非線性振動系統的多項式向量方法1)

金棟平

(南京航空航天大學航空航天結構力學及控制全國重點實驗室,南京 210016)

引言

非線性振動系統近似解法主要有基于派生系統解特征而衍生出的方法,如平均法等,以及基于攝動展開的方法,如Lindstedt-Poincaré方法、KBM 法、多尺度法和源于濾波的方法,如諧波平衡法等[1-5].學者們采用上述方法成功揭示了工程非線性振動中的復雜動力學行為,如滯后非線性中的分岔[6]、相軌線跳躍現象[7],并用于非線性隔振器設計[8]等.現代工程結構和系統大多帶有柔性附件、振動控制器[9],使得受控動力學模型表現為很高維數之特征.借助動力學等效等模型進行降階,可以大大降低動力學模型的維數[10-11],使得由周期單元組成的復雜結構非線性振動能夠進行半解析和半數值分析[12-13].然而,當非線性振動系統的維數較高時,上述攝動方法、多尺度方法等需逐步、依次求解微分方程組,加上計算機符號軟件可以不支持海量指數的提取[14-15]等運算,需要人工參與,以致工作量巨大、計算效率低.

本文針對高維非線性振動系統的近似求解問題,通過常數矩陣和多項式向量函數的乘法,將非線性部分表示成為矩陣和向量積形式,以致冪次近似解均滿足一組非齊次狀態方程,進而根據一階非齊次方程組的求解方法,一次性地獲得全部的解析解.由于帶有小參數的多項式向量函數之間的乘法運算可以借助Toeplitz 矩陣表示成矩陣之間的乘法運算,借助計算機符號軟件等工具可以實現計算過程的程序化.最后,通過一個四維彈簧擺振動的算例,展示了多項式向量方法在解決高維非線性振動時的可行性.

1 多項式向量

研究n維非線性振動系統,狀態方程為

一般地,可以將方程(1)寫成多項式向量形式

其中,k次齊次多項式向量函數為

式中,ei=[0 0···1···0 0]T表示第i列元素為1 的單位向量,mi為非負整數.

若采用攝動法,將

代入方程(4)并比較方程兩邊 ε同次冪系數,得

2 多項式乘法

定義T階滯后算子

該算子由單位矩陣IT=[e1e2···eT]通過消去第一列并在最后一列添加零列向量形成,在次對角線上的元素為1、其余均為0.此外,左下角元素為1;對r≥0,.例如

利用上述滯后算子,可以將多項式相乘轉換成Toeplitz 型下三角矩陣的乘法形式.將小參數視為變量,令

則

因而

即x1(L4)x2(L4)第1 列元素χ(q)正是兩個多項式相乘后的 εq次冪的系數.根據方程式(5),第k次齊次多項式函數的 εq次冪的系數為

式中,T=q+1.依據式(16),即可確定方程式(7)～式(10)中任意次冪系數的多項式函數,繼而依次求出各階近似解.

類似地,有

可見,非線性振動系統中齊次多項式乘法運算可以轉換成一系列Toeplitz 矩陣的乘法運算,以致原本繁瑣的逐個攝動求解轉變為一系列矩陣形式的非齊次方程求解問題.這樣做的好處就是,對于高維非線性振動系統,借助計算機符號軟件對于多項式向量函數和矩陣運算的優勢,通過多項式矩陣乘法的運算,無需對二階微分方程逐個求解,從而一次性地獲得形式上結構簡潔的全部近似解.值得注意的是,直接攝動法得到的解在t∈[0,1/ε]內有很好的近似.

3 算例

(1)算例1

首先,考慮二維平方非線性振動系統

根據式(16),有

故

因而,一次近似解為x=x(0)+εx(1),該結果與文獻[4]直接攝動法給出的結果相同.可以繼續求滿足初始條件的二次冪方程的解,即

可見,借助Maple 等計算機符號軟件工具,上述建立在多項式向量求解方法上的矩陣運算程序很容易編寫和執行.注意到,式(28)中出現了九期項tsint.下面研究更高維數的非線性振動問題.

(2)算例2

考慮靜平衡位置附近彈簧擺的面內微振動,此時近似到二階的非線性振動方程為

寫成狀態方程形式,令x=x1,=x2,y=x3,=x4,有

根據式(16),對于二次近似解,有

為簡潔起見,取 ω=1,有

將式(30)和式(32)代入式(36),得到二次冪方程的解析表達式.為簡潔起見,取 α=1,β=2,則

因而,二次近似解為x=x(0)+εx(1)+ε2x(2).注意到,式(37)中出現了九期項tsint和tcost.

圖1 近似解析解與數值結果對比(=[0.01 0 0.01 0]T)Fig.1 Comparison of the proposed method and simulation results for the differential small parameters (=[0.01 0 0.01 0]T)

圖1 近似解析解與數值結果對比(=[0.01 0 0.01 0]T)(續)Fig.1 Comparison of the proposed method and simulation results for the differential small parameters (=[0.01 0 0.01 0]T)(continued)

圖2 近似解與數值結果對比(=[0.1 0 0.1 0]T)Fig.2 Comparison of the proposed method and simulation results for the differential small parameters (=[0.1 0 0.1 0]T)

4 結論

對于齊次多項式作為非線性的高維振動系統,可以通過多項式向量將非線性部分表示成常數矩陣和多項式向量之積,進而將非線性振動系統表示成一系列矩陣和向量的乘積形式.在采用基于攝動展開的方法時,小參數作為冪級數出現,因而可以采用Toeplitz 矩陣實現冪次近似解作為元素的多項式之間的乘法運算.因此,非線性振動系統的解完全由矩陣和多項式向量之間的乘法運算獲得,從而有望解決高維非線性振動系統的求解難題.