兩種“合成法”求場強正誤的根源

陸小亮

江蘇省張家港高級中學，江蘇 張家港 215600

1 問題的提出

（2017 年全國III 卷第21 題選擇題，改編成了計算題）［1］一勻強電場的方向平行于xOy 平面，平面內a，b，c 三點的位置如圖1 所示，三點的電勢分別為10 V，17 V，26 V，求電場強度的大小。

圖1 電場中的三點

此類題目多次出現在高考試卷中，因此早已形成了解決這類題目的固定解題套路——等分找等勢點法：如圖2 所示，a 點電勢最低，c 點電勢最高，因此可以利用等分法在a，c 兩點的連線上找到與b 點等電勢的d 點，求出d 點坐標為（3.5 cm，6 cm）。連接b，d 兩點的直線就是一條等勢線，過c 點作等勢線的垂線就是一條電場線，垂足為f。根據幾何關系可算得c，f 兩點的距離Lcf= 3.6 cm，則電場強度的大小為

圖2 等分法作圖

等分找等勢點法的物理意義明顯，但計算中要使用更多的幾何操作過程，尤其是面對空間幾何關系復雜的問題時，這種方法的幾何操作和運算量很大。因此，近幾年在文獻［1-3］中另辟蹊徑出現了合成法。

1.1 第一種合成法：互相正交的兩個方向上的合成法

在c 點合成，如圖3 所示，c 點處沿ca 方向和沿cb 方向的分場強分別為

圖3 第一種合成法

則合場強大小為

（3）式與（1）式的結果相同。

但這種利用相互正交的兩個方向上的分場強的合成法，是否對任意的相互斜交的兩個方向上合成也成立呢？ 請看b 點（或a 點）的合成。

1.2 第二種合成法：互相斜交的兩個方向上的合成法

在b 點合成，如圖4 所示，根據幾何關系可知圖中θ=53°，b 點處沿ba 方向和沿cb 方向的分場強分別為

圖4 第二種合成法

所以，由余弦定理得，合場強大小為

顯然，（5）式的結果與（1）式的結果不同。

問題：b 點處的上述合成法得到的（5）式及其結果為何錯了呢？ c 點處合成的結果（3）式與等分找等勢點法的結果（1）式一致，是巧合還是必然呢？

2 勻強電場中一個通俗結論的理論分析和推導

電磁學理論中，靜電場的電場強度與電勢梯度的關系［4］：靜電場中某處的電場強度等于該處電勢梯度的負值，即若勻強電場在平面內時，此式可寫為

對此，可引導高中生做如下分析推導，并歸納總結出一個通俗的結論。

【問題驅動】 勻強電場中，沿與場強方向成θ角的直線上任意兩點間的電勢差與這兩點間距離的比值與場強的關系如何呢？

【分析推導】 場強為E 的勻強電場中，沿與場強方向成θ 角的直線上任取兩點A，B，如圖5所示。根據高中物理課本中電勢差與電場強度的關系“勻強電場中兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場方向的距離的乘積”，則有

【歸納總結】 由圖5 和（6）式，引導學生總結出一個通俗的結論：勻強電場中，把場強沿任意兩點間的連線和垂直于這個連線正交分解時，沿這條連線方向的分場強等于這兩點間的電勢差與這兩點間距離的比值，另一個分場強與這兩點間連線垂直。即兩個正交方向上的分場強為：Ex=，合場強為

3 兩種“合成法”求場強正誤的物理根源

根據上述通俗結論，（2）式確實是勻強電場的場強沿ca 方向和沿cb 方向正交分解后的兩個分場強，因此由（3）式合成得到正確的場強是必然的，而不是巧合。

根據上述通俗結論，把真實的合場強E真兩次獨立地正交分解，即第1 次沿ba 方向和垂直于ba 方向正交分解，所得的兩場強分量分別為和E1⊥，第2 次沿cb 方向和垂直于cb 方向正交分解，所得的兩場強分量分別為和E2⊥，如圖6 所示。顯然，圖4 中b 點合成時的（4）式，就是在圖6 的兩次獨立的正交分解中，各取一個分場強0.7 V/cm 和用這兩個不相關的分場強通過合成法（5）式去求合場強，則是“張冠李戴”，導致錯誤的結果也是必然的。

圖6 兩次正交分解

至此，搞清了“第二種合成法：互相斜交的兩個方向上的合成法——在b 點合成”錯誤的物理根源。之后的修正方案，只是一個數學處理和計算的過程，在此不再贅述。