考慮輪胎非線性的橫擺角速度計算與車輛穩定性控制

閔德壘 童汝亭 危銀濤

清華大學汽車安全與節能國家重點實驗室,北京,100084

0 引言

目前,為提高車輛的行駛穩定性,車輛安裝了諸多的車輛穩定控制系統,包括直接橫擺力矩控制(direct yaw-moment control,DYC)系統、主動前輪轉向(active front steering,AFS)系統,以及更為先進和復雜的底盤集成控制(integrated chassis control,ICC)系統[1-3]。車輛穩定性控制系統根據車輛實際狀態及目標參量,計算出達到期望車輛行駛狀態所需的附加橫擺力矩[4-5]。期望橫擺角速度是一個重要的目標參量,目前普遍通過線性輪胎模型,將計算出的車輛進行穩態轉向時的橫擺角速度作為期望橫擺角速度[6-7]。隨著輪胎側偏角的增大,輪胎的力學特性逐漸顯示出較強的非線性,尤其是在在較大的側向加速度下。

文獻[8-10]在線性輪胎模型的基礎上,為期望橫擺角速度設定了一個由附著系數和車速定義的上限,考慮了路面附著作用的影響。文獻[11-12]將期望橫擺角速度表示為非線性圖,并采用最優化方法進行求解。LENZO等[13]將期望橫擺角速度的修正系數表示為車輛質心側偏角的函數,車輛發生過度轉向,使得質心側偏角較大時,該方法可以實現對橫擺角速度的調整,以及對質心側偏角的限制。ZHANG等[14]在計算期望橫擺角速度時引入一階環節,以反映車輛系統在轉向輸入下的動態響應。CHATRATH等[15]通過單軌車輛模型的二階傳遞函數得到期望橫擺角速度。徐凌凡[16]利用車輛的動力學方程,將期望橫擺角速度表示為輪胎力的積分形式。安部正人[17]將側向力表示為輪胎側偏角的二次函數,并利用等效穩定性因數考察輪胎非線性對車輛穩定性的影響。文獻[18-19]利用等效側偏剛度研究了輪胎非線性對車輛穩定性的影響。上述文獻研究輪胎非線性對車輛穩定性的影響,但都沒有給出期望橫擺角速度的解析表達式。

魔術公式、Dugoff模型、刷子模型都可以表述輪胎的非線性[20-21]。刷子模型具有高精度且便于解析求解等優點,本文將其用來表征輪胎的非線性,通過數學推導得到考慮輪胎非線性的穩態橫擺角速度計算方程,并對解的存在性進行了詳細分析。利用實車試驗及CarSim車輛模型仿真驗證了所提方法的計算精度及其對車輛穩定性控制效果的影響。

1 基于刷子模型的等效穩定性因數

1.1 等效側偏剛度

車輛穩定性分析常將二自由度單軌車輛模型的動力學微分方程表示為[22]

(1)

式中,m為車輛的質量;ay為車輛的側向加速度;Fy1、Fy2分別為前后輪胎的側向力;Iz為車輛繞過質心的z軸轉動慣量;ωr為橫擺角速度;a、b分別為質心到前后軸的距離。

設前后輪胎的側偏角為α1、α2,側偏剛度為k1、k2,采用線性輪胎模型時,Fy1=k1α1,Fy2=k2α2。基于線性輪胎模型和二自由度單軌車輛模型可得車輛進行穩態轉向時的橫擺角速度[6-10,22]

(2)

式中,K為穩定性因數;u為縱向車速;L為輪距;δ為前輪轉角。

式(2)形式簡單且計算方便,但車輛側向加速度較大時,輪胎的非線性變得明顯,此時利用線性輪胎模型得到的結果不再準確。

刷子模型可表征輪胎的非線性,圖1所示為不同垂向載荷下,利用刷子模型獲得的輪胎側向力-輪胎側偏角的試驗結果與擬合結果。兩種結果十分接近,表明刷子模型既可以很好地表征輪胎側偏角α較小時的側向力Fy近似線性的變化,又可以很好地表征輪胎側偏角較大時側向力的非線性變化及飽和現象。

圖1 刷子模型的試驗驗證

本文利用刷子模型表示輪胎的非線性,研究采用刷子模型和單軌二自由度車輛模型時穩態橫擺角速度的計算方法。假設α1,α2>0,縱向滑移率為0且側向力未發生飽和,利用刷子模型計算前后輪胎的側向力[21]

(3)

式中,Fz1、Fz2分別為作用在前后輪胎上的垂向載荷;μ為輪胎-路面附著系數。

刷子模型將側向力表示為輪胎側偏角的三次多項式,因此可以認為是對線性輪胎模型的拓展。

定義量綱一變量

(4)

由式(3)、式(4)可得2個重要的關系式:

(5)

(6)

(7)

式中,g為重力加速度。

由式(5)、式(7)可以得到

(8)

由于ωr的符號始終與α1和α2相反,并且在側向力發生附著飽和之前有|ay|<μg,因此車輛穩態轉向時,始終有x∈(0,1),并且x隨ay的增大逐漸減小。

1.2 等效穩定性因數

車輛在前輪轉角δ輸入下轉向行駛的過程中,對車輛施加一個附加的微小轉角增量Δδ時,單軌車輛模型的動力學微分方程變為[17,23]

(9)

式中,Δay、Δωr、Δα1、Δα2為由Δδ引起的物理量增量。

將Fy1|α1+Δα1、Fy2|α2+Δα2進行一階Taylor展開,并與式(1)相減,可得

(10)

定義等效穩定性因數K*[17]為

(11)

由式(8)、式(11)可知,α1,α2>0時,等效穩定性因數K*與穩定性因數K的關系為

(12)

同理可得α1,α2<0時K*的表達式。定義λ=|uωrd|/(μg),則輪胎側偏角α1,α2>0及α1,α2<0兩種情形下的K*可以統一寫為

K*=K(1-λ)-2/3

(13)

圖2為K*/K隨λ的變化曲線。λ表征側向加速度的大小,λ>0.4時,輪胎非線性對等效穩定性因數即對車輛穩定性的影響已無法忽略。車輛側向加速度較大時,K*明顯大于K,這意味著基于線性輪胎模型方法計算得到的穩態橫擺角速度比采用非線性輪胎模型時的大,這會使車輛的橫擺角速度在車輛穩定性控制系統的作用下向更大的值趨近。

圖2 K*/K隨λ變化曲線

2 基于刷子模型的穩態橫擺角速度

2.1 穩態橫擺角速度的計算方程

由式(10)、式(11)可知轉角增量Δδ引起的橫擺角速度的變化

(14)

α1,α2>0時,由式(7)、式(12)和式(14)可得

(15)

由式(15)可以得到

(16)

t=0時,x=1,δ=0,因此有

C0=1+3Ku2

(17)

從而得到x的一元三次方程

(18)

該方程有效解的區間是(0,1)。

α1,α2<0時,可進行類似的推導。在α1,α2>0及α1,α2<0兩種情況下,x的一元三次方程可以寫成統一的形式:

(19)

式(19)即為考慮輪胎非線性的穩態橫擺角速度計算方程。

2.2 對穩態橫擺角速度計算方程解的存在性的分析

穩態橫擺角速度計算方程(式(19))的有效解區間是x∈(0,1),因此有必要對解的存在性進行分析。

定義函數

(20)

由式(19)可知,要保證車輛在給定的車速u和前輪轉角δ的激勵下最終達到穩態轉向,就要求h(x)=0在x∈(0,1)區間內存在實根。由于

(21)

(22)

且K≥0時,存在

(23)

因此,h(x)=0在x∈(0,1)區間內存在實根的充要條件是h(0)<0,即

(24)

0≤K<|δ|/(3Lμg)時,為使車輛能穩態轉向,車速u應滿足

(25)

這意味著即使車輛具有不足轉向或中性轉向特性,若K<|δ|/(3Lμg),則仍存在一個由式(25)確定的速度上限uw。車速超過uw時將無法穩態轉向。

圖3為K=0.0016 s2/m2時,由式(25)計算得到的穩態車速上限uw隨前輪轉角|δ|的變化曲線。|δ|≈0.114 rad時,開始出現車速上限;|δ|=0.15 rad時,車速上限低于100 km/h,進入常用車速范圍。

圖3 穩態車速上限曲線(K=0.0016 s2/m2)

K<0時,式(23)不再成立,此時有

(26)

(27)

因此K<0時,要保證h(x)=0在x∈(0,1)區間內有解,需要使x0<1且h(x0)≤0。h(x0)是車速u的函數,因此定義f(u)=h(x0),則有

(28)

(29)

另一方面,由于f(ucr)=-|δ|/(LμgK)>0 且f(0)=-1<0,因此f(u)=0在u∈(0,ucr)區間內存在的唯一實數根即為K<0時實際的車速上限um,因此um的計算方程為

(30)

圖4顯示了K=-0.0021 s2/m2時由式(30)計算得到的穩態車速上限um隨前輪轉角|δ|的變化曲線以及臨界車速ucr,可以發現,穩態車速上限um明顯低于臨界車速ucr。

圖4 穩態車速上限曲線(K=-0.0021 s2/m2)

為評價K<0時um與ucr的差別,定義σ=(ucr-um)/ucr。圖5顯示了σ隨|δ|的變化曲線,隨著|δ|的增大,um與ucr之間的差別逐漸增大,|δ|=0.2 rad時,σ已達60%左右。

圖5 σ隨|δ|變化曲線(K=-0.0021 s2/m2)

由以上分析可知,考慮輪胎非線性時,即使車輛具有不足轉向或中性轉向特性即K≥0,在一定的轉角輸入下,仍然可能存在一個車速上限。車速超過上限時,車輛將無法穩態轉向。車輛具有過度轉向特性即K<0時,實際發生失穩的車速將明顯低于臨界車速。本文對于兩種情況均給出了穩態車速上限的計算方法。

3 車輛穩定性控制器的設計

進行車輛穩定性控制時可采用PID控制、滑模控制、模型預測控制等控制算法計算附加橫擺力矩[24-26],其中,滑模控制具有響應快速、魯棒性強等優點[27]。由于研究主題不是控制算法,因此采用滑模控制算法計算附加橫擺力矩,以比較不同計算方法得到的穩態橫擺角速度對車輛穩定性控制效果的影響。

定義目標參量為期望橫擺角速度ωrd和期望質心側偏角βd,其中,ωrd可基于線性輪胎模型,由式(2)計算得到,也可利用本文提出的基于非線性輪胎模型的方法,由式(19)計算得到。為提高車輛的側向穩定性,βd可設定為0。引入正的系數ε和ρ,將滑模面s定義為橫擺角速度與質心側偏角誤差的加權組合:

s=ε(ωr-ωrd)+ρ(β-βd)

(31)

由式(31)可得

(32)

(33)

定義趨近律為

(34)

由式(32)～(34)可以得到

(35)

由式(31)、式(35)可知,期望橫擺角速度ωrd會影響附加橫擺力矩ΔMz。在同樣的行駛工況下,當期望橫擺角速度不同時,滑模控制器施加的附加橫擺力矩會發生變化,進而產生不同的穩定性控制效果。

4 穩態橫擺角速度的試驗驗證

為對基于非線性輪胎模型的期望橫擺角速度計算方法進行驗證,利用實車在80 km/h車速下進行了不同側向加速度(0.3g、0.4g、0.5g)的階躍轉向試驗,試驗車輛與路面參數如表1所示。圖6所示為試驗車輛及測試駕駛機器人。圖7顯示了總體的試驗驗證流程圖。

表1 試驗車輛與路面參數

(a)試驗車輛 (b)測試駕駛機器人

圖8所示為橫擺角速度的測量值與計算值。側向加速度較小(ay=0.3g)時,兩種輪胎模型得到的穩態橫擺角速度差別不大,皆與測量值較為接近。隨著側向加速度的增大(ay=0.4g,0.5g),兩種方法計算結果的差距逐漸增大。線性輪胎模型不再能準確預測穩態橫擺角速度,而非線性輪胎模型得到的結果仍與測量值十分接近。

(a)ay=0.3g

定義計算誤差

(36)

圖9顯示了不同側向加速度下輪胎模型的計算誤差。ay=0.5g時,線性輪胎模型的計算誤差已達11.08%,非線性輪胎模型在3個側向加速度下的最大計算誤差為3.12%,比線性輪胎模型小7.96%。

圖9 不同側向加速度下的計算誤差

5 車輛穩定性控制的仿真驗證

5.1 車輛模型的建立與驗證

為比較不同方法計算的穩態橫擺角速度對車輛穩定性控制效果的影響,利用實車參數搭建了CarSim車輛模型。如圖10所示,利用實車在試驗場進行試驗,將采集的轉向角信號及車速信號作為CarSim車輛模型的輸入,并將試驗過程中車載傳感器的橫擺角速度測量信號與CarSim模型的仿真結果進行對比。

圖10 CarSim車輛模型的驗證

圖11所示為兩種工況(階躍轉向及雙移線)下的橫擺角速度的測量值與仿真值。CarSim車輛模型可以很好地反映試驗車輛的側向動力學特性,因此可用于評價車輛穩定性控制算法的開發和控制效果。

(a)階躍轉向工況

圖12顯示了控制算法的具體流程。滑模控制器以CarSim車輛模型輸出的狀態參量、不同輪胎模型得到的穩態橫擺角速度為輸入,將計算得到的附加橫擺力矩作輸出給車輛模型,從而實現對車輛穩定性的控制。

圖12 控制效果驗證示意圖

5.2 階躍轉向

圖13所示為車速100 km/h、轉向盤轉角1 rad的階躍轉向仿真結果。圖13中,“無控制”表示不施加控制,“線性+控制”表示采用線性輪胎模型計算期望橫擺角速度并對車輛施加滑模控制,“非線性+控制”表示采用非線性輪胎模型計算期望橫擺角速度并對車輛施加滑模控制。無控制時,橫擺角速度的穩態值即為期望橫擺角速度。

圖13 階躍轉向工況橫擺角速度曲線

表2列出了3種控制方法的橫擺角速度及相對期望值的誤差率。采用“線性+控制”方法時,車輛橫擺角速度的誤差率達到28.32%,采用“非線性+控制”方法時,車輛橫擺角速度的誤差率僅為2.14%。

表2 橫擺角速度的穩態值和誤差率

由圖14可知,在階躍轉向的過程中,車輛的側向加速度已達0.6g,輪胎的力學特性進入非線性區域。

圖14 側向加速度曲線

圖15顯示了不同控制方法下,橫擺角速度的計算值與CarSim仿真值。滑模控制器可以根據車輛實際狀態與目標參量之間的差別,調整附加橫擺力矩,使車輛的橫擺角速度和質心側偏角向目標參量趨近。

圖15 階躍轉向工況橫擺角速度對比

向目標參量趨近的過程中,ΔMz(式(35))的第一項的符號在正負間的切換使得ΔMz的數值存在一定的抖振。圖16顯示了ΔMz的第二項ΔMzs=-aFy1+bFy2的變化曲線。ΔMzs可視為ΔMz的直流分量。可見,在采用“線性+控制”方法時,滑模控制器會沿順時針方向對車輛施加一個很大的附加橫擺力矩。

圖16 ΔMzs曲線

由圖17可知,施加附加橫擺力矩使得采用“線性+控制”方法時,側向力Fy1和Fy2相對于無控制工況平均變化了2024 N,側向力發生的較大變化使得車輛無法像無控制工況那樣以期望橫擺角速度進行穩態轉向行駛;采用“非線性+控制”時,Fy1和Fy2僅平均變化了182 N,車輛依然能以接近期望橫擺角速度的狀態實現穩態轉向。

(a)前輪

采用“線性+控制”方法時,側向力變化會使得前輪側偏角|α1|減小,后輪側偏角|α2|增大。由轉向半徑的表達式R=L/[δ-(|α1|-|α2|)][17]可知,此時的車輛轉向半徑會變小。

圖18所示為車輛的行駛軌跡,可以看到,采用“線性+控制”方法會使轉向半徑在達到穩態前會逐漸減小,表現為過度轉向;采用“非線性+控制”則可有效保證車輛按接近期望的軌跡行駛。

圖18 階躍轉向工況車輛行進軌跡曲線

無控制時的轉向半徑為129.1 m,采用“非線性+控制”方法時的轉向半徑為132.5 m,相對于無控制時僅變化了2.63%;采用“線性+控制”方法時,轉向半徑逐漸減小至76.6 m,相對于無控制時的轉向半徑減少了40.67%。

圖19為質心側偏角曲線。采用“非線性+控制”方法時,質心側偏角的穩態值約為-4.6°;采用“線性+控制”方法時,車輛的質心側偏角達到了-10.18°。采用“非線性+控制”方法后,車輛的質心側偏角減小了5.58°。

圖19 階躍轉向工況質心側偏角曲線

5.3 雙移線工況

期望橫擺角速度與不施加控制進行階躍轉向時的穩態值對應,而車輛在復雜行駛工況下需要施加控制才能提高穩定性。圖20、圖21所示為車速120 km/h下的雙移線工況仿真結果,可見,施加控制可以有效減小車輛快速轉向時的橫擺角速度和質心側偏角。

圖20 雙移線工況的橫擺角速度曲線

圖21 雙移線工況質心側偏角曲線

如圖22所示,車輛快速轉向時,采用“線性+控制”方法與采用“非線性+控制”方法施加的瞬時附加橫擺力矩的差距約為4500 N·m。由圖23可知,相較于“線性+控制”,“非線性+控制”方法使得車輛在快速轉向時以更小的橫擺角速度行駛。由圖21可以看到車輛此時的質心側偏角更小。因此采用“非線性+控制”方法有利于提高車輛的行駛穩定性。

圖22 附加橫擺力矩曲線

圖23 雙移線工況橫擺角速度對比

6 結論

(1)由于輪胎非線性的影響,即使車輛具有不足轉向或中性轉向特性,在一定轉角和車速下行駛時仍可能無法實現穩態轉向;車輛具有過度轉向特性時,在較大的轉角輸入下發生失穩的車速會比臨界車速低60%以上。

(2)在側向加速度分別為0.3g、0.4g和0.5g的階躍轉向工況下,基于非線性輪胎模型得到的橫擺角速度與測量值的最大計算誤差僅為3.12%,明顯小于線性輪胎模型的計算誤差。

(3)將基于非線性輪胎模型得到的穩態橫擺角速度作為車輛穩定性控制的目標參量,可使階躍轉向時的穩態質心側偏角減小5.58°,在雙移線工況下也有利于減小質心側偏角,可提高車輛的行駛穩定性。

本文在穩定性控制仿真的過程中沒有考慮垂向載荷轉移對輪胎側偏剛度的影響,并且輪胎非線性對于穩定性控制的影響還需要進行深入分析。這些不足之處可在后續研究工作中進一步完善。