開發數學“動手做”：學習材料設計應有的視角

王軍

［摘 要］“動手做”活動具有極高的教學價值，學生能夠在 “再創造”和“再發現” 數學知識的過程中親身體驗和理解數學的知識、技能和方法，從而促進自身的學習發展。將教材中的“動手做”活動進行有機改造，從“學習材料定位”“學習材料設計”“學習材料使用”三個視角出發對“動手做”的教學價值、活動方式和教學組織等進行重新定位和設計，使之成為促進學生完整認識數學知識的本質的有效學習材料。

［關鍵詞］動手做；學習材料；圖形的放大與縮小

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0020-04

筆者在教學“圖形的放大與縮小”時，有學生提出了一些疑問：“怎樣才能更方便地將復雜的圖形按比例放大或縮小？教材上圖形的放大與縮小都是將圖形上的對應邊進行放大或縮小，而圓是曲線圖形，為什么改變半徑的長度就能將圓放大或縮小？……”恰巧教材在這一節課的練習中編排了“動手做”（如圖1），讓學生通過操作不同圖形的放大來感受圖形的相似性。“動手做”是蘇教版教材的特色欄目，是通過操作、游戲、實驗、調查研究等方式，引導學生親身體驗和感知數學知識的形成與發展，感受數學文化的魅力，激發學生的學習興趣，引發學生的數學思考，使得學生感悟數學思想、積累數學基本活動經驗。

基于此，筆者根據學生的疑問并結合教材編排的“動手做”活動內容，對相關的實驗進行了重新設計，以期實現學生對“圖形的放大與縮小”的再認識。

【案例描述】

活動一：探究放大和縮小原圖的原理

師：大家已經學習了有關圖形放大與縮小的知識。研究了長方形、正方形的放大與縮小后，你還想研究哪些圖形的？

生1：三角形、平行四邊形、梯形……

師：請先選定一個圖形，在方格紙上畫出來，再將它按照一定的比放大或者縮小。

生2：我研究的是直角三角形，將它按1∶2的比縮小。先將兩條直角邊的長度縮小為原來的[1／2]，再連接直角邊的兩個端點，得到一個小直角三角形。

師：僅僅是直角三角形的兩條直角邊同時縮小為原來的[1／2]，就能說明它的斜邊也縮小為原來的[1／2]了嗎？

生2（出示圖2）：我可以驗證。原來的直角三角形的斜邊有4段方格的對角線那么長，現在的小直角三角形有2段那么長，斜邊也縮小為原來的[1／2]。

師：看來，確定好兩條直角邊縮小后的長度，斜邊縮小后的長度也能確定了。

生3（出示圖3）：還可以找到一條直角邊的中點，再找另一條直角邊的中點，連接這兩個中點，形成的小三角形就是原來直角三角形按1∶2的比縮小的圖形。

生4：我研究的是平行四邊形，把它按照3∶1的比放大。根據平行四邊形的特征，只要把這兩條鄰邊的長度同時放大到原來的3倍就可以了。（如圖4）

生5：雖然圖形看起來放大了，但鄰邊夾角的角度會不會發生變化，導致和原來的平行四邊形不一樣。

師：的確，保持圖形內角的角度不變也是圖形放大和縮小要考慮的關鍵要素。那么放大這個平行四邊形時還要怎么做呢？

生6：用量角器測量出鄰邊的夾角的角度，再在畫圖的時候保持相同的角度。

生7：在原圖的基礎上把鄰邊同時放大為原來的3倍，再作對邊的平行線后相連。

……

師：剛才我們在方格紙上研究了多種圖形的放大與縮小，如果沒有這樣的方格紙，你還能將圖形放大和縮小嗎？

生8：可以用尺子和量角器分別量出能確定圖形形狀和大小的邊長和夾角，再按照給定的比將圖形放大或縮小。

師：你關注到了圖形的邊和角，考慮得很全面。

生9：也可以在原圖的基礎上放大和縮小。

師：確實，在原圖上直接進行放大與縮小是一種非常方便的方法。

師：再看剛才在原圖上縮小直角三角形的作品（如圖3）。把圖上的線段都擦掉，這樣縮小的過程其實只是改變了三角形的什么？

生10：改變了頂點的位置。

生11：確定了三角形3個頂點的位置，三角形的形狀與大小也就確定了。

師：其實，把原來直角三角形的頂點當作原點，兩條直角邊分別當作一個標準單位長度“1”，那么這兩個點分別移動到對應直角邊的[12]的位置時，也就是按1∶2的比縮小。（如圖5）

師：同樣地，在原圖（如圖4）中將平行四邊形按3∶1的比放大，可以把原來的一組鄰邊分別當作一個標準單位長度“1”，再分別將它們延長到“3”，找到頂點的位置。第4個點的位置你能確定在哪嗎？

生12：作平行四邊形的對角線，把這段長度也當作一個標準單位長度“1”，然后延長到“3”，第4個點的位置也能確定。（如圖6）

活動二：操作驗證在原圖上放大方法的一般性

師：這樣的方法也適用于一般的四邊形和五邊形嗎？請用剛剛學到的方法將一般的四邊形和五邊形按2∶1放大，并量一量放大后的圖形，看看每一條邊的長度是否都按相應的比放大，對應邊夾角的角度是否保持不變。

師：對于在原圖上放大與縮小，你有什么想說的？

生1：在原圖上放大與縮小，操作很方便，只需要改變原來圖形中的點的位置，就能夠保證圖形的形狀保持不變。

師：是的，有了這樣的方法，面對更復雜的圖形，也一樣能放大和縮小。

活動三：遷移拓展中感受更多的放大方法

師：剛剛我們在圖形上選了一個原點對圖形進行放大，想象一下，這樣的點還可能在什么位置？

生1：可能在圖形的外面。

生2：還可能在圖形的里面。

師：請以小組為單位，按照剛才的方法，任選一種情況進行驗證。

生3：我們小組在三角形ABC外任取一個點O，將O和三角形的三個頂點分別相連后作延長線，分別以OA、OB、OC為標準單位長度“1”，再分別在延長線上取2份這樣的單位長度，然后順次連接，得到一個大三角形，這個大三角形就是由原來的三角形ABC按2∶1放大得到的。我們小組經過測量和對比，發現操作正確。

師：你們不僅研究出了放大的方法，還進行了驗證，真嚴謹！

師：剛剛同學們研究了原點在圖形外部時如何放大一個圖形。仔細想想，生活中有這樣的現象嗎？

生4：有，美術上有這樣繪畫技巧。

生5：如果把這個原點想象成光源，對人照射后，就會在墻上留下一個按比例放大的人影。

師：確實，這樣的例子在生活中還有很多。那在圖形內部找點，也能像這樣將圖形進行放大嗎？

生6：可以，我們小組在一個四邊形內任選了一個點，按照同樣的方法操作，得到的大四邊形就是原來的四邊形按3：1放大的。（如圖7）

師：看來在內部選點也能將圖形放大。同樣的，反過來也能將圖形縮小。現在知道如何將圓進行放大和縮小了嗎？

生7：選取圓心為原點，改變半徑的長度，這樣圓心到圓上所有點的距離都會發生等比變化。因此只要將半徑的長度變長或變短，就能將圓進行放大或縮小。

師：原來圓的放大與縮小藏著這樣的奧秘。經過動手操作，相信大家一定對圖形的放大與縮小都有了新的認識。

……

【反思】

“動手做”活動具有極高的教學價值，筆者結合學生的學習疑問將教材中的“動手做”活動進行了改造，并以此為支點觸發學生主動學習，取得了良好的教學效果。結合教學實踐，筆者認為可以從“學習材料定位”“學習材料設計”“學習材料使用”三個視角出發對“動手做”的教學價值、活動方式和教學組織等進行重新定位和有機改造，使之成為促進學生完整認識數學知識和原理的有效學習材料。

一、學習材料定位：讓“動手做”從“微操作”轉變為 “再認識”

在日常的教學中，有的教師對“動手做”的編排意圖和價值缺乏足夠的理解，同時缺乏可供參考和借鑒的資料，從而使得教學這部分內容時僅僅要求學生了解，或者讓學生進行依葫蘆畫瓢式的簡單操作，學生大多不明所以。但學生提出的問題“怎樣才能更方便地將復雜的圖形按比例放大或縮小？教材上圖形的放大與縮小都是將圖形上的對應邊進行放大或縮小，而圓是曲線圖形，為什么改變半徑的長度就能將圓放大或縮小？……”，以及“動手做”中以原圖為基礎的放大或縮小、復雜圖形的放大與縮小的原理是什么？只有讓學生親身實踐、探索、感悟，才能讓學生真的理解其蘊含的數學本質。

基于以上思考，筆者對“動手做”活動的進行了整體設計，讓學生經歷 “獨立探索不同圖形的放大和縮小—理解和掌握在原圖基礎上放大的方法—原點在圖形外和圖形內進行放大”三個層次的操作活動來感悟圖形放大與縮小的本質是點的位置的移動變化，進而理解復雜圖形的放大與縮小的原理是從原點出發連接圖形上的頂點，并分別以這些連線長度為單位長度，按比例畫出對應點的位置，然后順次連接，就能得到相應的放大或縮小后的圖形。在這個過程中，學生經歷的不僅僅是對圖形的簡單放大或縮小的操作，更多是對放大和縮小背后數學原理的“再認識”，從而能站在更高的視角上整體把握圖形變化的本質。

二、學習材料設計：讓“動手做”從“做數學”進階到“創數學”

在教學中按部就班地呈現“動手做”的活動內容，只能讓學生掌握有限的知識與方法，無法讓學生形成深刻的認知，以及對“動手做”與“圖形的放大與縮小”產生關聯性的理解。因此，筆者對“動手做”活動的呈現方式進行了改進，從學生已有的放大與縮小方法知識切入，讓學生體驗多種與原有方法不一樣的放大方法。事實上，打破常規的學習活動不僅有利于開闊學生的視野，也能提高學生的認知能力。

在上述案例中，筆者根據學生喜歡在具有操作性的、直觀豐富的數學活動中學習的特性，引導學生研究在原圖基礎上放大和縮小圖形的方法后，適時地直觀呈現和介紹從原點連線取“單位長度”將圖形放大的方法，有效地激發了學生的學習興趣。學生不僅在交流和操作中主動研究了應用這種方法放大三角形、四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的一般普適性，更主動思考原點在圖形外和圖形內的放大方法，并加以實踐驗證，形成豐富的數學思考。 因此，對于“動手做”的活動，教師有必要結合學習內容、學生的年齡特征和心理特點設計具體且豐富的體驗活動，以此升華學生的體驗和感受，讓學生在實踐操作和創造中實現自我突破。教師要積極地讓課堂上的“動手做”從“做數學”進階到“創數學”，使學生的數學學習看得見、摸得著。

三、學習材料使用：讓“動手做”從“不動點”升級成“觸發器”

“動手做”的活動內容蘊含著豐富的數學知識與思想方法，教師要有意識地引導學生交流、辨析、比較、歸納、概括、聯想，促進學生從單純的“手動”升級為積極的“腦動”，通過啟發聯想和回顧反思，觸發學生實現知識的同化與順應，形成完整的知識結構。如在本文案例中，筆者并沒有局限于教材提供的例子，而是引導學生操作原點在圖形上、圖形外、圖形內的放大或縮小，還啟發學生比較在原圖基礎上放大或縮小方法的共同點，以及聯系生活中的應用原型和“為什么圓的放大（縮小）與半徑有關”的相關問題。如此一來，學生不僅獲得將圖形放大與縮小的多樣方法，更經歷自我解惑、自主關聯知識、完善認知結構、達成學習進階的過程。可以預見，學生未來學習相似圖形的有關知識時必然會產生熟悉感，同時學生也能逐步形成一種主動對問題和知識進行拓展、反思、類比、聯系和歸納概括的數學學習意識。

因此，在“動手做”的教學中，教師需要有全局意識，讓學生在動手操作的過程中將技能方法、知識原理、生活原型有機地關聯起來，使學生的數學學習從“淺表”走向“深層”，從“分析”走向“綜合”，從“孤島”走向“聯結”，形成系統化的知識結構。

（責編 金 鈴）