算法視角下的微積分

焦華

（貴州商學院，貴州貴陽 550014)

微積分的英文名稱——calculus，來源于拉丁文中的“石子”“演算”詞語，換句話說,微積分的本質就是一種演算法則或計算方法。因此不要覺得微積分有多神秘，它就像大家熟知的加減乘除四則運算一樣，只是眾多計算方法中的一類算法而已。

從微積分字面釋義來看:微分——顧名思義就是事物微小的部分——事物似零非零的部分，這個似零非零的部分從哪里而來？它是從某個事物整體無限細分得來，這是化整為零的過程；而積分——它是積累、累積的部分，是無限求和的過程。和之前正好相反，它是求微小部分的和，也就是求似零非零部分的和，這是積零為整的過程。微元法是用定積分解決實際問題的基本思想、基本方法，其本質就是先化整為零，再微元替代，最后積零為整。

1 高級語言中的函數概念

圖1 函數調用返回的樹型模塊圖

函數是微積分的主要研究對象，函數的極限、函數的連續、函數的導數與微分、函數的積分是貫穿微積分始終的內容。函數是科學史上流行了200多年的一個基本概念，因此深刻地影響了其他學科……計算機過程化高級語言中的函數其實就是程序代碼中的子程序，更有甚者C 語言里的主程序也是函數(main()主函數），強大的高級語言的一個重要指標就是它擁有豐富的內部函數。圖1是C語言中的一個函數調用返回的樹型模塊圖[1]。

函數調用返回、參數傳遞、局部量與全程量、嵌套調用與遞歸調用等是很多高級語言的重點和難點[2]，教學過程中學生往往感到困惑和無所適從，但從微積分的角度看，也就是一個有限次的多重復合函數而已。

2 函數的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索

函數的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索，而編程計算函數增量很簡單。函數改變量（增量）的定義如下：設x0為函數y=f(x)定義域內一點，自變量x在x0處取得增量Δx，Δx=x-x0，x=x0+Δx 在定義域內，則f(x0+Δx)-f(x0)稱為在x0點的函數增量（或改變量），記為Δy。用示意圖表達如下[3]：

函數y=f(x),由自變量增量Δx產生函數增量Δy,

用函數圖形表示如下（含Δx > 0 和Δx < 0 兩種情形）：

圖2 函數（正）增量圖

圖3 函數（負）增量圖

下面將會看到微積分中的重要概念和內容和函數增量有關：

定義說明函數連續表達的是自變量的微小變化只會引起對應函數的微小變化。

2)函數導數的定義：

根據導數的定義，函數求導的算法步驟如下：

①計算函數的增量：Δy=f(x+ Δx) -f(x);

3)函數微分的定義：設函數y=f(x)在某個區間上有定義，x0和x0+ Δx在此區間內，若函數增量Δy=f(x0+ Δx) -f(x0)可表示為Δy=A· Δx+o(Δx)，這里A是和Δx無關的常數，則稱函數y=f(x)在x0點處可微，并稱A· Δx為函數y=f(x)在x0點相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即：dy=A· Δx。

將以上定義通俗化，如果在某點的函數增量Δy用自變量增量Δx 線性表示，誤差僅是Δx 一個高階無窮小，則稱函數f(x)在此點可微,微分dy即是函數增量Δy的線性主部。

重要定理：函數y=f(x)在x0點處可微的充要條件是它在x0點處可導，而且微分和導數關系是：dy=f′(x0)· Δx[3]。

4)導數在經濟學中的應用——邊際與彈性

邊際與彈性從語義上理解，只能是指定狀態下的微小改變。這里反映的是函數的絕對變化率和相對變化率（絕對導數與相對導數）。具體概念對比表述如下：

取Δx= 1，即自變量在x處改變一個單位時，若這個“單位”很小或相比x值很小時，則：

即Δf≈f’(x)，此式的意義是：當自變量在x 處改變一個單位時，函數f(x)的改變量可近似用f’(x)來表示，即改變了f’(x)個單位，此為邊際的經濟意義。

取Δx/x= 1%，即自變量在x處相對改變1%時，

上式的意義是：當自變量在x處相對改變1%時，函數f(x)的相對改變量大致為Ey/Ex%，此為彈性的經濟意義。

5)不僅微積分上述的基本概念和函數改變量有關，微積分中重要的定理、公式也和函數改變量有關。比如：拉格朗日中值定理：f(b) -f(a) =f′(ξ)(b-a)。

結論：函數的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索。這部分涉及的極限運算可用高級語言中的循環結構實現，由循環語句中的條件表達式控制精度。

3 定積分的近似計算

定積分是積分學中重要的內容，起源于生產實踐中面積和體積等的計算問題。回顧初等數學中面積計算的相關內容：（由）長方形面積的定義→（推出）平行四邊形面積公式（拼接法）→（推出）三角形面積公式（拼接法）→（推出）梯形面積公式（拼接法）→“窮竭法”“割圓術”得到圓面積公式。數學中的重要概念并非無中生有，而是從客觀世界的現實原型中抽象出來的，比如“曲邊梯形的面積問題”“變速直線運動的路程問題”都是定積分的現實原型，抽象得到的定積分定義后，數學家們辛勤探索得到定積分的性質、定理、公式等，理論完善后再應用現實原型中。整個過程中有抽象之美、演繹推理之美、空間想象之美、應用之美等。定積分在微積分中是需要花時間講清楚的概念，其嚴格定義簡述如下[4]：

其中f(x)稱為被積函數,f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量,[a,b]稱為積分區間。

由于對于任意的分法結果一樣，可等分區間得：

近似公式為：

解：注意到該實例屬于“積不出來”的積分，無法用牛頓—萊布尼茨公式得到結果，只能考慮利用計算機進行近似計算。將區間[0,1]進行十等分，設分點為xi(i= 0,1,...,10),設其相應的函數值為：yi=e-x2i(i=0,1,...,10),列出表格如表1[5]。

表1 等分點函數值表

根據左矩形公式，計算得：

根據右矩形公式，計算得：

根據梯形公式，計算得：

由梯形公式得到的結果實際是前面兩個值的平均值。

該實例算法的偽代碼表示如下[6]：

1)定義常量n=10，這里的n代表對區間n等分。

2) 定義有n+1 個分量的數組X，其分量為X[0],X[1],X[2]...X[n]。

定義有n+1個分量的數組Y，其分量為Y[0],Y[1],Y[2]...Y[n]。

利用y[i]=e-x2[i],i= 0,1,2...n對數組Y循環賦值。

4) 根據左矩形公式，通過循環實現累加求和得到S1；

根據右矩形公式，通過循環實現累加求和得到S2；

根據梯形公式，通過循環實現累加求和得到S3。

5)輸出S1，S2，S3。

綜上所述結論是：微積分就是一個大算法，是一系列演算法則的集合。