壓電圓盤的軸對(duì)稱振動(dòng)：改進(jìn)的雙勒讓德多項(xiàng)式方法

周紅梅,韓康樂,禹建功,張會(huì)端,王現(xiàn)輝,張小明

(河南理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,河南 焦作 454000)

壓電陶瓷是一種重要的功能材料,具有優(yōu)良的壓電、介電和光電特性,廣泛用作傳感器和執(zhí)行器部件,應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的形狀控制、振動(dòng)和噪聲主動(dòng)控制以及結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測等諸多領(lǐng)域。作為具有壓電效應(yīng)的橫觀各向同性材料,其自由振動(dòng)問題受到了國內(nèi)外學(xué)者們的廣泛關(guān)注。該類問題歸結(jié)為特征值求解問題,目前應(yīng)用于壓電材料自由振動(dòng)的方法包括解析法[1-9]、半解析法[10]、有限元法[11-14]、數(shù)值分析法[15]、無網(wǎng)格法[16]等。其中解析法利用三維彈性理論和壓電理論,一維剪切變形理論、彈性薄板理論等,將位移和電勢擴(kuò)展成無窮級(jí)數(shù)的形式,代入求解特征值問題來獲得振動(dòng)頻率及諧響應(yīng)。Kim等[3]利用圓柱膜理論推導(dǎo)出二維控制方程,應(yīng)用力學(xué)和電學(xué)邊界條件,得到了壓電開殼換能器諧振頻率的特征方程,計(jì)算了基頻和機(jī)電耦合系數(shù)。Li等用廣義超幾何函數(shù)代替橫觀各向同性壓電陶瓷軸對(duì)稱電場的精確解,分析了安裝在金屬軸上的徑向極化圓柱形壓電驅(qū)動(dòng)器的軸對(duì)稱振動(dòng)特性。Razavi等利用一致耦合應(yīng)力理論和圓柱殼模型,建立了功能梯度壓電材料納米圓柱殼的機(jī)電振動(dòng)控制方程,研究了特殊模型在不同邊界條件下的自由振動(dòng)。林書玉[17]對(duì)壓電陶瓷圓環(huán)徑向振動(dòng)進(jìn)行了研究,由機(jī)電等效電路,推導(dǎo)出了壓電陶瓷圓環(huán)振子的共振和反共振頻率方程。

勒讓德多項(xiàng)式方法最早由Lefebvre等[18]應(yīng)用到導(dǎo)波傳播求解,該法通過將邊界條件導(dǎo)入到傳播控制方程,將微分方程轉(zhuǎn)化為特征值來求解問題。之后,Elmaimouni等[19]提出了一種無限長均勻各向異性彈性材料圓柱桿中導(dǎo)波傳播的多項(xiàng)式方法,計(jì)算了其歸一化頻率。Raherison等[20]將勒讓德多項(xiàng)式方法擴(kuò)展到體波諧振器的建模方面,得到了Al/ZnO/Al夾心板體波諧振器的諧振頻率和反諧振頻率。Elmaimouni等[21]將映射正交函數(shù)法推廣到考慮電源的三維聲波問題中,得到了一維解析模型下特定幾何形狀的歸一化頻率和電輸入導(dǎo)納。

由于雙勒讓德多項(xiàng)式法可以通過添加矩形窗函數(shù)將壓電材料兩個(gè)方向上的邊界條件加入其振動(dòng)控制方程,現(xiàn)將其引入到壓電圓盤的振動(dòng)特性研究,但傳統(tǒng)計(jì)算方法因求解過程的積分函數(shù)引入了雙勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)、矩形窗函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),處理數(shù)值積分需要大量的運(yùn)算時(shí)間,尤其高階數(shù)值積分計(jì)算相當(dāng)費(fèi)時(shí),而低階時(shí)諧振頻率值收斂性較差,因此限制了雙勒讓德多項(xiàng)式法在壓電材料振動(dòng)控制方程求解中的應(yīng)用。為了解決計(jì)算緩慢這一問題,本文對(duì)雙勒讓德多項(xiàng)式的傳統(tǒng)求解方法進(jìn)行改進(jìn),引入解析積分過程,用解析積分代替?zhèn)鹘y(tǒng)數(shù)值積分的方法,使得程序計(jì)算時(shí)間大大縮短。

1 振動(dòng)控制方程及求解

極化后的壓電陶瓷是橫觀各向同性材料,一般規(guī)定極化方向?yàn)閆軸方向。若在垂直于Z軸方向壓電圓盤的上下表面加上金屬電極,可近似認(rèn)為只存在軸向電場Ez(忽略電極的邊界效應(yīng)),因加上的電極很薄,其質(zhì)量和剛度也可以忽略不計(jì)。由于壓電圓盤的幾何結(jié)構(gòu)、外加電場和約束條件都是軸對(duì)稱的,故壓電圓盤作軸對(duì)稱振動(dòng)。基于三維線彈性理論,假設(shè)壓電材料上下表面和側(cè)面應(yīng)力自由機(jī)械邊界條件,側(cè)面電開路、上下面電短路電邊界條件。考慮材料結(jié)構(gòu)為圓盤,故采用柱坐標(biāo)系(r,θ,z),壓電圓盤的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示,其中V0jωt為壓電圓盤外加電源。

圖1 壓電圓盤

壓電材料的本構(gòu)和壓電方程為

(1)

式中：i,j,k,l=1,2,3;σij,εkl,EkDi分別是應(yīng)力、應(yīng)變、電場強(qiáng)度和電位移;Cijkl,ekij和δik分別為彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)。

式(1)在柱坐標(biāo)系中展開分別為式(2)和式(3)

(2)

(3)

其中電場強(qiáng)度用式(4)表示

(4)

式中,φ為電勢。

式(2)、式(3)中的應(yīng)變滿足下列幾何方程

(5)

式中,u,v,w分別為r,θ,z方向的位移。

基于三維線彈性理論,假設(shè)在柱坐標(biāo)系下的邊界條件

考慮到邊界條件的處理問題,引入兩個(gè)方向(r和z)的矩形窗函數(shù)

將式(4)和式(5)代入式(2)和式(3)并添加上述矩形窗函數(shù),分別得到式(6)和式(7)

(6)

(7)

不考慮體力和體電荷,壓電圓盤的振動(dòng)控制方程為

(8)

壓電圓盤作軸對(duì)稱振動(dòng),所以振動(dòng)與方位角θ無關(guān)(?/?θ=0,v=0),式(5)、式(6)對(duì)應(yīng)項(xiàng)為0,式(8)中第二項(xiàng)都為0。將式(6)和(7)代入式(8)得到

(9)

(10)

(11)

式中,u(r,z),w(r,z),φ(r,z)分別為徑向位移、軸向位移和電勢,其解的形式可以用多項(xiàng)式表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中,Pm和Pn分別為第m階和n階勒讓德多項(xiàng)式。理論上m和n從0變化到∞,而實(shí)際上對(duì)于求和多項(xiàng)式(12)～式(14),當(dāng)m和n取到有限值m=M和n=N時(shí),更高階的項(xiàng)可以認(rèn)為是高階小量,忽略不計(jì)。

將式(12)～式(14)和式(15)、式(16)代入式(9)～式(11),利用不同次數(shù)的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間[-1,1]上正交的特性,用Qi(r)Qj(z)e-jωt乘各式的兩邊,i從0變化到M,j從0變化到N,再將各式對(duì)z從-1到1、r從-1到1積分,利用其正交特性,式(9)～式(11)可轉(zhuǎn)換為下列形式

(17)

為了便于計(jì)算,取

(18)

與此同時(shí),求出式(17)中的rm,2n+1并代入式(18),可以得到

[ABC+Ω2MM]pm,n=CfV0

(19)

式中：ABC=AB-CC(C3)-1AB3;Cf=CC(C3)-1·f3-f1,2。

由壓電材料的諧響應(yīng)特性可知,諧振頻率點(diǎn)處的阻抗很小,即此時(shí)模型電極間的電勢很小,近似為零。將V0=0代入式(19),即可得到求解諧振頻率的特征方程

(MM)-1ABCpm,n=-Ω2pm,n

(20)

利用特征矩陣求特征值,可得歸一化頻率Ω。

計(jì)算過程中引入解析積分法,使得程序計(jì)算時(shí)間大大縮減。解析積分法轉(zhuǎn)換前公式為

(21)

轉(zhuǎn)換后為

(1) 當(dāng)a+m≥n和a+m-n=偶數(shù)

當(dāng)a,m,n取其他值時(shí),I1=0。

(2) 當(dāng)a+m-1≥n和a+m-n-1=偶數(shù)

當(dāng)a,m,n取其他值時(shí),I2=0。

(3) 當(dāng)a+m-2≥n和a+m-n-2=偶數(shù)

當(dāng)a,m,n取其他值時(shí),I3=0。

(22)

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性和高效性,本章給出了兩種材料壓電圓盤的自由振動(dòng)分析算例。其中材料參數(shù)如表1所示。本文程序用MATLAB 2018b編制,運(yùn)行電腦配置 CPU為Inter core I7-4790,3.6 GHz,內(nèi)存為16 G。

表1 材料參數(shù)

2.1 算例1

首先以PZT4壓電圓盤(R=12.4 mm,H=2.05 mm)為例,將本文解析法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比對(duì),并與已有文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比,如表2所示。

表2 解析法與傳統(tǒng)方法結(jié)果對(duì)比

從表2可以看出隨著雙勒讓德多項(xiàng)式階數(shù)(M,N取值)的增大,壓電圓盤的諧振頻率低階快速收斂,高階相對(duì)收斂較慢,相同階數(shù)傳統(tǒng)求解時(shí)間比解析法求解時(shí)間多數(shù)百倍,傳統(tǒng)法隨著階數(shù)增大,耗費(fèi)CPU時(shí)間劇增以致7階以上無法求解。通過與文獻(xiàn)結(jié)果比對(duì)發(fā)現(xiàn)M=N=15時(shí)前3階的誤差均在0.5%以下。

為了分析壓電圓盤固有頻率與徑厚比的關(guān)系,PZT4壓電圓盤厚度H=2 mm,改變圓盤直徑,圖2給出了不同徑厚比對(duì)應(yīng)的圓盤固有頻率半徑積。圖2給出了前3階模態(tài)關(guān)系曲線,從圖2可以看出隨著徑厚比增大到5之后頻率半徑積趨于穩(wěn)定,而且低階更快達(dá)到穩(wěn)定。圖2中小圖是[1,4]區(qū)間細(xì)化后的圖,明顯3階頻率半徑積都是先增大再減小到固定的穩(wěn)定值。

圖2 PZT4壓電圓盤頻率半徑積隨徑厚比關(guān)系

以徑厚比R/H=10,H=2 mm為例,其徑向u和軸向w位移如圖3和圖4所示,從圖3、圖4得出u向關(guān)于厚度中面對(duì)稱分布,半徑大小對(duì)前3階位移影響較小。w向位移對(duì)于H中面呈反對(duì)稱分布,同樣半徑大小對(duì)低階影響較小。

圖3 PZT4壓電圓盤u向位移

為了分析壓電圓盤固有頻率與厚度變化關(guān)系,PZT4壓電盤R=50 mm,改變其厚度H,圖5顯示不同厚度圓盤固有頻率前3階數(shù)值。從圖5可明顯看出厚度在[2,10]內(nèi)也就是徑厚比在[5,25],固有頻率隨厚度變化較小。圖2～圖5所用雙勒讓德階次M=N=15。

圖5 PZT4壓電圓盤頻率隨厚度變化關(guān)系

2.2 算例2

材料為PZT5A,R=20.05 mm,H=2.03 mm,得到其諧振頻率如表3所示,其中理論計(jì)算是通過電輸入導(dǎo)納計(jì)算獲得。

表3 PZT5A壓電圓盤諧振頻率(R/H=10,M=N=15)

對(duì)于薄圓片的徑向振動(dòng)模式可以通過式(23)計(jì)算電輸入導(dǎo)納,結(jié)果見圖4。

(23)

從表3可以看出諧振頻率前兩階與文獻(xiàn)[22]相比誤差較小,在0.5%以內(nèi)。高階時(shí)誤差逐步增大。通過引入電輸入導(dǎo)納理論計(jì)算獲得數(shù)據(jù)與本文方法高度吻合,5階的誤差僅為0.54%,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

3 結(jié) 論

本文應(yīng)用三維壓電彈性理論,結(jié)合力電耦合的本構(gòu)方程、幾何方程和振動(dòng)控制方程,把位移和電勢分別擴(kuò)展成相乘的包含待定系數(shù)的雙勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù),然后利用多項(xiàng)式的正交性分別與不同階的正交多項(xiàng)式相乘,并在R和Z方向進(jìn)行積分,得到關(guān)于頻率的特征方程,其特征值為壓電陶瓷振動(dòng)的諧振頻率,特征向量為勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)的待定系數(shù),可轉(zhuǎn)化為壓電陶瓷的諧響應(yīng)。

多項(xiàng)式級(jí)數(shù)法的邊界條件處理是將應(yīng)力和電位移乘上限定邊界的矩形窗函數(shù),把邊界條件直接添加到振動(dòng)控制方程中,在后續(xù)積分中消去矩形窗函數(shù)。但是求解過程因?yàn)榉e分函數(shù)引入了勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)、矩形窗函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),處理數(shù)值積分需要大量的運(yùn)算時(shí)間。為了解決這一問題,本文引入解析積分法,導(dǎo)出了用解析積分代替數(shù)值積分的轉(zhuǎn)換公式,使得程序計(jì)算時(shí)間大大縮短。將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)及理論結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,充分說明了方法的準(zhǔn)確性與高效性。

勒讓德多項(xiàng)式方法可以直接把變系數(shù)的彈性常數(shù)引入本構(gòu)方程[23]。因此,本文所提出的改進(jìn)方法在求解功能梯度結(jié)構(gòu)、黏彈性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題時(shí)也將有較大優(yōu)勢。