論域非原點(diǎn)對稱的等效變論域模糊PID 控制＊

樊康生 楊光永 吳大飛 徐天奇

（云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，云南 昆明 650500）

PID 控制器具有結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)控制領(lǐng)域中的應(yīng)用極為廣泛[1]。但PID 控制的控制效果極易受參數(shù)的影響，合適的PID 參數(shù)可有效增強(qiáng)PID 控制器的控制效果[2]。自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)方法可根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)對PID 參數(shù)進(jìn)行實(shí)時調(diào)整，相比于固定參數(shù)的策略，自適應(yīng)策略可提升PID 控制器的控制性能[3]。

作為一種主要的自適應(yīng)PID 參數(shù)調(diào)整方法，模糊PID 控制將系統(tǒng)的誤差和誤差變化率作為模糊控制器的輸入，經(jīng)過模糊控制器后輸出PID 控制器參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)PID 參數(shù)的自適應(yīng)變化。文獻(xiàn)[4-6]指出，該種方法可使PID 控制器的參數(shù)更切合系統(tǒng)狀態(tài)，且具有極大的優(yōu)勢。

李洪興教授于1999 年提出了一種變論域的模糊控制方法[7]，當(dāng)系統(tǒng)誤差越小，固定論域相對于誤差會越粗糙，變論域的模糊控制器可使論域隨著系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行縮放[8]，有利于提升模糊控制器的性能。變論域模糊控制器的PID 參數(shù)自適應(yīng)控制因卓越的控制性能[9]，受到廣泛的關(guān)注和應(yīng)用[10]。

由于傳統(tǒng)的變論域模糊控制器需改變模糊控制器的論域，因此具有復(fù)雜度較高且設(shè)計(jì)難度大等問題[11]。針對變論域模糊控制器的實(shí)現(xiàn)，諸多學(xué)者提供了一些方法[12]，但并未解決變論域模糊PID 控制器難以實(shí)現(xiàn)的問題。

為此，本文提出一種通過改變模糊PID 控制器的輸入輸出達(dá)到與改變模糊控制器內(nèi)部論域相同效果的策略，從而實(shí)現(xiàn)變論域模糊PID 控制，同時，針對目前的論域變化后變量位置確定方法不適用于論域非原點(diǎn)對稱時的情況，提出了非原點(diǎn)對稱論域的變量位置伸縮后確定方法。本文設(shè)計(jì)了一種以伺服電機(jī)和滾珠絲杠作為傳動機(jī)構(gòu)運(yùn)動系統(tǒng)的等效變論域模糊PID 控制器，從而驗(yàn)證本文提出的等效變論域模糊PID 控制的可行性，并以仿真對比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等效變論域模糊PID 控制器的性能。

1 等效變論域模糊PID 控制器

1.1 模糊PID 控制

PID 算法通過線性組合誤差信息e(t)的比例、積分和微分項(xiàng)，得到控制項(xiàng)u(t)：

式中：Kp、Ki、Kd分別為PID 控制器的比例、積分和微分系數(shù)。

此前大量研究和實(shí)驗(yàn)表明：PID 控制器的控制效果極依賴于Kp、Ki、Kd參數(shù)，且采用固定參數(shù)的PID 控制效果不佳[13]。針對這種情況，基于模糊控制的自適應(yīng)PID 控制器被提出，模糊PID 將系統(tǒng)變量誤差和系統(tǒng)變量誤差變化率作為模糊控制器的輸入，經(jīng)過模糊化、模糊推理和解模糊階段輸出?Kp、?Ki、?Kd，從而使模糊PID 控制生成的控制項(xiàng)為

模糊PID 控制器改善了因PID 控制器參數(shù)固定造成的控制效果不佳的問題，但常規(guī)模糊PID 中模糊控制環(huán)節(jié)的論域是固定的，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行誤差減小后，相較于微小誤差而言，初始論域過大，模糊控制器的控制效果減弱。針對該問題，李洪興教授提出了一種變論域模糊控制器[7]。變論域模糊控制器通過引入伸縮因子 α調(diào)節(jié)論域，設(shè)變量i的初始論域?yàn)閇E1,E2]，E1=-E2，則經(jīng)伸縮因子作用后論域變?yōu)閇α(xi(t))E1,α(xi(t))E2]。該方法可使模糊控制器的論域隨著誤差變化而變化，從而增強(qiáng)模糊控制算法的控制效果。

1.2 等效變論域模糊PID 控制

變論域模糊控制雖實(shí)現(xiàn)了論域隨著系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化，但模糊控制器的論域變化后，論域中的模糊子集也需進(jìn)行相應(yīng)的變化，這種變化在實(shí)現(xiàn)時復(fù)雜度極高，且需花費(fèi)的時間代價極大。

為簡化變論域過程的復(fù)雜度，本文提出一種等效的變論域模糊PID 控制方案：設(shè)計(jì)伸縮因子對模糊控制器的輸入和輸出進(jìn)行縮放，以代替模糊控制器內(nèi)部的論域縮放。設(shè)模糊控制輸入端伸縮因子為α(xi(t))，輸出端伸縮因子為β(yi(t))，為表述方便，設(shè)選取的輸入端論域關(guān)于原點(diǎn)對稱，即[E1,E2]，E1=-E2。設(shè)計(jì)的伸縮因子應(yīng)滿足以下條件。

其中，sgn為符號函數(shù)，即：

（1）當(dāng)模糊控制器的輸入xi(t)減小至小于既定論域范圍時，增大輸入量xi(t)以確保模糊控制器能實(shí)現(xiàn)高效控制，并減少相應(yīng)的輸出量yi(t)。

（2）當(dāng)模糊控制器的輸入xi(t)增大至大于既定論域范圍時，伸縮因子應(yīng)使輸入量減小使其不超過論域邊界，并應(yīng)增加響應(yīng)的輸出量yi(t)。

等效變論域模糊PID 控制的控制流程如圖1 所示，其中α(e)、α(ec) 和 β均為伸縮因子。

圖1 等效變論域模糊PID 流程圖

2 非原點(diǎn)對稱論域的伸縮方法

此前針對變論域模糊控制的研究大多基于原點(diǎn)對稱論域，即論域?yàn)閇E1,E2]，E1=-E2。但在一些模糊PID 控制的場景中，輸出端論域設(shè)定為非原點(diǎn)對稱時，控制效果會更佳，論域?qū)ΨQ和非對稱示意圖如圖2 所示。

圖2 論域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱示意圖

若采用非原點(diǎn)對稱論域，變論域模糊控制及第1.2 節(jié)提出的等效變論域模糊控制的伸縮因子作用于系統(tǒng)時，直接將伸縮因子與輸入量、輸出量的乘積作為傳統(tǒng)變論域模糊控制的論域范圍或等效變論域模糊控制最終輸入輸出量的方案將不再適用。

為此，本文對非原點(diǎn)對稱論域的伸縮方法進(jìn)行研究。設(shè)模糊控制的論域范圍 Φ為

則由伸縮因子 λ作用后論域范圍應(yīng)變?yōu)?/p>

論域中的某一變量x經(jīng)伸縮后，結(jié)果為

該方法同樣可用于論域關(guān)于原點(diǎn)對稱論域內(nèi)變量的位置確定。

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的等效變論域模糊PID 控制器的控制性能，以一個汽車前橋前束測量系統(tǒng)中的一種采用伺服電機(jī)和滾珠絲杠作為傳動結(jié)構(gòu)的運(yùn)動系統(tǒng)的位置控制為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并選取PID控制、傳統(tǒng)模糊PID 控制、傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制為對比實(shí)驗(yàn)。

3.1 運(yùn)動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

汽車前橋前束測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3 所示。測量系統(tǒng)初始狀態(tài)時左側(cè)前端測量距離為L3，后端為L1；右側(cè)前端測量距離為L4，后端為L2，此時前橋前束：

圖3 前束檢測系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由于汽車前橋設(shè)計(jì)要求，前橋左右輪轂需要轉(zhuǎn)動一定角度呈“內(nèi)八”形。假設(shè)左右輪轂分別轉(zhuǎn)動θ1和 θ2角度，產(chǎn)生的距離分別為X1和X2，此時環(huán)境溫度形變量為UT，前橋總成剛體形變量為U1（如圖中L7位置），工作臺剛體形變量為U2。其中X1和X2為系統(tǒng)需要的測量值，UT、U1和U2為系統(tǒng)干擾輸入，此時系統(tǒng)理論檢測值見式（8），而實(shí)際前束見式（9）。

將X1、X2、UT、U1和U2作為控制系統(tǒng)的輸入量，其控制系統(tǒng)示意圖如圖4 所示。由于UT屬于非平穩(wěn)過程、U1和U2屬于平穩(wěn)過程，為了識別并消除UT、U1和U2，設(shè)計(jì)三階相關(guān)峭度反卷積算法模塊M3CKD 用于信號識別和提取，然后設(shè)計(jì)逆濾波器W 模塊用于消除輸入系統(tǒng)的干擾信號，得到輸出信號：

圖4 控制系統(tǒng)示意圖

式中：?表示卷積運(yùn)算，再將得到的信號輸入本文設(shè)計(jì)的控制器H 模塊得到系統(tǒng)輸出。

通過調(diào)節(jié)M3CKD 和W模塊參數(shù)，使得系統(tǒng)最終輸出為Y=HWX，經(jīng)過三階相關(guān)峭度逆濾波器處理后系統(tǒng)輸出只與X有關(guān)（本文不作細(xì)述）。本文主要在H模塊驗(yàn)證控制器的性能。

本文以伺服電機(jī)結(jié)合減速箱和滾珠絲杠作為傳動機(jī)構(gòu)的運(yùn)動系統(tǒng)，工作臺的直線位移d（圖3 中的滾珠絲桿1、2）與伺服電機(jī)（圖3 中的伺服電機(jī)1、2）的角位移θ的關(guān)系為

其中：k為絲杠導(dǎo)程，n為齒輪箱減速比。伺服電機(jī)采用位置控制模式，通過輸入脈沖的數(shù)量控制伺服電機(jī)的角位移，通過輸入脈沖的頻率控制伺服電機(jī)的角速度 ω。伺服電機(jī)的角位移與角速度的關(guān)系為

式中：t為采樣周期。用r代表輸入系統(tǒng)的溫度形變量和剛體形變量，則加入擾動因素r后運(yùn)動系統(tǒng)臺的直線位移可表示為

3.2 等效變論域模糊PID 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

將運(yùn)動系統(tǒng)的理想位移和實(shí)際位移的誤差e和誤差變化率ec作為模糊控制器的輸入，將輸入進(jìn)行模糊化，將其分為7 個模糊子集NB（負(fù)大）、NM（負(fù)中）、NS（負(fù)?。O（零）、PS（正?。?、PM（正中）、PB（正大）。利用Matlab 的模糊工具箱進(jìn)行模糊控制器的生成。設(shè)定模糊控制器的輸入e和ec的論域范圍為[-1,1]，輸出Kp、Ki和Kd的論域范圍分別為[0,1]、[80,120]和[-0.009,-0.001]。隸屬度函數(shù)形式均為三角形，解模糊方法為重心法。模糊規(guī)則參照文獻(xiàn)[14]。圖1 中的伸縮因子生成方法為

式中：k1、k2和k3均為人工設(shè)定的參數(shù)。同文獻(xiàn)[15]等文獻(xiàn)采用的變論域模糊控制PID 不同，等效變論域模糊PID 控制不會伸縮模糊控制器的論域，設(shè)計(jì)的伸縮因子僅需滿足式（3）即可，不必證明伸縮因子是否具有文獻(xiàn)[15]中的對偶性、非零性、單調(diào)性、正規(guī)性及協(xié)調(diào)性，從而證明伸縮因子具有穩(wěn)定性。該運(yùn)動系統(tǒng)的控制框圖如圖5 所示。

圖5 運(yùn)動系統(tǒng)等效變論域模糊PID 控制系統(tǒng)框圖

3.3 參數(shù)設(shè)定及Simulink 仿真模型

在本文的對照實(shí)驗(yàn)中，等效變論域模糊PID 控制器的參數(shù)除3.2 節(jié)中的敘述外，選取k1、k2和k3，分別為100、100 和10；傳統(tǒng)模糊PID 控制器參數(shù)和本文等效變論域模糊PID 控制器完全相同，即Kp0、Ki0、Kd0和C分別為0.109、8 800、8.76 和0.089；PID 控制器的Kp、Ki、Kd分別為0.5、1 000、-0.005；傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制器參數(shù)Kp0、Ki0、Kd0和C分別為1、6 000、0.5 和1。采樣時間設(shè)置為1×10-4s，仿真時間為0.2 s。運(yùn)動系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號位移的Simulink 仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D6 所示。

圖6 Simulink 仿真模型

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

模擬理想非負(fù)載狀態(tài)下4 種控制器控制的運(yùn)動系統(tǒng)跟蹤單位階躍位移時的響應(yīng)曲線如圖7 所示。圖中本文提出的等效變論域模糊PID 控制器作用時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線為EVUFP，傳統(tǒng)模糊PID 控制器作用時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線為FPID，PID 控制器作用時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線為PID,傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制器作用時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線為VUFP。

圖7 理想條件下各控制器運(yùn)動系統(tǒng)響應(yīng)曲線

由表1 和圖7（前0.03 s 的響應(yīng)曲線）可以看出，4 種控制器下系統(tǒng)的超調(diào)量相同均為0，本文提出的等效變論域模糊PID 控制上升時間為4×10-4s是4 種控制中最小的，較PID 控制縮短了80.00%，較傳統(tǒng)模糊PID 控制縮短了77.78%，較傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制縮短了71.43%；峰值時間為1×10-3s為4 種控制中最小的；調(diào)節(jié)時間為6×10-4s 較PID控制縮短了99.37%，較傳統(tǒng)模糊PID 控制縮短了91.18%，較傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制縮短了91.18%，沒有出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。響應(yīng)曲線最終于1×10-3s 時趨于穩(wěn)定并保持在穩(wěn)態(tài)值不變，PID 控制需9.8×10-2s后系統(tǒng)響應(yīng)曲線才趨于穩(wěn)定。

表1 仿真結(jié)果主要參數(shù)對比

設(shè)系統(tǒng)由控制器輸出至伺服電機(jī)轉(zhuǎn)化時k·n=1（為理想狀態(tài)），由伺服電機(jī)至輸出時式（14）中k·n=0.99，以模擬負(fù)載條件下，由于剛體形變和溫度形變等因素產(chǎn)生的系統(tǒng)固定擾動；在0.02 s 時，以一脈沖信號干擾模擬運(yùn)動系統(tǒng)突然受到外部干擾的情況。其系統(tǒng)受到擾動后再次回到穩(wěn)態(tài)所需調(diào)整時間見表2，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖8所示。由表2 和圖8 可看出，在模擬現(xiàn)實(shí)受到擾動運(yùn)行情況下，本文提出的等效變論域模糊PID 控制器受到擾動后需要調(diào)整時間4×10-4s 回到穩(wěn)態(tài)，較PID 控制縮短了94.17%，較傳統(tǒng)模糊PID 控制縮短了95.12%，較傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制縮短了95.00%，說明本文提出的等效變論域模糊PID 控制器控制下系統(tǒng)抗干擾能力更強(qiáng)，受到干擾后，在本文提出的控制器控制下系統(tǒng)能在更短時間內(nèi)趨于穩(wěn)定。

表2 系統(tǒng)受到擾動后回到穩(wěn)態(tài)調(diào)整時間對比

圖8 模擬現(xiàn)實(shí)工作時各控制器下運(yùn)動系統(tǒng)響應(yīng)曲線

為了驗(yàn)證本文提出的等效變論域模糊控制器控制性能，還設(shè)計(jì)了運(yùn)動系統(tǒng)跟蹤正弦信號仿真實(shí)驗(yàn)，并在0.02 s 時，以一脈沖信號干擾模擬運(yùn)動系統(tǒng)突然受到外部干擾的情況。正弦信號幅值為1，頻率為50 rad/s；仿真時間為0.14 s。系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖9 所示。

圖9 模擬正弦信號輸入時各控制器下運(yùn)動系統(tǒng)響應(yīng)曲線

由圖9 可以看出，四種控制器都能很好地跟蹤正弦信號，但相較于其他3 種控制器，本文提出的等效變論域模糊控制器跟蹤偏差最小、效果最佳，在受到干擾后，本文提出的等效變論域模糊控制器從響應(yīng)至最佳跟蹤狀態(tài)用時最少、無振蕩現(xiàn)象。再次表明本文提出的等效變論域模糊PID 控制器控制下系統(tǒng)的響應(yīng)最快，抗干擾能力更強(qiáng)。

由以上3 個實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文提出的等效變論域模糊控制器的可行性，且相較于傳統(tǒng)模糊PID 控制器、PID 控制器和傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制器，等效變論域模糊PID 控制器的控制性能更佳。

4 結(jié)語

針對變論域模糊PID 控制器實(shí)現(xiàn)難度大的問題，本文提出了一種等效變論域模糊PID 控制方案，該方案將傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制自適應(yīng)論域轉(zhuǎn)化為模糊控制器的輸入和輸出自適應(yīng)變化；并且還提出了非原點(diǎn)對稱論域的變量伸縮后位置確定方法以彌補(bǔ)傳統(tǒng)變量伸縮確定方式僅適用于原點(diǎn)對稱論域的問題。通過對一種以伺服電機(jī)和滾珠絲杠作為傳動機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，表明本文提出的等效變論域模糊PID 控制具有更快的響應(yīng)速度、更強(qiáng)的抗干擾能力。相較于PID 控制器、傳統(tǒng)模糊PID 控制器和傳統(tǒng)變論域模糊PID 控制器，等效變論域模糊PID 控制性能更佳。