雞兔同籠　同又不同

［摘? 要］ 文章主要研究“雞兔同籠”這個生活實際問題. “雞兔同籠”是學生在小學階段已經接觸過且用算術方法解決過的問題. 教學過程中，教師重在引導學生觀察、思考和發現一元一次方程方法與算術方法的聯系、二元一次方程組與一元一次方程的聯系，讓學生從中體會研究二元一次方程組的主要方法——消元，使學生經歷用二元一次方程組解決問題的完整過程. 通過對多種方法的比較和反思，學生發現了這些方法的共性，體會到了數學的邏輯美，認識到了“雞兔同籠”問題的本質.

［關鍵詞］ 雞兔同籠；二元一次方程組；統領課

“雞兔同籠”問題是中國古代著名趣題之一，學生在小學階段已經嘗試并使用多種算術方法來解決. 本節課是蘇科版初中數學七年級下冊第十章“二元一次方程組”的章節統領課，在此之前，學生已經具備一元一次方程的相關知識和經驗. 繼續依托“雞兔同籠”這個經典問題來引出二元一次方程組，能讓學生再次經歷嘗試、探索、比較等活動過程，從而比較全面地認識二元一次方程組的研究內容，起到“未見樹木，先見森林”的作用. 現將教學實踐與思考呈現出來，希望得到廣大同行的指導.

背景分析

1. 課標要求

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“方程與不等式”部分指出，應當讓學生經歷對現實問題中量的分析，借助用字母表達的未知數建立兩個量之間關系的過程，知道方程或不等式是現實問題中含有未知數的等量關系或不等關系的數學表達. 涉及本章內容的目標有：能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程，理解方程解的意義，經歷估計方程解的過程；能根據二元一次方程組的特征，選擇代入消元法或加減消元法解二元一次方程組.

2. 教材分析

蘇科版初中數學七年級下冊第十章“二元一次方程組”共包含5節內容，對于“10. 1 二元一次方程”和“10. 2 二元一次方程組”，學生要經歷從問題到方程和方程組的過程，理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念，認識到方程和方程組是刻畫現實世界數量關系的有效數學模型，體會它們與現實世界的密切聯系；對于“10. 3 解二元一次方程組”，學生要在嘗試、探索、比較等活動中發現解二元一次方程組的兩種基本方法——代入消元法和加減消元法，充分體會消元思想；對于“10. 4 三元一次方程組”，學生要掌握解三元一次方程組的方法，即消去三元一次方程組中的某個未知數，將解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組；對于“10. 5 用二元一次方程組解決問題”，學生要學會找出實際問題中的兩個相等關系，將實際問題轉化為求解二元一次方程組問題. 從一元到二元，我們建立了新的數學模型；從二元到一元，通過消元，我們把二元一次方程組轉化為了一元一次方程. 本節課是全章的統領課，利用“雞兔同籠”這個經典問題來引出全章內容，著眼點在于通過嘗試、探索、比較等活動來深度挖掘知識，讓學生體會要研究二元一次方程組的哪些內容. 本節課不求面面俱到，但求拋磚引玉，起到“未見樹木，先見森林”的作用.

3. 學情分析

“雞兔同籠”問題是中國古代著名的趣題之一. 它不僅趣味性強，而且可以用簡單計算、方程法等多種方法求解. 據不完全統計，該問題不同“稱謂”的解法有嘗試法、列表法、畫圖法、假設法、金雞獨立法、面積法、方程法等，達37種之多，但實際上，很多方法本質上是一樣的. 假設法是“雞兔同籠”類問題最常用的方法之一，但很多學生只是會用，或者硬記，只知其然，并不知其所以然. 但不能真正被理解的操作性知識，對后面的學習幾乎起不到作用，對思維能力的提升也沒有明顯的作用. 所以教學這節課時，筆者希望學生能從方程的角度進行觀察、分析、驗證，再回頭看假設法，看到多種方法的一致性，從而看到問題的本質，不為眾多方法所困.

教學目標與研究方法

1. 教學目標

（1）理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念.

（2）探索解二元一次方程和二元一次方程組的方法.

2. 研究方法：類比、轉化

二元一次方程是初中階段認識的第二種方程，本章結構與七年級上冊“一元一次方程”類似——從實際問題到數學問題，再從數學問題回到實際，所以可以采用類比的教學方式. 遇到實際問題時，先將其轉化為二元一次方程組，這是實際問題到數學問題的轉化；發現代入消元法和加減消元法這兩種基本方法，能把解二元一次方程組問題轉化為解一元一次方程問題，這是從二元到一元的轉化.

教學過程

復習回顧：我們是如何研究一元一次方程的？主要研究了哪些方面？（概念、解法和應用）

問題1 我國古代數學著作《孫子算經》中記載了一道數學名題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足. 問雞兔各幾何？”

學生在小學階段已經解決過“雞兔同籠”問題，于是他們很快便說出了求解的算術方法——假設法. 雖然很多學生會列式，但能講清楚個中緣由的只有很少一部分. 假設法的求解過程如下.

假設全是雞，則兔有=12（只）. 所以雞有35-12=23（只）.

假設全是兔，則雞有=23（只）. 所以兔有35-23=12（只）.

七年級時，學生學習了代數方法——用一元一次方程解決問題. 運用一元一次方程求解的過程如下.

設雞有x只，則兔有（35-x）只. 根據題意，得2x+4（35-x）=94，即2x+4×35-4x = 94，于是有4×35-2x = 94. 所以x =.

問題2 算術方法和代數方法這兩種方法之間有聯系嗎？

經過兩個式子的比較，學生驚喜地發現，代數方法中的式子其實正是算術方法中“假設全是兔”的式子. 35×4即為假設全是兔應有的腿的數量，但實際上只有94條腿，多出來的腿即為錯把雞當成兔的那部分的腿，于是計算兩者的差. 又每錯看一只就會多出2條腿，所以再除以2，就可以得到雞的數量. 原來運用一元一次方程求解和假設法的本質一樣！

問題3 你們還有別的方法嗎？是否可以把未知的兩個量都設出來？

詳細的求解過程如下.

設雞有x只，兔有y只. 根據題意，可得到兩個方程，即x+y=35，2x+4y=94.

追問1 所得的兩個方程含有幾個未知數？（2個）它們代表的意義相同嗎？（相同）

追問2 每個含未知數的項的次數是幾？（1）

追問3 它們是整式方程嗎？（是）

追問4 如果讓你給這兩個方程命名，你會怎樣命名？

結合學生的回答，師生共同總結出二元一次方程的定義：含有2個未知數，并且含有未知數的項的次數都為1的整式方程叫二元一次方程. 學生一開始沒加“整式方程”這個條件，后經筆者提醒加上了. 在本題中，兩個條件都要滿足，因此可以將兩個二元一次方程聯立起來，得到二元一次方程組x+y=35，

2x+4y=94.

追問5 請你們嘗試給二元一次方程組下定義.

把含有兩個未知數的一次方程聯立在一起，就組成一個二元一次方程組.

追問6 這兩種方程方法之間有聯系嗎？試著解解看.

仔細觀察，可以發現方程2x+4y=94與一元一次方程2x+4（35-x）=94類似，唯一不同的是y和（35-x）. 而由方程x+y=35可以得到y=35-x. 這就是說，想要解二元一次方程組，可以先將其中一個方程中的一個未知數用另一個未知數表示，然后代入另一個方程中，這樣就可以將二元一次方程組轉化為一元一次方程了. 因此，雖然這兩種方程未知數的個數不同，但本質是一樣的！（這就是代入消元法，但教師此時暫且不予命名）

問題4 認識了二元一次方程和二元一次方程組，下面我們來看看如何找到它們的解.

追問：你能寫出二元一次方程x+y=35的解嗎？

學生暢所欲言，說出了x=0，

y=35；x=1，

y=34；x=0.5，

y=34.5；x=0.01，

y=34.99…

此時有學生指出，這里的x和y分別是雞和兔的數量，應該是正整數，因此只有有限對正整數解. 于是學生列表如表1所示.

由表1可知，x每增加1，y減少1，但x與y的和始終是35，因此共有34對正整數解.

方程2x+4y=94呢？同樣可以直接列舉. 但有學生發現了公因數2，于是方程兩邊同時除以2，得到x+2y=47. 想要找到這個方程的正整數解，要先確定x還是先確定y呢？如果先確定x，則y不一定是整數，但反過來，如果y為整數，則x一定為整數. 因此，從y入手比較合理. y的最小取值為1，然后依次增加1，最大取值為23，所以共可以找到23對正整數解. 列表如表2所示.

總結：學生發現，一個二元一次方程的解有“無數對”，但如果加上一定的限制條件，如本題中的未知數為正整數，則解就可能變成“有限對”.

問題5 如何找到二元一次方程組的解呢？

前面提到，兩個方程中的未知數代表的意義相同，所以學生一致認為二元一次方程組的解就是兩個二元一次方程的公共解. 但從表格中看，公共解應該在省略號的部分，那該怎么辦呢？總不能把所有解都寫出來吧？

正當大家都一籌莫展的時候，有學生指出，我們就是要找表格中的某兩列，它們的x和y分別相同. 我們不妨先把x表示出來，第一個表格中的x=35-y，第二個表格中的x=47-2y，所以我們只需要解出35-y=47-2y這個方程，就可以找到y了. 此時全班響起雷鳴般的掌聲. 這名學生很了不起，他抓住字母代表的意義相同，想辦法把兩個二元方程轉化成一個一元方程.

此時，又有一名學生想到了，兩個表格中的x既要滿足x+2y=47，又要滿足x+y=35. x是相同的，那么2y就要比y多出47-35=12，即y =12，所以x=23. 全班再次響起雷鳴般的掌聲. 接著，筆者請一名學生點評一下剛才這名學生的回答，他由衷地表揚了這名學生，說他善于觀察和發現這兩個方程的特點，抓住相同點和不同點后很快便找到了公共解.

總結：今天有三名學生發現了解二元一次方程組的方法，即可以在其中一個方程中用一個未知數表示另一個未知數，再代入另一個方程，從而達到消元的目的；也可以將兩個方程中的同一個未知數用另一個未知數表示，這也能達到消元的目的；還可以利用方程中系數的特點，直接將兩個方程作減法，一下子得到其中一個未知數的值，其本質也是消元. （這就是加減消元法，但此處暫且不予命名）可見，在解方程組的過程中，一定要仔細觀察各方程的特點，這樣才能找到最好的解決方法.

問題6 為什么從兩個表格中尋找公共解，只有一對呢？會不會有遺漏？

這個問題可以用“追問2”中的答案來加以解釋：既然二元一次方程組都可以通過先表示后代入的方法轉化為一元一次方程，而一元一次方程只有一個解，所以二元一次方程組也自然只有一對解.

延伸問題 二元一次方程組會不會出現無數對解或無解的情形？什么情況下會出現無數對解或無解呢？

教學思考

1. “雞兔同籠”，不二選擇

學生對“雞兔同籠”問題有所認識，所以選擇這個問題作為引入，這符合學生的學習實際. 大多數課例選擇“雞兔同籠”問題是為了引出二元一次方程組的概念，很多教師教學時列出方程組之后就認為引入失去了價值，等到學完解二元一次方程組之后，再回過頭來解決“雞兔同籠”問題，這貌似達到了前后呼應的效果. 但為什么要等到學完解法后才回來解這個二元一次方程組呢？這樣能真正引發學生的認知沖突嗎？我們趁熱打鐵，抓住這個真實的探索機會，在學生最有解決熱情和強烈好奇心的時候解決豈不更加自然？

作為二元一次方程組的引入材料，“雞兔同籠”問題并不是最好的，因為學生會認為，算術方法和一元一次方程方法已經非常完美了，沒有必要再增加一種，學生也感受不到設兩個未知數的必要性. 究其原因，是雞和兔的頭都只有一個，所以很容易根據其中一個數量表示出另一個，設一個未知數就夠了. 更好的背景材料應該是兩個未知量的系數都不為1 ，這樣學生會覺得表示起來比較麻煩，還是設兩個未知數比較方便.

本節課之所以選擇“雞兔同籠”問題并將其進行到底，主要有三個原因：第一，它是歷史上的經典問題之一，承載著了解數學文化的作用，并且解決它的方法有很多種，如小學的算術方法、初中的方程方法，而方程方法既有七年級的一元一次方程方法，又可以引出新的方程組. 學生會發現，二元一次方程組是最為直接的一種方法. 為了銜接小學和中學，承上啟下，“雞兔同籠”問題是個很好的材料. 第二，可以起到統領全章的作用，本章主要研究二元一次方程組的概念、解法和應用. “雞兔同籠”問題學生已經很熟悉，既可以引出二元一次方程，又可以引出二元一次方程組，還可以進一步探討如何求解方程和方程組. 在探討的過程中，學生主要采用交集法，根據二元一次方程組的定義將解二元一次方程組轉化為解兩個二元一次方程，即用枚舉法分別找到兩個二元一次方程的正整數解. 另外，“雞兔同籠”問題是一個實際問題，學生能感受到方程組的實際應用. 第三，也是最重要的，在對三種方法的比較和對方程組解法的探究的過程中，代入消元法和加減消元法若隱若現，就差捅破那層窗戶紙了. 雖然這兩種解方程組的方法學生都能理解，也很快能學會，但真正能自己發現卻不是件簡單的事情. 通過這節統領課，學生有了消元的意識，經歷了消元的初步嘗試，也感受到了將未知問題轉化為已知問題的快樂，這為他們理解后面的課程起到了很好的鋪墊作用. 所以說，“雞兔同籠”，同又不同.

2. 一題多解，多解歸一

我們往往更關注幾何題的一題多解. 本節課就“雞兔同籠”問題探討了3種解法，前兩種解法（算術方法和一元一次方程方法）學生比較熟悉，得來不費吹灰之力，第三種解法，學生列出二元一次方程組也沒有什么挑戰. 那為什么要用這么多種方法呢？關鍵在于要找到三種解法之間的聯系. 假設全是兔的算式，實際上就是解一元一次方程時變形過程的最后一步，但必須借由這種形式才能發現. 這是算術方法與一元一次方程方法之間的聯系. 比較一元一次方程和二元一次方程組的形式，可以發現代入消元法能將二元方程轉化為一元方程. 所以，這幾種方法的本質是一樣的！

另外，本節課站在小學解法的基礎上，找到了二元一次方程組的代入消元法、加減消元法等方法. 通過觀察一元一次方程和二元一次方程組的形式，學生發現了代入消元法. 在運用交集法尋找方程組的解時，學生遇到了困難，但這是他們最直接的想法. 繼續觀察兩個方程的形式，結合二元一次方程組的解的“本質”，學生發現了加減消元法. 如此種種，學生達到了從小學到中學的自我超越！從中，學生既能感受到數學的邏輯巧妙，又能體會到這種神奇巧妙是自然、合理的.

其實，一題多解的重點不是為了多解，更重要的是多解歸一. 為什么既要“多解”又要“歸一”？因為“一”是簡易的，“一”是通用的，“一”是無所不在的. 這與波利亞的解題理論四步驟中的第四步“總結反思”是一致的，即要反思多種方法的共性，理解問題的本質. 接下來還要一以貫之，因為一以貫之才能形成習慣，才能讓它變成自己的思維方式. 當然，這個“一”是不斷融合更新、不斷變化完善的. 另外，本節課用“雞兔同籠”問題一以貫之，一線到底，不僅滲透了方程思想，在列表格求解二元一次方程時還滲透了“函數思想”——為了找全所有的解，學生不得不關注到x與y的變化，于是便有了根據一個未知數的值確定另一個未知數的值的“確定”意識.

小結

數學教學不僅是為了解決某個問題，更重要的是思考如何解決一類問題，甚至更大的一類問題. 波利亞主張選擇一個有意義且不太復雜的題目去幫助學生深入發掘題目的各個側面. 本節章節統領課，旨在把“雞兔同籠”問題變成一個數學問題，給出求解的一般方法——運算程序. 不僅如此，也引領學生看到“二元一次方程組”全章的整體結構，未見樹木，先見森林，為接下來的細節學習奠定基礎. 到了高中，學生還可以進一步從解析幾何、向量的角度去解讀……在這一過程中，學生會不斷感悟，理解抽象、推理、直觀的作用，得到新的數學模型，提升思維品質，擴大應用范圍，提升關鍵能力.

作者簡介：陳靜（1983—），碩士研究生，中學一級教師，獲南京市第二屆“鼓樓區優秀青年教師”和南京市第三屆“鼓樓區學科教學帶頭人”榮譽稱號.