車載慣導大傾角導航姿態(tài)誤差的理論分析 *

彭惠，余勝義，王盛，李先慕，慕德

（北京航天發(fā)射技術研究所，北京 100076）

0 引言

車載慣導為系統(tǒng)車輛提供定向定位及授時等功能［1］，傳統(tǒng)對車載慣導的使用方式多為將車載慣導安裝在車大梁上，慣導測量的方位角等導航信息經(jīng)安裝誤差標定后傳遞給系統(tǒng)使用［2］，車載慣導的俯仰角和橫滾角為小角度，工作在小傾角（車載慣導工作傾角一般為5°以內(nèi)）工作狀態(tài)。然而隨著作戰(zhàn)方式多樣化以及系統(tǒng)精度的不斷提升［3-4］，有些系統(tǒng)直接將慣導安裝在雷達陣面或者發(fā)射架上使用以減少中間的傳遞誤差［5-6］，在這種工作狀態(tài)下，車載慣導的俯仰角或橫滾角一般較大，車載慣導處于大傾角工作狀態(tài)［7］。

在某次車載慣導大傾角試驗中，慣導隨轉臺旋轉時，導航輸出方位角、橫滾角誤差比慣導小傾角時明顯增大，超出了誤差允許范圍。本文識別出車載慣導大傾角工作狀態(tài)時，作為比對基準的轉臺方位軸的不鉛垂度是慣導導航誤差的誤差源，對其進行了理論推導及試驗驗證，推導出導航姿態(tài)誤差與慣導俯仰角及轉臺不鉛垂度的關系公式，為車載慣導大傾角下的使用提供理論參考。

1 慣導姿態(tài)角及姿態(tài)誤差

車載慣導方位角、橫滾角及俯仰角的示意如圖1 所示。

慣導縱軸（y軸）在水平面的投影與北向的夾角為方位角ψ；慣導y軸與其水平面投影間的夾角為俯仰角α；慣導橫軸（x軸）與其水平面投影間的夾角為橫滾角β。以東北天坐標系為導航坐標系（n 系），用Oxnynzn表示［8-9］；以右前上坐標系為載體坐標系（b 系），用Oxbybzb表示。n 系經(jīng)過3 次旋轉到b 系，即繞z軸轉航向角-ψ（ψ北偏東為正），繞x軸轉俯仰角α，繞y軸轉橫滾角β，旋轉獲得的姿態(tài)矩陣Cnb表征了姿態(tài)角的相對關系［10］：

根據(jù)車載慣導的應用情況［11-12］，約束方位角取值范圍為0～360°，俯仰角和橫滾角范圍為-90°～+90°，車載慣導獲得姿態(tài)矩陣后根據(jù)式（2）求解出姿態(tài)角后上傳給整車系統(tǒng)使用。

車載慣導的姿態(tài)角誤差方程［13-14］為

式中：Φ為慣導姿態(tài)角矢量為導航系（n）相對于慣性系（i）的角速率在導航系的投影；[δKG]為陀螺的刻度系數(shù)誤差矩陣；[δG]為陀螺安裝誤差角矩陣；εn為陀螺零偏在導航系的投影［15］；為載體系（b）相對于慣性系（i）的角速率在載體系的投影。由式（3）可看出，導航姿態(tài)誤差主要與安裝誤差、刻度系數(shù)誤差以及陀螺零偏有關。

車載慣導安裝在轉臺上，慣導天向軸與轉臺方位軸基本重合，慣導在經(jīng)過系統(tǒng)誤差標定［16-17］后，陀螺刻度系數(shù)誤差、安裝誤差帶來的導航姿態(tài)誤差可忽略［18］。車載慣導隨轉臺繞方位軸旋轉，轉臺旋轉角速度為60 （°）/s，旋轉一周的時間不大于6 s，因此忽略陀螺零偏帶來的導航姿態(tài)誤差，在此基礎上分析慣導大傾角時與轉臺不鉛垂度相關的導航姿態(tài)誤差。

2 大傾角導航姿態(tài)誤差分析

2.1 大傾角導航方位角誤差分析

車載慣導安裝在轉臺上相對于水平面的俯仰角為α，橫滾角為β，其隨轉臺方位軸旋轉角度?，轉臺方位軸相對于水平面不鉛垂，設轉臺相對于水平面存在繞y軸傾斜為Δγ，繞x軸傾斜為Δθ，車載慣導由初始方位的姿態(tài)矩陣導航到另一方位的姿態(tài)矩陣為之間滿足關系：

式中：

由式（8）可見，當轉臺方位軸鉛垂時，車載慣導在導航狀態(tài)下隨轉臺方位軸旋轉角度?時，導航方位角ψ*無誤差。但當存在轉臺方位軸不鉛垂時，即Δγ≠0°，Δθ≠0°，為方便分析，令初始時方位角為ψ= 0°，導航方位角度為?*，理論值為?，則有

根據(jù)泰勒展開公式，式（10）左側滿足：

根據(jù)式（9）～（11）可得

通過式（12）可見，轉臺不鉛垂度對車載慣導導航方位角的影響只在大俯仰角工作狀態(tài)下存在。慣導隨著轉臺旋轉時導航方位角誤差與慣導俯仰角呈tanα的關系；轉臺的不鉛垂度一定時，俯仰角度越大，導航方位角誤差越大；車載慣導工作在小傾角時轉臺不鉛垂度的影響可忽略；車載慣導的導航方位角誤差與慣導橫滾角大小無關。導航方位角誤差呈現(xiàn)360°周期規(guī)律，即轉臺轉動整圈（360°的整數(shù)倍）時，導航方位角誤差與轉動開始時的值一致，與轉臺的不鉛垂度無關。

2.2 大傾角導航俯仰角誤差分析

按照式（5）求取慣導俯仰角為

由式（13）可見，若Δγ= 0°且Δθ= 0°，車載慣導在導航狀態(tài)下隨轉臺方位軸旋轉角度?時，導航俯仰角無誤差。設慣導在導航狀態(tài)下隨轉臺方位軸旋轉角度?后俯仰角為α*，有

令初始時方位角為ψ= 0°，式（14）左右兩邊展開并化簡得

由式（15）可以看出，車載慣導在導航狀態(tài)下隨轉臺方位軸旋轉角度?時，導航俯仰角誤差為轉臺不鉛垂度受方位角調(diào)制的結果，導航俯仰角誤差呈現(xiàn)360°周期規(guī)律且與慣導傾角大小無關。

2.3 大傾角導航橫滾角誤差分析

類似于方位角誤差分析，按照式（5）求取慣導橫滾角誤差為

由式（17）可以看出，若Δγ= 0°且Δθ= 0°時，車載慣導在導航狀態(tài)下隨轉臺方位軸旋轉角度?時，導航橫滾角無誤差。存在轉臺不鉛垂度時，車載慣導在導航狀態(tài)下隨轉臺方位軸旋轉角度?時，導航橫滾角誤差與俯仰角間呈的關系。轉臺不鉛垂度一定時，俯仰角越大，導航橫滾角誤差越大；導航橫滾角誤差呈現(xiàn)360°周期規(guī)律，與橫滾角大小無關。

3 仿真分析

3.1 大俯仰角模擬求解與公式計算的對比

設初始方位角ψ= 0°，橫滾角β= 0°，俯仰角α為80°，Δγ= 0.03°，Δθ= 0.03°，基于式（4）建立的模型模擬求解慣導以導航角度?間隔10°從0°～360°的導航方位角誤差、俯仰角誤差及橫滾角誤差并與所推導的理論公式的計算結果比較，繪制曲線如圖2 所示。

圖2 俯仰角80°模擬仿真與公式計算對比Fig.2 Comparison between simulation and formula calculation of pitch angle at 80 °

如圖2 所示，“公式計算”和“模擬求解”兩條曲線的縱坐標均為左側縱坐標，分別為公式計算和模擬求解的方位角誤差、橫滾角誤差及俯仰角誤差，兩條曲線基本重合；圖1 中“差值”曲線縱坐標為右側縱坐標，為模擬求解的導航誤差與公式計算導航誤差的差值。從圖2 可以看出，由式（12）估算的導航方位角誤差和式（17）估算的橫滾角誤差與模擬求解的差值最大不超過0.000 6°，俯仰角差的公式估算（式（15））與模擬求解的差值最大不超過0.000 1°。

3.2 大橫滾角模擬求解與公式計算的對比

設初始方位角ψ= 0°，橫滾角β= 80°，俯仰角α= 0°，Δγ= 0.03°，Δθ= 0.03°，基于式（4）模擬求解導航角度?間隔10°從0°～360°的導航方位角差、俯仰角差以及橫滾角差并與理論公式的計算結果進行比較，繪制曲線如圖3 所示。

圖3 橫滾角80°模擬仿真與公式計算結果對比Fig.3 Comparison between simulation and formula calculation of roll angle at 80 °

由圖3 所示可以看出，橫滾角為80°時，由式（12）估算的導航方位角誤差與模擬計算的差值最大為0.000 02°，由式（17）估算的橫滾角誤差與模擬求解的差值最大為4.4 × 10-9（°），俯仰角差的公式估算（式（15））結果與模擬求解的差值最大為5 ×10-9（°）。

4 實物試驗

將車載慣導安裝在三軸轉臺上，控制三軸轉臺使慣導分別為小傾角0°附近、俯仰角80°附近和橫滾角80°附近3 種工作狀態(tài)。車載慣導在轉臺方位0°時進行初始對準，對準完成后控制轉臺繞其方位軸每隔45°旋轉，共旋轉8 個方位，記錄導航方位角、俯仰角及橫滾角如表1～3。

表1 慣導小傾角時的導航姿態(tài)角Table 1 Navigation attitude angle of INS with small inclination angles （°）

對比表1～3 可以看出，車載慣導在小傾角時，隨轉臺轉動時，導航方位角誤差很小，最大約為0.000 12°，俯仰角誤差最大約為0.007 2°，橫滾角誤差最大為0.012°。慣導俯仰角為80°時，每隔45°旋轉時方位角誤差最大為0.07°，俯仰角誤差最大為0.007 5°，橫滾角誤差最大為0.074°；慣導橫滾角為80°時，每隔45°旋轉時方位角誤差最大為0.003°，俯仰角誤差最大為0.008 9°，橫滾角誤差最大為0.013°。

繪制表1～3 的方位角誤差、橫滾角誤差及俯仰角誤差如圖4。

圖4 導航姿態(tài)誤差對比Fig.4 Comparison of navigation attitude errors

由圖4 可以明顯看出，車載慣導在俯仰角為80°時，導航方位角誤差和橫滾角誤差相較于小傾角和橫滾角80°時明顯增大，方位角誤差約為小傾角時的580 倍，為橫滾角80°時的20 倍，橫滾角誤差約為小傾角時的6 倍，為橫滾角80°時的6 倍。

對轉臺進行調(diào)平后（調(diào)平后轉臺不鉛垂度約為1″），重新進行俯仰角80°時的導航試驗，試驗數(shù)據(jù)如表4。

由表4 可以看出，轉臺調(diào)平后，慣導俯仰角80°時導航方位角誤差最大為0.004°，橫滾角誤差最大為0.004 12°，相較于轉臺調(diào)平之前明顯減小。根據(jù)理論分析結果，導航360°時的慣導方位角應與0°時的值一致，即慣導在隨轉臺轉動整圈時，導航的姿態(tài)角誤差不受轉臺不鉛垂度的影響。但從表2 的實際測試結果來看，慣導初值為356.514 37°，轉動一圈后方位角為356.511 21°，與初始對準值相差0.003 16°，這是由于慣導標定后的殘余安裝誤差和殘余刻度系數(shù)誤差導致的。

表2 慣導俯仰角80°時的導航姿態(tài)角Table 2 Navigation attitude angle of INS with pitch angle at 80° （°）

5 結束語

本文對車載慣導安裝在轉臺上隨轉臺方位軸旋轉時，大俯仰角和大橫滾角工作狀態(tài)下的導航姿態(tài)誤差進行了理論分析，推導出導航姿態(tài)誤差與轉臺不鉛垂度及慣導傾角相關的理論公式，同時進行了仿真分析和實物驗證，結果表明：

大傾角狀態(tài)下慣導導航輸出的方位角誤差是轉臺不鉛垂度受方位調(diào)制后乘以俯仰角的正切值，橫滾角誤差是轉臺不鉛垂度受方位調(diào)制后除以俯仰角的余弦值。車載慣導在大俯仰角下工作時，若轉臺方位軸不鉛垂，俯仰角越大慣導隨轉臺方位軸旋轉時導航方位角誤差和橫滾角誤差越大，導航俯仰角誤差與慣導的俯仰角大小無關。轉臺不鉛垂度一定的情況下，慣導俯仰角80°時方位角誤差為小傾角時的583 倍，為橫滾角80°時的23 倍。慣導俯仰角80°時橫滾角誤差約為小傾角和慣導橫滾角80°時的6 倍。車載慣導的導航姿態(tài)誤差在大俯仰角時明顯增大，與慣導橫滾角大小無關。車載慣導隨轉臺轉動360°時，導航姿態(tài)誤差不受俯仰角大小及轉臺不鉛垂度的影響，僅與車載慣導標定后殘余安裝誤差及殘余刻度系數(shù)誤差有關。

本文的理論公式推導基于慣導初始方位角為0°進行的，車載慣導初始方位角為其他角度的情況限于篇幅未能進一步推導與分析，如果慣導初始方位角為其他角度，可參考本文的分析方法進行進一步推導與分析。