斜壓大氣中任意頻率慣性重力內波不穩定的判據

吳 洪,牛 寧,豆京華

(1.中國氣象局氣象干部培訓學院,北京 100081;2.中國氣象局氣象干部培訓學院河北分院,河北保定 071000)

0 引言

描述中尺度運動的控制方程組,包含的特征波動是頻譜較廣的重力波,采用Boussinesq 近似后,該方程組包含的特征波動則是低頻的重力波,如慣性重力內波[1]。慣性重力內波常與暴雨、臺風、強對流等天氣有關[2-8]。

考慮基本氣流具有水平和垂直切變,劉式適等[9],李崇銀等[10]分析討論了慣性重力內波的不穩定性。同樣在具有水平和垂直切變基本氣流的大氣中,B J Hoskins[11],D A Bennetts 等[12],陸漢城等[1]采用大氣線性波動的分析方法,得出對稱不穩定的判據。不少氣象學家利用“氣塊法”也得到對稱不穩定的判據[13-16]。這兩類不穩定判據的表達式是相同的,即等熵面坡度大于等絕對動量面的坡度,似乎表明對稱不穩定與慣性重力內波不穩定是相互對等的。對稱不穩定理論被廣泛運用于解釋中緯度的帶狀降雨[17-25]。對稱不穩定判據的普及應用性遠大于慣性重力內波不穩定,但這個不穩定的判據,只有當波動或擾動的頻率為最小時才成立。但對稱不穩定和慣性重力內波不穩定的判據,都只是在設定波動頻率或振動(擾動)頻率最小時推導出來的,且這個最小頻率在波動等位相面[1,9-12]為特定值時才具有。

大氣中慣性重力波具有比較寬的頻譜。在斜壓大氣中,為了解慣性重力內波的頻率方程、任意頻率的慣性重力內波,其穩定性及判據等,本文采用標準的正交模方法,著重分析斜壓大氣中任意頻率的慣性重力內波的穩定性,得到相應的波動不穩定性及其判據,以期更合理地應用在帶狀云系和降水發生發展的機理研究和實際業務中。

1 斜壓大氣中的慣性重力內波

滿足絕熱、無摩擦的Boussinesq 近似的大氣運動方程組,可用于描述慣性重力內波[1,9-10,13-15,26-27]:

式中,u、v、w表示空氣塊運動的x、y、z方向的速度分量;p是氣壓場,p′是相對基本狀態氣壓場的偏差;ρ為空氣密度,ρ0表示基本狀態的空氣密度的典型值,為常數;,θ′是相對位溫基本狀態的偏差,θ0表示基本狀態的位溫的典型值,為常數;f0為地轉參數,對慣性重力內波可取為常數。式(1)表明大氣運動是非靜力平衡的。

1.1 頻率方程

不失一般性,假定擾動只在y-z平面內,即與x無關。將式(1)線性化,得到描述波動的方程組:

將用流函數表示的擾動速度代入式(2),消去其他擾動量,僅保留流函數,得

對于“無界”大氣,可設波動的形式解為Ψ=Aei(ly+mz-ωt),ω、l、m分別表示慣性重力內波的頻率、y方向的波數、z方向的波數。代入式(3)進一步運算得斜壓大氣中慣性重力內波的頻率方程

由式(4)可知,如果慣性重力內波只在y或z方向傳播,即m≡0 或l≡0,則式(4)蛻變為浮力振蕩或慣性振蕩,顯然式(4)作為慣性重力內波的頻率方程,l、m均不等于零。慣性重力內波的最小、最大頻率分別為[1,9-10,13]

1.2 相速與群速

令K2≡l2+m2,K表示二維波動的波數,→K≡l→j+m→k。波動的相速為

波動的群速:

由式(6)、(7)可得

在具有水平和垂直切變的基流中,慣性重力內波的傳播方向(相速度)與能量傳播方向(群速度)相互垂直,這一性質與不考慮基本氣流的慣性重力內波的一致。

2 斜壓大氣中的慣性重力內波穩定性

由于慣性重力內波的波數l、m均不等于零。令φ=ly+mz-ωt表示波動的位相,當其等于常數時表示波動等位相面。則等位相面的傾斜率:

其中α為等位相面與y軸正向的夾角。

根據慣性重力內波形成的原理,只有在層結穩定N2＞0 和慣性穩定F2＞0 的環境大氣中,慣性重力內波才能形成,即一般N2l2+F2m2＞0。由式(4)可知,當ω2＞0時,慣性重力內波是穩定的;反之,慣性重力內波是不穩定的。因此,若ω2＜0,必須:

式(9)即是斜壓大氣中慣性重力內波不穩定的必要條件。

環境大氣的風一般是隨高度增大的,在北半球S2＞0,則慣性重力內波不穩定的必要條件可改寫為

由式(8)可知,式(10)可以改寫為

圖1 等位相面示意圖(α 是等位相面與y 軸的夾角,t0、t1 分別表示不同的時刻)

如果環境大氣基本氣流隨高度減小時,在北半球S2＜0,則此時慣性重力內波不穩定的必要條件為

式(12)表明,風速隨高度減小時,慣性重力內波不穩定的必要條件是等位相面向南傾斜,波動向北(南)、向上(下)傳播。多普勒天氣雷達監測表明,有時低空急流表現出“軸狀”的結構,即其下風速隨高度增大、而其上一定的層次內風速隨高度減小,因此,當低空急流呈“軸狀”結構時,其上的環境大氣S2＜0。

一般情況下N2＞0,F2＞0,由式(4)可知,斜壓大氣中慣性重力內波不穩定的充分條件為

利用式(8),式(13)可改寫為

令

由于N2＞0,因而當Δ＞0,即S4＞N2F2時,若

式(14)成立,即慣性重力內波不穩定;若Δ=0 或Δ＜0時,式(14)均無解,即無論波動等位相面如何傾斜,tgα為任何值,波動都是穩定的。

頻率方程式(4)可改寫為

式中:

其中,b恒大于零。

若環境大氣是層結不穩定的層結,N2＜0,則令

式(14)改寫為

設

當環境大氣是慣性穩定的,F2＞0,可知＞0,即S4＞N2F2。此時,若要式(20)成立,即慣性重力內波不穩定,必須是波動等位相面的傾斜度滿足tgα＞,或;否則,波動穩定。當環境大氣是慣性不穩定的,F2＜0,若S4-N2F2＞0,則慣性重力內波不穩定的充分條件依然是,或tgα＜;若S4=N2F2,慣性重力內波不穩定的充分條件是,即波動的等位相面、環境大氣的等熵面和等絕對動量面三者不能重合;若S4＜N2F2,無論波動的等位相面的傾斜度如何,波動都將是不穩定的。可見,環境大氣層結不穩定時,對流所激發的慣性重力內波的穩定性變化非常復雜,可能發生穩定,也可能發生不穩定。

若環境斜壓大氣是中性層結,N2≡0,慣性重力內波變為純慣性內波。其穩定性的判據為

或

若環境大氣基本氣流隨高度減小,S2＜0,則此慣性內波恒穩。

若不考慮地球自轉作用,F2≡0,慣性重力內波變為純重力內波,其穩定性的判據為

或

3 靜力平衡的影響

由物理機制可知,只有大氣出現不斷變化的水平輻散、輻合作用,使得氣塊在鉛直方向出現上下運動并隨時間變化,才可形成慣性重力內波[13-15,26-27]。

由式(18)可得

式(27)與式(26)中的第3 個方程分別表示擾動的水平散度不隨時間變化、氣塊的鉛直運動不隨時間變化,這直接破壞了慣性重力內波形成的物理機制,即大氣中不能形成慣性重力內波,也就不存在該波動的穩定性。因此,在Boussinesq 近似的大氣運動方程組中不能采用靜力平衡條件。

4 結論

利用絕熱、無摩擦、Boussinesq 近似的大氣運動方程組,采用小擾動法和正交模法,得到斜壓大氣中慣性重力內波的頻率方程,著重分析、討論任意頻率慣性重力內波的穩定性。主要結論如下:

(1)當大氣是層結穩定、慣性穩定,且基本氣流隨高度增大時,慣性重力內波不穩定的必要條件是等位相面向北傾斜;若基本氣流隨高度減小,慣性重力內波不穩定的必要條件是等位相面向南傾斜。

(6)用Boussinesq 近似的大氣運動方程組討論慣性重力波或重力波或慣性波時,不能采用靜力平衡條件。

本文只是從理論上討論斜壓大氣中慣性重力內波不穩定的判據,在實際中如何應用,乃是今后進一步研究工作的方向。