基于點云曲面的定角度自動鋪絲路徑規(guī)劃

姜世闊 王小平 汪 凱 金 將

南京航空航天大學機電學院,南京,210016

0 引言

相比于傳統(tǒng)材料,碳纖維復合材料具有小質(zhì)量、高強度、高模量、設(shè)計制造一體化等優(yōu)點,已成為航空航天制造工程的基礎(chǔ)材料[1]。自動纖維鋪絲(automatic fiber placement,AFP)是一種高效的復合材料自動化制造技術(shù),具有曲面適應性強、鋪放自由度大、成品率高等優(yōu)點,因此,自動鋪絲技術(shù)已成為復合材料自動制造技術(shù)的研究熱點。自動鋪絲路徑規(guī)劃作為自動鋪絲技術(shù)的研究重點,已取得一系列成果。

PARNAS等[2]以雙三次Bezier曲面表示芯模曲面,將Bezier曲線的控制點作為設(shè)計變量來生成鋪絲路徑。SCHUELER等[3]以樣條線拼接技術(shù)構(gòu)造初始路徑。SHIRINZADEH等[4]提出了以平面與芯模曲面相交來構(gòu)造初始路徑的截平面法。BLOM等[5]以參數(shù)曲面的形式提出了定曲率、定角度曲線和測地線3種圓錐類構(gòu)件的鋪絲路徑算法。WANG等[6]引入微分幾何的原理,使用數(shù)學方程表示初始路徑和偏移路徑,將纖維路徑規(guī)劃問題改變?yōu)榍蠼庖浑A常微分方程的初始值問題,該方法計算簡單且精度較高。盧敏等[7]提出一種基于投影法的鋪絲路徑規(guī)劃方法,即將鋪絲路徑主應力分布關(guān)鍵點偏移到曲面一端擬合成曲線后,再將擬合曲線投影到原曲面作為初始路徑。孟書云等[8]提出一種可自動生成鋪絲路徑的經(jīng)線包絡(luò)法,根據(jù)曲面幾何特征、自動鋪絲纖維數(shù)量等相關(guān)工藝參數(shù),自適應生成定角度的鋪絲路徑。年春波[9]使用Hermite曲線描述纖維的鋪放路徑,并使用開邊柱面模型驗證了算法的有效性。LONG等[10]提出一種基于微分幾何的精確滾子路徑規(guī)劃方法,以減少兩條絲束之間的間隙和重疊,提高鋪絲質(zhì)量。XU等[11]采用映射法在網(wǎng)格曲面規(guī)劃鋪絲路徑,即先將多面體表面展平為平面網(wǎng)格,然后在平面網(wǎng)格規(guī)劃路徑,最后將規(guī)劃的路徑映射回初始網(wǎng)格。該方法誤差過大,僅適用于可展曲面等簡單曲面。李俊斐等[12]將傳統(tǒng)參數(shù)曲面路徑規(guī)劃中的定角度法引入網(wǎng)格曲面,但沒有給出一套完整的鋪放方法。朱延娟等[13]研究了在三角網(wǎng)格曲面上生成測地線的算法,并以此為基礎(chǔ)提出一套自動鋪帶軌跡路徑的規(guī)劃方法。PEI等[14]提出基于模型幾何信息與承載信息局部優(yōu)化的鋪絲路徑規(guī)劃方法,某后機身模具的實際鋪放證明了該算法的有效性。王小平等[15]提出的改進網(wǎng)格定角度初始路徑規(guī)劃算法避免了傳統(tǒng)參數(shù)化求解過程的無解和多解。冉慶波等[16]提出針對含孔網(wǎng)格曲面的自動鋪絲路徑規(guī)劃算法。周宇[17]提出了一套完整的三角網(wǎng)格曲面自動鋪絲路徑規(guī)劃算法,該方法適用于曲率變化較大的復雜曲面或拼接曲面。

目前,鋪絲路徑規(guī)劃的研究主要集中在參數(shù)曲面與網(wǎng)格曲面。在參數(shù)曲面上進行路徑規(guī)劃需借助曲面的參數(shù)表達式,但以參數(shù)方程表達復雜曲面是十分困難的。雖然網(wǎng)格模型可以表達復雜的曲面,但對于某些無法獲得數(shù)字模型的產(chǎn)品(如競爭對手的產(chǎn)品),產(chǎn)品開發(fā)人員往往面對的是實物。伴隨著三維掃描設(shè)備的發(fā)展,以點表示的點云模型應運而生。點云模型簡單的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以靈活表示復雜的實物模型,已成為逆向工程領(lǐng)域的研究熱點[18]。工程上,掃描得到的點云數(shù)據(jù)通常先轉(zhuǎn)化為三角網(wǎng)格或曲面,再進行后續(xù)的加工。重建曲面過程繁瑣,重構(gòu)的曲面與原曲面之間存在一定誤差,且產(chǎn)品制造過程中往往需要反復修改點云數(shù)據(jù),不利于產(chǎn)品的后續(xù)開發(fā)。因此,研究直接在點云曲面上生成鋪絲路徑的規(guī)劃算法,不僅縮短了產(chǎn)品制造的時間,為鋪絲產(chǎn)品的設(shè)計與優(yōu)化提供技術(shù)支持,而且對促進我國復合材料自動鋪絲技術(shù)的發(fā)展具有重大意義。

目前,針對點云曲面的鋪絲路徑規(guī)劃算法還鮮有報導,因此本文以點云曲面為研究對象,提出基于點云模型的鋪絲路徑規(guī)劃算法。根據(jù)截平面法原理和點云曲面的離散特征,提出將初始路徑離散成一組點并投影到點云曲面的直接投影法。針對自動鋪絲工藝的特點,以點云投影算法改進點云切片法,提出點云投影切片法。使用三次B樣條插值法對得到的投影點進行插值,生成初始路徑,并使用具體算例驗證了該方法的有效性。在點云曲面上以弦長代替弧長,實現(xiàn)了初始路徑的平行等距偏移,并針對該方法的不足提出弦長細化投影法。通過CATIA逆向工程模塊實現(xiàn)了算法的可視化驗證,建立了三維建模軟件與所提路徑規(guī)劃算法之間的聯(lián)系。

1 初始路徑

采用自動鋪絲制造的飛機零件一般以準各向同性為鋪放目標,大多采用0°、±45°、90°等定角度軌跡循環(huán)鋪放成形。初始鋪放路徑是在綜合考慮構(gòu)件的曲面特征、加工工藝等條件下,預先規(guī)劃和生成的,其余路徑以初始路徑為基準進行的等距偏移[19]。將參考傳統(tǒng)參數(shù)曲面[2-8]和網(wǎng)格曲面[8-16]常見的路徑生成方法——截平面法引入點云曲面。

1.1 法向量

點云模型一般僅包含數(shù)據(jù)點的位置信息,不包含法向量等信息,而法向量對后續(xù)工作的進行至關(guān)重要,因此,先計算各點的法向量。假設(shè)點云曲面S={P1,P2,…,PN},點云中的數(shù)據(jù)點Pi=(xi,yi,zi)∈R3,i=1,2,…,N。三維點云中任意點的法向量一般采用主元分析法(principal component analysis,PCA)[20]計算。對點云中的任一點P,獲取與其最相近的k個相鄰點,構(gòu)造協(xié)方差矩陣

(1)

對協(xié)方差矩陣進行特征分解,將最小特征值對應的特征向量作為P點的法向量。PCA算法的魯棒性較差,因此使用高斯加權(quán)的PCA算法來獲得更精確的法向量:

(2)

式中,σ為常數(shù)。

1.2 直接投影法

截平面法是自動鋪絲路徑規(guī)劃中生成初始路徑的經(jīng)典算法,其原理是創(chuàng)建平面與曲面相交,以交線為鋪絲路徑軌跡。根據(jù)截平面法的原理,可以將其視為平面上的一條直線或曲線沿給定方向投影到構(gòu)件表面生成初始路徑,如圖1所示。投影可以看成計算投影線與曲面的交點,文獻[7-8,11]詳細闡述了直線或曲線投影到參數(shù)曲面或網(wǎng)格曲面的方法。點云曲面沒有固定的表達式或拓撲結(jié)構(gòu),只有離散位置信息。將直線或曲線投影到曲面重建點云表面不僅耗時,而且重建的精度也不高。一種行之有效的方法就是先將直線離散成一系列點,再將離散點投影到點云表面,最后對投影點進行插值處理,生成實際的初始路徑。

圖1 截平面原理示意圖

移動最小二乘(moving least squares,MLS)是點云模型中曲面擬合的重要方法[21],包括生成局部參考平面和曲面多項式擬合兩個步驟。設(shè)p為待投影點,n為投影向量構(gòu)造投影線。查找點云中與投影線距離小于規(guī)定搜索半徑r的所有點,并將其組成投影點集S1={Pj|Pj∈S,j=1,2,…,m},如果m<3,則適量擴大搜索半徑。點Pi與投影射線的距離

(3)

設(shè)p在局部參考平面上的投影點為x。該點法向量nx由S1各點法向量加權(quán)組合近似得到:

(4)

(5)

式中,θ(x,Pj)為權(quán)函數(shù),本文取高斯函數(shù);d(x,Pj)為點Pj到投影射線的距離;h為投影域的大小。

設(shè)過x點以nx為法向量的參考平面為H,其表達式為

(6)

(7)

式中,w(Pj,x)為在點k鄰域內(nèi)光滑、單調(diào)遞減的正值函數(shù),本文取為高斯函數(shù)。

式(6)衡量測量參考平面與點云的擬合質(zhì)量,取得最小值時,可以獲得最佳局部參考平面。通過上述計算得到局部參考平面H之后,定義平面H為XY面,以x為原點,以垂直局部參考平面的方向為Z向,構(gòu)建局部坐標系。局部坐標系下,設(shè)qj為點Pj在XY面上的投影點,fj為點Pj與面XY的距離,即fj=nx·(Pj-x),如圖2所示。然后構(gòu)造如下目標函數(shù):

圖2 點云投影示意圖

(8)

式中,(xi,yi)是點Pj∈S1在XY面上的坐標;g(xi,yi)表示移動最小二乘意義下局部擬合曲面的雙變量多項式。

通過最小化式(8)即可得到移動最小二乘意義下局部擬合曲面的雙變量多項式。p在局部擬合曲面上的投影點p*可以通過雙變量多項式在局部直角坐標系原點處的坐標求得[22],即

p*=x+g(0,0)n

(9)

為保證算法的計算精度,參考XU等[23]提出的方法對上述算法加以改進。引入權(quán)重的閾值:

(10)

式中,wmean、wmax分別權(quán)重的平均值和最大值;l為迭代次數(shù)。

如果S1中某點的權(quán)重大于wlim,則保留;否則,將其從S1中去除。將獲得的點集作為新的投影點集,將當前得到的投影點作為新的待投影點,再次進行投影,直到前后兩次投影點的距離小于給定的閾值ε(本文取ε=0.01),或最大投影迭代次數(shù)lmax(本文取lmax=10)終止迭代。

在選擇投影點集S1時,本文以距離投影線較近的點作為投影點集,但這樣可能將一些距投影點位置較遠的點選擇進來。例如,將點以法向投影到圓柱面上半面時,根據(jù)數(shù)據(jù)點到投影線距離選擇投影點集會將圓柱面下半面的點也選擇進來。為解決這個問題,參考文獻[22]對S1的選取方法加以改進:

(1)計算S1的中心,通過中心點創(chuàng)建一個垂直于投影光線的平面。該平面將S1點集分為點集S11和S12。

(2)計算S11和S12的中心點與待投影點p的距離,將中心點與待投影點距離較短的點集選為候選點集。

(3)重復步驟(2),直到輸出的點集變?yōu)檫B續(xù)的點集。此時輸出最終的投影點集。

1.3 投影切片法

使用直接投影法生成初始路徑的方法需要提前設(shè)計一條初始路徑,然后,將該路徑離散化,并投影到點云曲面上。為實現(xiàn)鋪絲路徑規(guī)劃的自動化,在參考點云數(shù)控加工[24-26]的相關(guān)工作后,本文提出點云投影切片法來生成初始路徑。

點云切片法是一種基于點云模型特點的“截平面法”,先通過一組平行平面分割點云模型來確定截平面上的數(shù)據(jù)點,再利用這些數(shù)據(jù)點組成截面線,具體原理如圖3所示。圖3中,E為截平面,為求取平面與點云曲面的交線,在E的兩側(cè)以δ/2的距離生成平面E1、E2,其中,δ為切片厚度,與點云密度相關(guān),一般選為密度大小的1～4倍[25]。

圖3 點云切片法原理示意圖

使用點云切片法求取交線的方法通常是投影法和求交法。投影法先將切片區(qū)域內(nèi)的點云投影到截平面,再通過擬合投影點生成交線。該方法計算簡單,但易產(chǎn)生冗余數(shù)據(jù),誤差較大。求交法先搜尋平面兩側(cè)的最近點,再以最近點連線與平面的交點來近似表達交線。該方法不受模型表面形狀的限制,但計算過程復雜、繁瑣,且截面線的精度受點云密度影響較大。定方向鋪絲路徑一般涉及多個角度,傳統(tǒng)的切片法難以保證截面線的精度,因此,本文提出一種改進的點云投影切片法,具體步驟如下:

(1)計算點云質(zhì)心

(11)

并以點云質(zhì)心為原點構(gòu)建空間坐標系。

(2)以垂直初始路徑方向為截平面法方向,過點云質(zhì)心創(chuàng)建截平面E。以平行于截平面且與截平面距離δ/2生成平面E1、E2,得到位于切片區(qū)域內(nèi)的數(shù)據(jù)點。

(3)先將步驟(2)得到的數(shù)據(jù)點繞Z軸旋轉(zhuǎn),使截平面與OXZ平面重合,再將旋轉(zhuǎn)后的切片數(shù)據(jù)點向截平面E投影,并將投影點集記為T。

(4)計算T中每一個點與X軸正向夾角。將夾角極小點和極大點記為始末點,并加入點集I。根據(jù)與X軸正向夾角,以固定步長將投影點集T劃分為多個扇形區(qū)域,計算各扇形區(qū)域中的數(shù)據(jù)點與質(zhì)心O的距離,并將距離最大者加入點集I。

(5)將點集I中的數(shù)據(jù)點以指向質(zhì)心方向為投影方向,按照1.2節(jié)的方法投影到點云曲面,并記錄投影點坐標。將投影點以步驟(2)的反方向繞Z軸旋轉(zhuǎn)回點云原坐標系。最后將投影點依次連接,得到截平面與點云模型的交線。

1.4 B樣條插值

以上算法得到的均是初始路徑的投影點,將這些投影點依次連接就得到了初始路徑。航空航天領(lǐng)域的產(chǎn)品往往要滿足空氣動力學或工藝的要求。因此本文引進三次B樣條插值對投影點進行插值處理,將插值后的曲線作為初始路徑。將上文得到的投影點稱為待插值點qi(i=1,2,…,n)。k次B樣條曲線的定義如下:

(12)

式中,di為控制頂點;Ni,k(u)為B樣條的基函數(shù)。

三次B樣條曲線的基函數(shù)為

(13)

則第i段三次B樣條曲線的表達式為

(14)

工程實踐中,三次均勻B樣條插值可以滿足自動鋪絲的要求。使用三次B樣條曲線對插值點進行插值處理,需要先從已知點反求出相應的控制點,再對控制點進行擬合。由每段B樣條曲線端點處的性質(zhì),建立插值點與控制點之間的關(guān)系:

di+4di+1+di+2=6qi

(15)

式(15)為反求控制點的方程組。根據(jù)式(15)可知,方程組中有n個方程,而未知控制點為n+2個,因此需要補充2個條件。為保證整條曲線經(jīng)過首末兩點,補充邊界條件:d0=d1,dn+1=dn,最終將式(16)寫成矩陣形式:

(16)

使用追趕法求解式(16),得到三次B樣條插值曲線上的控制點,進而得到插值曲線。

初始路徑的數(shù)據(jù)點分布不均勻時,采用均勻參數(shù)化B樣條插值將導致插值曲線打圈自交。因此,在使用直接投影法生成初始路徑時,需將投影直線或投影曲線以合適的步長均勻離散化為待投影點,待投影點在曲面上的投影點也將在一定程度上保持均勻分布。對投影切片法而言,待投影點是在固定步長均勻劃分的區(qū)間內(nèi)獲得的,投影后的投影點近似均勻分布。

1.5 算法驗證

(a)拋物面 (b)可展曲面

(2)驗證投影切片法。圖5a、圖5b所示為投影切片法在圓柱面點云曲面上生成的45°初始路徑,其中,紅線為插值后的初始路徑,藍線為參數(shù)曲面求解得到的初始路徑。圖5c、圖5d所示為切片投影。

(a)均勻圓柱面點云 (b)散亂圓柱面點云

由圖4、圖5可以看出,直接投影法與投影切片法均可生成一條與實際路線相近且較為平滑的初始路徑,投影切片法對非均勻點云曲面仍然有效。

2 路徑密化與邊界處理

生成初始路徑后,其余的路徑以之為參考進行密化。為避免鋪絲時的路徑發(fā)生干涉,以及絲束間產(chǎn)生間隙和重疊,一般采用在曲面上平行等距偏移的方法對初始路徑進行密化,實現(xiàn)路徑的完整覆蓋[28]。文獻[6]提出一種將初始路徑的等距密化問題轉(zhuǎn)換為求解參數(shù)域中一階常微分方程初值問題的方法。ZHANG等[29]將初始路徑上的點視為光源,通過控制光的傳播時間間隔進行初始路徑的平行等距傳播,實現(xiàn)在網(wǎng)格曲面上鋪絲路徑的密化,但這兩種方法不適用于點云曲面。對于表面平坦的構(gòu)件,曲面相鄰兩點之間的距離與直線連線后的弧長非常接近,因此求解偏移路徑時可以采用弦長代替弧長的方法。

2.1 偏移算法

為求取偏移方向,首先采用1.1節(jié)的方法計算投影點各點處的法向量,使用第1.4節(jié)的三次B樣條插值方法生成初始路徑。對B樣條函數(shù)求取一階導來獲得各投影點的切向量。三次B樣條的表達式求導之后的矩陣表達式為

(17)

使用1.3節(jié)方法得到控制點列,重新擬合B樣條基函數(shù)求導后的表達式即可得到每個投影點處的切向量。

2.2 路徑偏移

對于表面平坦、光滑的構(gòu)件,曲面上相鄰兩點之間的弧長與直接連線后的弦長非常接近,因此可以采用弦長代替弧長的方法近似求取等距偏移點。近似偏移點與實際偏移點的誤差在允許的范圍之內(nèi)即滿足鋪放工藝的要求。

圖6 路徑偏移原理圖

(18)

根據(jù)微分幾何的相關(guān)知識可以得知,向量D′與初始路徑垂直,與曲面相切,模長與D相等,符合平行等距的計算要求。在求得D′之后,采用1.2節(jié)的方法將D′沿法向投影至曲面,求得偏移點在曲面上的投影點Q。設(shè)q點至Q點處的局部曲率半徑或平均曲率半徑為R,弧長、轉(zhuǎn)角分別為L和θ,如圖7所示。

圖7 弦長代替弧長的誤差分析圖

根據(jù)圖7得tanθ=|D′|/R,而L=Rθ,則誤差

e=L-|D′|=Rarctan(|D′|/R)-|D′|

(19)

由式(19)可以看出,該方法僅適合曲率較小的構(gòu)件生成的偏移路徑。對于曲率較大的構(gòu)件,使用該方法偏移后的路徑會產(chǎn)生較大的偏差。因此,改進該方法,提出弦長投影細分法,具體步驟如下:

(1)采用弦長替代弧長的方法生成投影弦,按照固定步長在弦上取n個點,以這些點的法向為投影方向,按照1.2節(jié)的方法將這些點投影到點云上。

(2)計算相鄰兩個點之間的弦長,并按照順序累加弦長,直到長度恰好超過規(guī)定的弧長,記錄此時的區(qū)間。

(3)采用二分法細分步驟(2)所得區(qū)間,直到累計弦長與弧長之間的誤差收斂到規(guī)定的誤差閾值(本文取0.01)。

求得偏移點之后,采用1.4節(jié)的三次B樣條插值法插值得到偏移曲線。其余的偏移曲線以上一次求得的偏移曲線為基準,使用2.2節(jié)的方法求得,直到偏移曲線到達曲面邊界。

2.3 邊界延伸

路徑偏移密化的過程中,構(gòu)件的幾何特征會導致一些不可避免的問題:①生成的路徑超出曲面的邊界。這個問題的解決方法通常是舍去超出邊界的部分,如圖8a所示。②生成的路徑不與曲面邊界相交,如圖8b所示,左上角的一些曲線無法到達曲面的邊界。針對這種情況,本文采取的方式是選取未達到曲面邊界路徑的末端點,求取路徑末端點處的切方向,并以該點切方向為延伸方向做一條射線。采用1.2節(jié)的方法將射線離散后投影到點云曲面上,直到投影點超出邊界或與邊界相交。最后將投影點使用B樣條插值的方法進行擬合,得到滿鋪路徑。

(a)舍去多余邊界 (b)邊界延伸

3 仿真結(jié)果

3.1 直接投影法的算法驗證

在開曲面構(gòu)件中對基于直接投影法的鋪絲路徑規(guī)劃進行可視化驗證,結(jié)果如圖9所示,其中,藍色曲線為直接投影法生成的初始路徑,紅色曲線為以初始路徑為基準等距偏移的滿鋪路徑。直接投影算法在開曲面構(gòu)件上可以生成與曲面貼合良好的鋪絲路徑。

(a)0°鋪放路徑 (b)90°鋪放路徑

3.2 投影切片法的算法驗證

雷達罩、機身尾段等飛機零部件都是典型的錐形閉曲面構(gòu)件,也是由自動鋪絲成型工藝制造的典型構(gòu)件。A380飛機的尾段蒙皮是采用自動鋪絲技術(shù)制造的[30]。為驗證本文算法的工程應用價值,基采用CATIA對某機型后機身段錐殼構(gòu)件進行數(shù)字化建模,并將其轉(zhuǎn)換成點云模型。采用本文算法對模型進行路徑規(guī)劃,最后通過逆向工程模塊對本文算法規(guī)劃的路徑進行可視化驗證。圖10所示為后機身CATIA三維模型及其點云模型。圖11所示為本文算法生成的0°、90°、±45°的鋪絲路徑,其中,0°鋪絲路徑以芯模軸線為參考線生成投影;將由投影切片法生成的路徑點數(shù)據(jù)批量導入CATIA,在CATIA中擬合數(shù)據(jù)點來對路徑進行可視化,最終效果如圖12所示。

(a)三維模型 (b)點云模型

(a)0°鋪放路徑 (b)90°鋪放路徑

(a)0°鋪放路徑 (b)90°鋪放路徑

4 結(jié)論

(1)基于移動最小二乘定向投影的直接投影法方法將直線離散后投影到點云曲面,并用三次B樣條插值投影點生成初始路徑,將鋪絲路徑規(guī)劃中常用的截平面法延伸到點云曲面,避免了逆向工程中復雜的曲面重建,方法簡單且具有良好的穩(wěn)定性。

(2)采用投影切片法生成初始路徑。針對傳統(tǒng)點云切片法無法適應鋪絲路徑中需要在不同方向生成初始路徑的問題,以點云投影的方法加以改進,增強了算法的魯棒性和適應性。實例驗證證明了該算法的有效性。

(3)在弦長代替弧長的路徑偏移方法基礎(chǔ)上提出弦長細分投影法,解決了弦長替代弧長法無法用于大曲率構(gòu)件路徑偏移的問題。

(4)通過延伸樣條曲線解決了部分路徑無法到達曲面邊界的問題。