線性變截面梁彈性與塑性變形分析

楊曉林 YANG Xiao-lin；李晨曦 LI Chen-xi

（青海大學土木工程學院，西寧 810016）

0 引言

變截面梁是一種在工程領域廣泛應用的結構元素，其特點是在縱向方向上具備不同截面形狀或尺寸的能力。通過在不同位置上改變截面形狀或尺寸，變截面梁能夠有效地滿足工程中對不同承載力需求的要求。隨著現代建筑和橋梁工程的發展，越來越多的工程設計師意識到變截面梁的重要性和潛在優勢。變截面梁不僅可以提高結構的強度和穩定性，還能夠優化材料的使用和減少構造成本。因此，通過合理設計和應用變截面梁，我們可以實現更加節能、環保和經濟的結構設計方案。對于一般的等截面梁的彎曲問題，材料力學已經給出了結果，但受力復雜的梁以及變剛度梁的計算還是比較繁瑣的。王延真等采用最小勢能原理，分別構建了變截面梁的結構勢能和近似形狀函數，通過能量原理將二者聯系起來，求解得到變截面梁的近似撓度曲線[1]。馮忠磊通過將大變形梁轉變為具有兩自由度的偽剛體模型，實現了對大變形柔性梁的變形軌跡和變形角度進行計算[2]。周渤等利用改進傅里葉級數法研究兩端任意彈性邊界條件的連續多段梁，并基于瑞利－里茲法對其進行求解[3]。Gupta 采用有限元方法求解變截面梁結構的各階固有頻率[4]。馬一江等基于傳遞矩陣法，提出了一種計算含多條裂紋變截面簡支梁固有頻率的方法[5]。徐勇華等提出基于撓度影響線的變截面梁損傷識別探究[6]。崔燦等將一變截面梁劃分為若干個子梁，由各子梁段間力和位移的連續條件，研究了變截面梁動力特性[7]。閆維明[8]等基于Euler-Bernoulli 梁理論改進了直接模態攝動方法，形成了完全彈性支承情況下變截面梁振動方程的半解析法。目前，很多學者對于變截面梁的理論分析和模型分析已經做了大量工作，但加載、卸載階段的實驗分析略顯不足，本文通過對變截面梁的實驗，分析線性變截面梁的彈塑性加、卸載過程中力、位移的時程變化規律與塑性極限荷載，以期為變截面梁的教學與應用提供參考。

1 實驗設計

實驗采用變截面梁測試其力學性能，變截面梁的尺寸為長700mm，寬14mm，高24mm，其中變截面高12mm，具體尺寸如圖1 及圖2 所示，并在變截面梁的一面上噴涂散斑點。采用疲勞機進行實驗，在距變截面梁兩側各10mm位置處設置兩個支座用于支撐變截面梁，在跨中位置（距離兩端350mm）進行加載集中力，加載速度為0.1mm/min，通過疲勞機的位移傳感器和力傳感器測試變截面梁跨中位置所承受的力以及位移。實驗全程采用I-SPEED.221 型高速攝像機記錄，曝光速率為5000fps，對應的相機鏡頭選用尼康AF 50mm f/1.8D 定焦鏡頭，相機正對試驗梁的涂散斑一面水平放置，結合新拓三維軟件用于觀察整個試驗過程中變截面梁的位移。

圖1 變截面梁的尺寸示意圖

圖2 變截面梁現場布置圖

2 結果與討論

2.1 力與位移關系曲線

圖3 為力與位移關系曲線圖，曲線可以分為三個階段，OA 段為彈性階段，力與位移呈比例關系，在2000N 卸載后，力與位移的值下降為零。AB 段為屈服階段，力值增加緩慢（其增加值為115.1N），而位移增加較多（增加值為6.683mm），表明梁進入塑性流動階段。BC 為卸載階段，此時變截面梁的力與位移同時減小，仍然呈正比關系。

圖3 變截面梁力與位移關系曲線

加載段OA 的斜率為337.95，卸載段BC 的斜率為342.72；其斜率值近似相等，卸載曲線平行于加載曲線。表1給出了力與位移曲線三個階段的力值與位移值的變化情況。

表1 變截面梁力與位移曲線特征

圖4 為變截面梁力、位移與時間的曲線，從圖中可以看出力與時間變化曲線分為3 個階段，位移與時間變化曲線分為2 個階段。力值在彈性階段隨著時間的增加而增加，增加速率為5.63N/s；而在屈服階段力值的增加速率為0.255N/s；在卸載階段隨著時間的增加而減小，減小速率為5.64N/s，其速率與荷載的加載速率一致。位移在彈性、屈服階段內都隨著時間的增加而增加，只在卸載階段隨著時間的增加而減小，但不會減小到0，存在6.6mm 的殘余位移，其值占最大位移的44.1%。

圖4 變截面梁力-位移時程曲線

2.2 塑性極限彎矩分析

由實驗數據得出屈服荷載為2811.1N。

2.3 DIC 位移云圖分析

2.3.1 DIC 位移時程曲線與試驗機豎向位移時程曲線的一致性

如圖5 所示為DIC 計算梁豎向位移選取的區域，從圖中可以看出變截面梁底部的豎向位移最大，越靠近頂部的豎向位移越小。

圖5 DIC 計算梁豎向位移選取的區域

如圖6 所示為DIC 與疲勞機測得的位移隨時間變化的圖像，二者測得的位移與時間的趨勢一致，都是隨著時間的增大，位移先增加后減小，最后減小到一定值后停止。其中，DIC 測得的最大位移為15.001mm，疲勞機位移傳感器測得的最大位移為14.8mm，誤差為1.34%，表明DIC 位移時程曲線與試驗機豎向位移時程曲線的一致性。而DIC位移誤差主要來源于以下兩個方面：因圖像清晰度帶來像素坐標轉換誤差以及圖像校準和圖像處理過程中標記的區域提取不夠精確[9]。

圖6 DIC 與疲勞實驗機位移隨時間變化曲線

2.3.2 水平位移場分析

圖7～圖9 為變截面梁水平位移場云圖，變截面梁在受到集中力時，各階段水平位移等值線為曲線，可見變截面梁橫截面的水平位移不復合平截面假設[10]。

圖7 彈性階段水平位移場（加載段v=5.0mm）

圖8 屈服階段水平位移場（加載段v=10.0mm）

圖9 卸載階段水平位移場（卸載段v=10.0mm）

2.3.3 豎直位移場分析

圖10 給出了變截面梁豎直位移場云圖，其豎向變形曲線（撓度）可近似用三角正弦函數曲線表達。采用瑞利-里茲法[11]該變截面梁的撓度曲線公式可表達為：

圖10 彈性階段豎直位移場（加載段v=5.0mm）

式中v 為最大豎向位移，Q 為荷載，L 為梁的跨度，E為彈性模量，I0為變截面梁的慣性矩，x1為跨中到梁最左側的距離。

3 結論

①變截面簡支梁的三點彎曲力位移曲線的加載過程可分為彈性、屈服段；卸載曲線平行于加載線，梁卸載后殘余位移為6.482mm，占最大位移的43.2%。②卸載曲線近似平行與加載曲線彈性段，屈服階段荷載增加緩慢變化，但位移仍大幅增加，變截面鋼梁進入塑性流動階段。③DIC位移云圖表明，變截面梁的水平位移不滿足平截面假設。