地震作用對中速磁浮列車-軌道-橋梁系統耦合振動的影響研究

唐昊天，黃鳳華，滕念管

(1.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240；2.南京工業大學 土木工程學院，江蘇 南京 211816)

磁浮交通因具有噪聲低、污染小、線路適應性強以及維護成本低等顯著優點，越來越受到人們的歡迎。隨著磁浮交通的快速發展，磁浮線路的不斷擴展，地震發生時橋上行駛列車的可能性越來越高，地震作用對軌道-橋梁結構和磁浮列車安全性都構成了嚴重威脅。近年來，眾多學者針對磁浮車軌耦合振動開展了大量研究，但關于磁浮交通系統地震響應的研究較少。ZHANG 等[1-2]建立了高速磁浮車橋系統耦合振動分析模型，對系統的動力響應進行了數值模擬。李小珍等[3-5]考慮PID 主動懸浮控制建立了中低速磁浮車橋系統耦合振動數值模型，研究了中低速磁浮系統的動力相互作用特性。LI 等[6-8]基于現場動載試驗，對中低速磁浮車輛和橋梁系統的動力相互作用機理進行了分析。對于車橋系統的地震響應，眾多學者對輪軌交通系統的地震響應特征進行了研究。XIA等[9]采用相對運動法研究了非一致地震激勵對車輛和橋梁動力響應的影響。雷虎軍等[10-11]分別采用相對運動法和直接求解法計算了車橋系統的地震響應，分析了地震輸入方法對系統響應的影響。ZHANG 等[12]基于虛擬激勵法和精細積分技術研究了橫向水平地震作用下車橋系統的非平穩隨機動力響應。不同于輪軌交通，磁浮系統利用非接觸的電磁力實現列車的懸浮和導向，在求解地震響應時，需要考慮懸浮系統的主動控制，黃鳳華等[13-14]分別采用相對運動法和直接求解法建立了中低速磁浮列車-橋梁系統地震響應分析模型，分析了擬靜力分量對地震響應特性的影響，計算了時速60～120 km 車輛和橋梁的地震響應，但是沒有考慮軌排結構，而軌排結構對磁軌相互作用有重要的影響，不可忽視。為了探討中速磁浮(設計時速160～250 km)列車-軌道-橋梁系統的地震響應特性，分析地震作用對系統耦合振動的影響，本文基于PID主動懸浮控制，采用直接求解法，在絕對坐標系下建立了考慮軌排結構的中速磁浮列車-軌道-橋梁系統地震響應分析數值模型，計算了只考慮車輛作用、只考慮地震作用以及同時考慮車輛和地震作用3種工況下系統的動力響應，并通過參數分析研究了車速對系統地震響應的影響。

1 數值計算模型

1.1 磁浮車輛模型

磁浮車輛主要由車體、懸浮架、二系懸掛和電磁鐵等組成，每節車體通過二系懸掛與5對懸浮架連接，每對懸浮架包括左右2套懸浮架，由防側滾梁連接，使得兩側懸浮架運動解耦，電磁鐵固定在懸浮架的底部。車體和懸浮架視為剛體，不考慮其縱向運動。車體考慮沉浮、橫移、點頭、搖頭和側滾5個自由度，分別用yc，zc，αc，βc和γc表示；懸浮架考慮到防側滾梁的作用僅考慮沉浮、橫移、點頭和搖頭4 個自由度，分別用yb，zb，αb和βb表示。單節車輛共計45 個自由度，車輛模型如圖1所示。

作用在車體和懸浮架上的荷載分布如圖2 所示，圖中：Fbjyi(j=1～5,i=1～4)和Fbjzi(j=1～5,i=1～4)分別表示第j個懸浮架第i個豎向和橫向懸掛力；fmjzi(j=1～5,i=1～8)和f'mjyi(j=1～5,i=1～8)分別表示第j個懸浮架第i個電磁鐵的導向力和平衡車輛重力后的調整懸浮力。根據D’Alembert 原理，建立車輛系統運動方程：

圖2 車輛受力示意圖Fig.2 Force diagram of vehicle

式中：Mv，Cv和Kv分別為車輛系統運動方程的質量、阻尼和剛度矩陣；，和Xv分別為車輛系統的加速度、速度和位移列向量；Fv為作用于車輛系統的懸浮力和導向力列向量。

1.2 軌道-橋梁模型

基于有限元法建立簡支軌道-橋梁模型，如圖3 所示。采用空間梁單元模擬F 軌、橋梁和橋墩，彈簧單元模擬軌枕扣件和支座，地震波施加于橋墩底部。將軌道-橋梁結構自由度分別按支撐節點和非支撐節點分塊，則在絕對坐標系下，結構的運動方程為

圖3 軌道-橋梁模型Fig.3 Model of track-bridge structure

式中：M，C和K分別為質量、阻尼、剛度矩陣；u，和分別為絕對位移、速度、加速度列向量；下標ss 和gg 分別為非支撐節點和支撐節點自由度項，下標sg 和gs 分別為非支撐節點和支撐節點之間的耦合自由度項；Fvr為車輛作用在軌道上的懸浮電磁力列向量，Fgg為支撐反力項。

將式(2)第1 行展開，并消去支撐反力項Fgg，得到

采用模態疊加法對運動方程解耦：

式中：?n為第n階模態；qn為第n階模態對應的廣義坐標。

將式(4)代入式(3)，得到軌道-橋梁系結構的運動方程：

式中：α和β為Rayleigh 阻尼系數；ωn為第n階圓頻率；ζn為第n階模態阻尼比。

采用直接求解法對上述運動方程求解，需要同時輸入地震波的位移、速度和加速度時程。

1.3 控制系統模型

磁浮車輛利用電磁鐵和F軌之間的電磁力實現懸浮和導向，電磁力包括懸浮力fmy和導向力fmz，計算表達式為[15]

式中：μ0為空氣磁導率；Am為磁極面積；h為懸浮間隙；c為導向間隙；Wm為磁極寬度；Nconst為恒定電流線圈數；Iconst為恒定電流；Nc為控制電流線圈數；ic為控制電流。

懸浮系統本身是開環不穩定系統[16]，必須引入懸浮控制器進行反饋控制以達到懸浮間隙在容許范圍內波動的要求，實現車輛的穩定懸浮?；诒壤?積分-微分(PID)控制器，進行反饋調節并輸出控制電壓，其數學表達式如下：

式中：KP，KI和KD分別為比例、積分和微分參數；k為控制時間；uc為控制電壓；Δh為懸浮間隙波動量；為懸浮間隙變化率。

1.4 數值求解流程

基于本文建立的車輛、軌道-橋梁和懸浮控制系統及其相互作用關系，采用Fortran 語言編制了相應的分析程序。其中，車輛系統的運動方程(1)和軌道-橋梁的運動方程(5)通過Runge-Kutta 法求解，車輛-軌道-橋梁系統在當前時刻的動力響應是通過在每個增量時間步進行迭代確定的，在迭代過程中，當前時刻的磁浮間隙狀態由上一時刻車輛和軌道的振動狀態確定。詳細計算流程如圖4所示。

圖4 數值計算流程Fig.4 Flowchart of numerical calculation program

2 程序驗證

2.1 計算參數

車輛選用長沙3節編組中低速磁浮列車，具體參數參照文獻[3]中磁浮車輛的參數，額定懸浮間隙設定為10 mm。軌道-橋梁結構參考現有磁浮軌道梁橋工程實例和中低速磁浮規范擬定，主要計算參數見表1。由于尚無成熟的磁浮線路不平順譜，采用文獻[17]推薦的軌道不平順譜。

表1 軌道-橋梁主要計算參數Table 1 Calculation parameters of track-bridge structure

以典型記錄EI Centro 地震波作為輸入激勵。由于地震響應分析需要同時輸入地震波加速度、速度和位移時程，而目前的地震記錄儀主要記錄的是地震加速度信號，因此先進行高通濾波以消除原始地震加速度信號中的漂移誤差，然后對修正后的加速度時程進行頻域積分以得到地震波速度和位移時程。處理后的地震波時程如圖5 所示，橫向和豎向地震峰值地面加速度分別設為0.10g和0.065g。對于地震作用下的列車-軌道-橋梁系統，地震的開始時刻是不確定的，計算時假定車輛在入橋前0.75 s 時地震荷載開始施加，此時當車輛以200 km/h行駛時，達到地震動峰值時刻在求解跨橋梁滿載時間區間內。

圖5 地震波時程曲線Fig.5 Time-history curve of seismic wave

2.2 模型驗證

為驗證所建立模型的正確性和程序計算的可靠性，分別從車軌耦合振動響應和地震響應2個方面對計算結果進行驗證：1) 只考慮車輛作用，將程序計算得到的橋梁跨中位移與文獻[3]中80 km/h速度下的現場實測結果進行對比；2) 同時考慮車輛和地震作用，將橋梁跨中位移和車體加速度與HUANG 等[14]針對中低速磁浮80 km/h 速度下車橋地震響應的仿真計算結果進行對比。從圖6(a)可以看出，在車輛荷載作用下，程序計算結果與實測值較為吻合，橋梁位移幅值接近，但位移波形有所差異，這是由于仿真計算中的軌道不平順與現場難以保持一致，且仿真計算時外界干擾因素較少。在車輛和地震共同作用下，程序計算的橋梁和車體動力響應與文獻[14]計算值在波形上基本重合，之間的微小差異是因為本文考慮了軌道結構的影響。

圖6 程序仿真結果驗證Fig.6 Validation of program simulated results

3 動力響應

為了研究地震作用對磁浮列車-軌道-橋梁系統動力響應的影響，分別考慮如下3種工況：車輛荷載和地震荷載同時作用、僅考慮車輛荷載以及僅考慮地震荷載，計算列車-軌道-橋梁系統的動力響應，前2種工況下車輛速度為200 km/h。

3.1 車輛動力響應分析

圖7 和圖8 給出了磁浮間隙和車體加速度時程曲線，可以看出，地震作用放大了電磁鐵的磁浮間隙和車體加速度響應，尤其是橫向上分別放大近9倍和18倍。豎向由于PID主動控制的作用，放大效果相對不明顯。3 種工況下系統的響應幅值對比如表2所示。

表2 3種工況下列車-軌道-橋梁系統響應幅值比較Table 2 Comparisons of maximum responses of vehicle-track-bridge system under three conditions

圖7 磁浮間隙時程曲線Fig.7 Time-history curves of magnetic gap

圖8 車體加速度時程曲線Fig.8 Time-history curves of vehicle acceleration

3.2 軌道-橋梁動力響應分析

對于軌道-橋梁結構，在車輛和地震共同作用下，跨中豎向位移遠大于僅考慮地震作用時，在僅考慮車輛作用下的位移曲線周圍波動，如圖9(a)和9(c)所示，說明車輛荷載是影響軌道-橋梁豎向位移的主要因素，但忽略地震作用仍會低估豎向位移近19%。而對于橫向響應，在車輛和地震共同作用下的跨中橫向位移遠大于僅考慮車輛作用時，時程曲線波形與僅考慮地震作用時相近，如圖9(b)和9(d)所示，說明地震是影響軌道-橋梁橫向位移的主要激勵。盡管如此，橫向位移在車輛和地震共同作用下的幅值也是僅考慮地震作用時近1.5 倍，位移響應幅值如表2 所示。因此，對于地震作用下的列車-軌道-橋梁耦合系統，忽略車輛或地震作用都會低估軌道-橋梁的位移響應。

圖9 軌道-橋梁跨中位移時程曲線Fig.9 Displacement time-history curves at mid-span of track-bridge structure

圖10進一步給出了軌道-橋梁結構的加速度頻譜圖。圖中，f1，f2和f3是由車輛行駛產生的特征頻率，通過fi=v/Li計算[18]，fi為車輛的特征頻率(Hz)，v為車輛行駛速度(m/s)，Li為車輛的特征長度(車體長度L1=15.75 m，懸浮架長度L2=3.15 m及電磁鐵長度L3=0.78 m)。從圖中可以看出，軌道-橋梁的振動主要由固有頻率、車輛特征頻率(f1=3.53 Hz，f2=17.64 Hz，f3=70.55 Hz)及其倍頻組成。當同時考慮車輛和地震作用時，軌道-橋梁豎向振動響應在低頻區域(0～10 Hz，主要為1 階固有頻率)遠大于僅考慮車輛作用時，與僅考慮地震作用時相近，在高頻區域(50～150 Hz，主要由車輛的特征頻率控制)與僅考慮車輛作用時接近；對于橫向振動，主要以橫向1 階固有頻率振動為主，在低頻區域同時考慮車輛和地震作用時的振動響應同樣遠大于僅考慮車輛作用時的響應，與僅考慮地震作用時相近。頻域響應分析表明，地震作用會顯著放大軌道-橋梁結構的1 階固有頻率振動響應，考慮是因為地震波頻率主要集中在低頻部分，與結構的1階固有頻率接近。

圖10 軌道-橋梁跨中加速度頻譜Fig.10 Acceleration spectrum at mid-span of track-bridge structure

3.3 不同速度下動力響應

為進一步揭示地震作用的影響，圖11 和圖12給出了車體加速度幅值和橋梁跨中位移幅值隨車速的變化規律?？梢钥闯?，同時考慮車輛和地震作用時車體加速度幅值在車速160～250 km/h 均遠大于僅考慮車輛作用時，尤其是橫向加速度幅值。另一方面，從圖中還可以發現，同時考慮車輛和地震作用時的車體加速度幅值隨車速提高并非單調變化，且與僅考慮車輛作用時的變化規律無明顯相關性。這是因為地震動開始時刻是一致的，但在不同車速下，車輛在軌道上的位置是不一致的，所以很難確定車體加速度響應在地震作用下的疊加效果是增強還是減弱?？紤]到車輛速度的復雜影響，建議在計算車體地震響應時，將地震動達到峰值的時刻與僅有車輛作用下的車體響應峰值時刻設為一致，以分析最不利條件下車體地震響應特性。

圖11 車體加速度幅值隨車速的變化Fig.11 Variation of vehicle acceleration amplitude with vehicle speed

圖12 橋梁跨中位移幅值隨車速的變化Fig.12 Variation of displacement amplitude at mid-span of bridge with vehicle speed

對于橋梁結構，同時考慮車輛和地震作用時的跨中位移隨車速變化規律與僅考慮車輛作用時沒有明顯相關性，這與車體加速度響應相似。此外，還發現跨中豎向位移隨車速提高非單調變化，而橫向位移隨車速提高呈現明顯的下降趨勢。這是因為橋梁豎向受到車輛荷載的影響較大，而車輛和地震2 種荷載的疊加效果增強與否是不確定的，橫向主要受地震荷載影響，隨著車速提高，車輛通過橋梁所需時間減少，地震荷載的作用時間也會隨之減少，橋梁滿載的時間區間可能會錯過地震動峰值運動。

4 結論

1) 地震作用對磁浮車輛-軌道-橋梁系統振動響應影響明顯，對系統橫向振動的影響遠大于對豎向振動的影響。

2) 針對文中的計算條件，軌道-橋梁結構跨中豎向位移受車輛作用影響較大，同時考慮車輛和地震作用下的跨中豎向位移時程曲線在僅考慮車輛作用下的位移曲線周圍波動，而跨中橫向位移主要受地震作用影響。

3) 軌道-橋梁結構的頻域響應與車輛荷載的特征頻率及結構固有頻率密切相關，考慮地震作用后，軌道-橋梁結構的1 階固有頻率振動響應會被顯著放大。

4) 當車輛以160～250 km/h 運行時，同時考慮車輛和地震作用下的車體加速度幅值和橋梁跨中位移幅值隨車速的變化規律與僅考慮車輛作用時沒有明顯相關性，隨著車速提高，車體加速度幅值與橋梁跨中豎向位移幅值并非單調變化，而橋梁跨中橫向位移幅值呈現下降趨勢。