系。

1 研究方法

1.1 落差指數法

1972年,研究發現落差指數在0.5上下變動可明顯提高定線精度[3]。1972～1975年,在深入研究了落差指數和相應的落差水尺優選及誤差分析的基礎上,提出了落差指數法[4]。落差指數法可由曼寧公式導出[11]:

(1)

式中:q為單值化流量,m3/s;Q為實測流量,m3/s;β為綜合落差指數;ΔZ為綜合落差,m,由式 (2) 計算:

ΔZ=α1ΔZ1+α2ΔZ2+…+αnΔZn

(2)

式中:ΔZ1,ΔZ2,…,ΔZn為與各參證站的同時落差,m;α1,α2,…,αn為落差系數,且α1+α2+…+αn=1。

單值化流量與水位具有明確的函數關系,在實際水文整編工作中,常采用的函數關系主要有指數方程、對數方程和多項式方程[12],其中,多項式方程表達式為

q=k0+k1Z+k2Z2+…+kmZm

(3)

式中:k0,k1,k2,…,km為多項式系數;Z為測站水位,m。

由式 (1)～ (3) 可知,整個求解過程中需要確定β,α1,α2,…,αn,k0,k1,k2,…,km等參數。利用傳統方法很難將所有參數一起優化,一般先初定β值,再通過試錯法定出Z-q關系曲線,直至定線精度符合單一曲線的定線要求。而利用廣義簡約梯度算法可快速實現參數的全部優化。

1.2 廣義簡約梯度算法

簡約梯度算法(Reduced Gradient Method,簡稱RG算法)是非線性規劃的單純形法應用于僅具有線性約束的非線性約束規劃問題。后來,RG算法被推廣到非線性約束問題,得到廣義簡約梯度算法(Generalized Reduced Gradient Method,簡稱GRG算法)[13]。GRG算法是一種針對含有非線性約束的優化問題的求解方法[14-15],優化問題可簡化為

minF(X)X∈En

s.t.H(X)=0

(4)

L≤X≤UL,U∈En

式中:X為設計變量;F(X)為目標函數;En表示n維空間;H(X)為約束函數,H(X)=[h1(X),h2(X),…,hm(X)]T;L為設計變量X的下限向量,L=[l1,l2,…,ln]T;U為設計變量X的上限向量,U=[u1,u2,…,un]T。

求解時,首先將X分為兩部分,即X=[XB,XN]T。其中,XB為基向量,m維;XN為非基向量,(n-m)維。相應地,L=[LB,LN]T,U=[UB,UN]T。由隱函數存在定理可知,存在連續映射:

XB=V(XN)

(5)

式中:V(XN)為連續映射函數,將XN的取值通過某種關系映射到XB的取值。

目標函數F(X)可轉化為

F(X)=F(XB,XN)=f(XN)

(6)

式中:f(XN)為關于非基向量XN的目標函數。

原來n個變量的目標函數F(X)可以轉化為n-m個變量的函數f(XN),則f(XN)在Xk關于XN的梯度即為簡約梯度,可得到F(X)關于XN的簡約梯度為

?f(XNk)=?NF(Xk)-?NH(Xk)

[?BH(Xk)]-1?BF(Xk)

(7)

式中:?f(XNk)為簡約梯度,表示非基向量XN的目標函數關于XN在第k步迭代中的梯度;?NF(Xk)為原始目標函數關于非基向量XN在當前步驟k的梯度;?NH(Xk)為原始約束函數關于非基向量XN在當前步驟k的梯度;?BH(Xk)為原始約束函數關于基向量XB在當前步驟k的梯度;?BF(Xk)為原始目標函數關于基向量XB在當前步驟k的梯度。可簡記為

?f(XNk)=[r1,r2,…,rn-m]T

(8)

式中:r1,r2,…,rn-m表示簡約梯度向量?f(XNk)的分量。

定義Sk=[s1,s2,…,sn-m]T,其中:

(9)

令

(10)

Yc+1=Yc-H(Yc,XNk+1)[?BH(Y0,XNk+1)]-1

c=1,2,…

(11)

最后,求得滿足H(Yc+1,XNk+1)=0時的Yc+1,即可得到最優值。

2 應用案例

2.1 研究區域概況

大通水文站位于安徽省池州市貴池區梅龍街道,東經117°37′,北緯30°46′,是國家一類水文站,也是長江下游干流最后一個徑流控制站。測驗河段上下游10 km范圍內基本順直。上游有皖河、秋浦河等水匯入,下游有九華河、青弋江等匯入,均對斷面水流影響較小。影響水流的主要因素為上游干流來水和上游219 km處鄱陽湖出水。由于大通水文站位于潮區界點,距海口624 km,枯季感潮顯著。多年來,該站水位流量關系雖然復雜,但總體穩定。落差指數法在大通水文站資料整編中具有較好的適用性,單值化后的水位流量關系采用多項式函數效果更優[12]。安慶水位站作為大通水文站上游參證站,位于安徽省安慶市沿江東路,距大通水文站約80 km。測站區位見圖1。

圖1 大通水文站區位Fig.1 Location of Datong Hydrological Station

2.2 數學建模

采用落差指數法進行參數優選,主要精度評價指標為實測點對關系線的隨機不確定度,計算公式為

(12)

(13)

結合大通水文站特性,公式 (2),(3),(1) 和(4) 可對應改寫為下式 (14),(15),(16) 和(17)。

ΔZ=Z安慶-Z大通

(14)

q=k0+k1Z大通+k2Z大通2+k3Z大通3

(15)

Qci=q(ΔZ)β

=(k0+k1Z大通+k2Z大通2+k3Z大通3)·

(Z安慶-Z大通)β

(16)

(17)

式中:ΔZ為安慶與大通的落差水位,m;Z安慶為安慶站水位,m;Z大通為大通站水位,m;q為大通站單值化流量,m3/s;k0,k1,k2,k3為多項式系數。

2.3 算法實現

算法編程可以通過FrontlineSolvers、Matlab等商用軟件實現[16]。考慮到大通水文站每年的實測數據只有40組左右,采用Excel規劃求解工具中GRG算法模塊實現參數優選更加便捷,算法實現流程見圖2。節選大通水文站2018～2022年整編數據并代入數學模型計算,參數優選結果見表1。

表1 參數優選結果

圖2 算法實現流程Fig.2 Flow chart of implementation of algorithm

3 結果分析

3.1 成果檢驗

將表1中計算出的相關參數代入公式 (15),即求得2008～2022年大通水文站水位流量關系單值化曲線,見圖3。由圖3可知,關系曲線擬合良好,符號、適線、偏離數值檢驗合理。統計實測點流量與推算流量的系統誤差及隨機不確定度,統計結果見表2。系統誤差范圍為-0.13%～-0.02%,隨機不確定度范圍為2.84%～5.24%。根據SL/T 247-2020《水文資料整編規范》中水位流量關系定線精度指標要求,采用水力因素法的一類精度的水文站,應滿足系統誤差不超過±2%,隨機不確定度不大于10%。由此可見,基于GRG算法的定線精度滿足規范要求,且在典型年(2020年長江流域特大洪水,2022年長江流域極端干旱)的情況下,成果可靠。

表2 GRG算法與南方片軟件定線精度對比

3.2 精度對比

大通水文站現有落差指數法是基于南方片軟件實現的,經驗落差指數則是根據1998～2012年共15 a的實測資料試算求得,β=0.6,且在2013～2022年流量資料整編中驗證了可靠性。表2為2018～2022年南方片軟件定線與GRG算法定線的精度統計。由表2可知,兩種方法均可滿足大通水文站定線要求,系統誤差無明顯區別,但GRG算法定線的隨機不確定度和最大相對誤差(除2020年)均小于南方片軟件定線。總體而言,基于GRG算法的定線精度更高。

4 結 論

(1) GRG算法計算速度快且易于實現,是目前求解約束非線性最優化問題有效的方法之一。本文將該方法應用于大通水文站2018～2022年落差指數法參數優選,并與傳統方法進行了對比。結果表明:基于GRG算法的落差指數法參數優選是可行且實用的,不僅實現了參數的全部優化,提高了定線精度,還簡化了傳統方法的工作步驟,且不需要人工干預,為落差指數法的參數求解提供了一種新思路。

(2) 使用GRG算法的前提是落差指數法適用于測站。當測站水流或斷面條件發生變化時,應注意分析方法的適用性。比如,大通水文站2022年個別數據不滿足定線精度要求,其主要原因為該站受極端枯水及感潮等因素影響,水流受下游水位頂托影響嚴重,導致測站不符合落差指數法的適用條件,南方片軟件和GRG算法的定線誤差均較大。因此,遇到反常數據時應結合測站特性及水情加以分析。