磁懸浮平臺直線同步電動機懸浮系統的分數階反步控制*

劉志堅, 藍益鵬, 徐澤來

(沈陽工業大學 電氣工程學院,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

為實現直線進給運動,傳統數控機床通常采用“旋轉電機和滾珠絲杠”的驅動模式[1]。由于中間環節的存在,不可避免地產生摩擦,降低機床的控制精度,減少機床使用壽命。無法滿足現代數控機床實際加工需求[2]。

將磁懸浮直線同步電動機(MLLSM)應用于數控機床磁懸浮平臺。通過控制懸浮系統,可以實現平臺的穩定懸浮[3]。從根本上消除摩擦對系統的影響,具有結構簡單、響應速度快等優點。但由于取消了中間環節,外部擾動等不確定性因素直接作用在MLLSM懸浮系統上,極大地增加了系統的控制難度。因此研究相應的MLLSM懸浮系統的控制策略具有重要意義。

傳統磁懸浮系統控制方法是在系統平衡點處進行線性展開,通過線性控制理論設計控制器。然而MLLSM懸浮系統具有較強的非線性,采用常規線性控制器難以保證系統的穩定性[4]。反步控制(BC)的基本思想是將高階系統分解成多個子系統。利用Lyapunov穩定性理論,對每個子系統設計虛擬穩定函數。在保證系統穩定性的同時,得到總控制律,實現系統的全局跟蹤和調節[5]。然而BC對系統動態模型精確度要求較高,外部擾動、突加負載等不確定性因素會影響磁懸浮系統性能。為解決上述問題,通常采取復合控制方法。文獻[6]針對磁懸浮系統提出了一種自適應反步控制(ABC)方法,提高系統的位置跟蹤性能。文獻[7]結合ABC和滑模控制(SMC)的優點,設計出一種自適應反步滑模(ABSMC)控制算法,削弱不確定性擾動對系統的影響,提高磁懸浮系統的抗干擾能力。文獻[8]針對磁懸浮系統的位置跟蹤問題,提出了一種基于遞歸神經網絡的自適應反步控制策略,進一步提高系統控制精度和響應速度。文獻[9]采用區間二型模糊神經網絡,對ABC中的不確定性擾動進行補償,保證系統的穩定性和快速動態響應。

然而在實際應用中,傳統的整數階反步控制器難以實現磁懸浮系統的最佳控制性能[10]。分數階(FO)理論是在整數階(IO)微積分的基礎上提出來的。與傳統的IO控制器相比,FO控制器給予系統更高的參數自由度,能夠有效改善系統的瞬態響應和穩態響應。文獻[11]采用分數階PID對磁懸浮裝置中的懸浮對象進行控制,實現系統的快速動態響應。文獻[12]構造了一種新型FO積分滑模面,設計分數階滑模控制器(FOSMC),進一步改善了系統的控制性能。文獻[13]將分數階反步控制器(FOBC)應用于非線性系統中,并通過仿真驗證了控制器的有效性。隨著FOBC理論的不斷發展,該控制方法迅速應用于直線同步電動機等交流伺服系統中[14]。

基于此,本文設計了一種分數階反步控制器。對MLLSM懸浮系統進行輸入輸出反饋線性化處理,在傳統BC的基礎上引入FO理論,構造分數階虛擬穩定函數。設計FOBC控制MLLSM懸浮系統。證明系統穩定性,并對其進行仿真研究。

1 MLLSM的運行機理

MLLSM磁懸浮平臺的具體結構如圖1所示。定子鐵心和勵磁繞組安裝在基座上。為實現運動平臺的穩定懸浮,需要懸浮力與平臺自身重力相互平衡。通入直流電產生恒定的勵磁磁場與定子鐵心相作用,得到垂直向上的懸浮力。氣隙高度可以通過改變勵磁電流大小進行調節。

圖1 MLLSM磁懸浮平臺結構圖

動子鐵心和電樞繞組安裝在運動平臺上。為實現運動平臺的直線進給,需要水平推力推動平臺運行。通入三相交流電形成的行波磁場與勵磁磁場相作用,得到水平推力。水平推力可以通過改變交軸電樞電流大小進行調節。

2 MLLSM的數學模型

MLLSM在d-q軸下的電壓方程和磁鏈方程推導如下[15]。

電壓方程表示如下:

(1)

式中:ud、uq分別為d、q軸的電壓分量;uf為勵磁電壓;id、iq分別為d、q軸的電流分量;if為勵磁電流;ψd、ψq分別為d、q軸的磁鏈;ψf為勵磁磁鏈分量;rs、rf分別為電樞繞組、勵磁繞組的電阻;v為進給速度;τ為極距。

磁鏈方程表示如下:

(2)

式中:Lmd、Lmq分別為d、q軸的主電感;Lσ、Lσf分別為電樞繞組、勵磁繞組的漏感。

采用id=0的矢量控制方式[16],可得懸浮力方程為

(3)

式(3)可改寫為

(4)

式中:K為磁懸浮系數,取K=5.569×10-6。

垂直方向的運動方程為

(5)

式中:m為運動平臺質量;f為不確定性擾動。

(6)

其中:

3 MLLSM懸浮系統分數階反步控制器的設計

3.1 MLLSM懸浮系統的反饋線性化

由式(6)可知,MLLSM懸浮系統并非嚴格反饋系統,具有較強的非線性。反饋線性化(FL)通過坐標變換與狀態反饋,可將非線性系統轉換為線性系統[17],是一種精確的線性化方法。為判斷MLLSM懸浮系統是否能進行FL處理,對式(6)進行Lie導數運算,得到以下結果:

(7)

由式(7)可知,系統的相對階數為3,與系統(6)的維數相等,因此可以對懸浮系統進行反饋線性化處理。

根據相對階的定義和反饋線性化理論,對輸出函數求取對應相對階的Lie導數,可得反饋律為

u=α(x)+β(x)u′

(8)

式中:u′為新的控制變量。

α(x)、β(x)分別為:

(9)

(10)

選取非線性坐標映射,則有

(11)

由上述推導可得狀態變量Z的線性系統方程為

(12)

式中:Fd為未知非線性函數。假設Fd為連續有界函數并滿足|Fd|≤ρ,其中ρ為正常數。

利用式(11)的非線性坐標映射關系,可在系統(12)上設計控制器,進而實現非線性系統的控制。

3.2 分數階反步控制器的設計

傳統的反步控制雖然可以實現系統的位置跟蹤,但在實際應用中卻難以實現系統的最佳性能。因此提出分數階反步控制方法,將分數階理論應用于傳統的反步控制當中。構造分數階虛擬穩定函數,擴大控制器參數的整定范圍,改善MLLSM懸浮系統的瞬態響應和穩態響應。

(13)

式中:t0是初始條件;λ為階次[18]。

第一步:定義位置的跟蹤誤差e1。

e1=z1d-z1

(14)

式中:z1為實際氣隙高度;z1d為參考氣隙高度。

對式(14)求導:

(15)

構造分數階虛擬穩定函數α:

(16)

式中:a為分數階微分階數;b為分數階積分階數;k1,c1,c2為非零正數。

(17)

第二步:定義虛擬跟蹤誤差e2。

e2=α-z2

(18)

對式(18)求導得:

(19)

構造虛擬穩定函數β:

c1D1+ae1+c2D1-be1

(20)

式中:k2為非零正數。

e1(c1Dae1+c2D-be1)

(21)

第三步:定義虛擬跟蹤誤差e3。

e3=β-z3

(22)

對式(22)求導得:

(23)

e1(c1Dae1+c2D-be1)

(24)

因此分數階反步控制律設計為

(25)

式中:sgn(·)為不連續的符號函數。

(26)

(27)

4 仿真分析

MLLSM控制系統的仿真框圖如圖2所示。所設計的FOBC對磁懸浮平臺氣隙高度進行控制。通過Matlab對所設計的分數階反步控制器進行仿真研究,并與常規反步控制器和PI控制器進行對比。圖2中,MLLSM的主要參數為Ld=Lq=0.018 74 H,Lmd=0.095 H,極對數Pn=3,if=5 A,rs=1.2 Ω,m=10 kg,τ=0.048 m。

圖2 MLLSM懸浮控制系統結構圖

反步控制器和分數階反步控制器參數在選取時均經過多次仿真試湊調整,以保證懸浮系統達到最佳的穩態和動態性能。其參數設置為k1=320,k2=80,k3=55,c1=0.3,c2=0.2,a=0.4,b=0.3。

(1) 分析磁懸浮直線同步電動機啟動性能,設置參考氣隙高度為2.5 mm,響應曲線如圖3所示。

圖3 啟動時氣隙高度響應曲線

由圖3可知,采用PI控制的響應時間約0.12 s;采用BC控制的響應時間約0.07 s;采用FOBC控制的響應時間約0.05 s。三種控制方法均無超調。通過FOBC控制的懸浮系統空載啟動時,響應時間與BC和PI控制系統相比分別減少了28.57%和58.33%,啟動性能最優。

(2) 分析磁懸浮直線同步電動機的跟蹤性能。設置初始參考氣隙高度為2.5 mm,在0.3 s時加入幅值為0.1 mm的階躍信號并在0.6 s時移除,響應曲線如圖4所示。

圖4 氣隙高度響應曲線

由圖4可以看出,MLLSM懸浮系統氣隙高度參考值改變時,采用PI控制的響應時間約0.15 s;采用BC控制的響應時間約0.075 s;采用FOBC控制的響應時間約0.05 s,與BC和PI控制系統相比分別降低了33.34%和66.67%。三種控制方法均無超調。通過對比可知,采用FOBC控制的懸浮系統具有較強的跟蹤性能。

(3) 分析磁懸浮直線同步電動機在參數攝動下的控制性能。樣機參數攝動最大值為額定參數的12.5%,改變參數rf為已知攝動的最大值,氣隙高度響應曲線如圖5～7所示。

圖5 PI控制rf改變時氣隙高度響應曲線

由圖5、圖6可知,當MLLSM懸浮系統受到參數攝動影響時,采用PI控制的響應時間約0.20 s,較無參數攝動響應時間增加66.7%。采用BC控制的響應時間約0.09 s,較無參數攝動響應時間增加28.5%。由圖7可知,采用FOBC控制系統受到參數攝動影響時,響應時間沒有明顯變化。通過對比,采用FOBC控制的懸浮系統可以有效削弱參數攝動對系統的影響。

圖6 BC控制rf改變時氣隙高度響應曲線

圖7 FOBC控制rf改變時氣隙高度響應曲線

(4) 分析磁懸浮直線同步電動機突加負載擾動的抗干擾性能。負載擾動由f=30 N的階躍信號模擬,在0.3 s時加入該信號并在0.6 s時移除。響應曲線如圖8和圖9所示。

圖8 突加階躍擾動時氣隙高度響應曲線

圖9 突加階躍擾動時勵磁電流響應曲線

由圖8可以看出,MLLSM懸浮系統受到突加負載擾動影響時,采用PI控制氣隙高度下降約為4.8×10-5m,恢復時間約0.16 s;采用BC控制氣隙高度下降約2.05×10-5m,恢復時間約0.11 s;采用FOBC控制氣隙高度下降約1.1×10-5m,恢復時間約0.04 s。由數據可知,采用PI控制系統氣隙動態降落最大,恢復時間最為緩慢。BC略強于PI控制系統,但抗干擾性能難以滿足實際需求。通過FOBC控制的懸浮系統受到突加擾動時所受的影響最小,氣隙動態降落與BC和PI控制系統相比分別降低46.34%和77.08%,恢復時間分別減少63.64%和75%。

由圖9可以看出,采用PI控制電流幅值約為8.17 A,恢復時間約0.18 s;采用BC控制電流幅值約8.20 A,恢復時間約0.14 s;采用FOBC控制電流幅值約8.40 A,恢復時間約0.045 s。通過FOBC控制的懸浮系統突加擾動時電流超調量較高,恢復時間與BC和PI控制系統相比分別降低67.86%和75%,具有良好的抗干擾性能。

(5) 分析磁懸浮直線同步電動機端部效應的抑制能力。系統的端部效應通過在0.3 s時加入正弦函數f=15sin(20t) N的階躍信號進行模擬,響應曲線如圖10所示。

圖10 突加正弦擾動時氣隙高度響應曲線

由圖10可以看出,加入端部效應擾動后采用PI控制氣隙高度波動較大,波動幅值約1.9×10-5m;采用BC控制氣隙高度波動幅值約8×10-6m,較PI控制下降57.89%,具有一定的端部效應抑制能力。采用FOBC控制氣隙高度波動不明顯。對比可知,通過FOBC控制的懸浮系統能夠有效削弱控制器輸出的抖振,對端部效應有明顯的抑制效果。

5 結 語

針對磁懸浮直線同步電動機懸浮系統,提出一種分數階反步控制方法,得到如下結論:

(1) 研究MLLSM懸浮系統的運行機理。采用id=0的矢量控制方式,建立MLLSM懸浮系統的數學模型,推導出其狀態空間方程;通過輸入輸出反饋線性化,將MLLSM懸浮系統轉換為線性系統。

(2) 提出分數階反步控制方法。構造分數階虛擬穩定函數,將微分階次項和積分階次項引入到虛擬穩定函數當中;設計分數階反步控制器,擴大控制器參數的整定范圍,有效提高懸浮系統的瞬態響應和穩態響應;構造Lyapunov函數,證明了系統穩定性。

(3) 通過Matlab對懸浮控制系統進行仿真研究。將分數階反步控制器與常規反步控制器和PI控制器進行對比,仿真驗證FOBC能夠提高懸浮系統響應速度,有效抑制不確定性擾動對懸浮系統的影響。