愛爾特希點集

郝明皓 整理

匈牙利數學家愛爾特希提出過這樣一個問題：在平面內有n（n≥3）個點，其中任意三個點都能構成等腰三角形，這樣的點集存在嗎？

當n=3 時，若這三個點是等腰三角形的三個頂點，那么符合要求，即n=3時，這樣的點集存在。

當n=4 時，有且僅有三種結構符合要求：①任意等腰三角形的三個頂點及它的外心（“外心”是指三角形三邊垂直平分線的交點）；②任意菱形（“菱形”是指四邊相等的四邊形）的四個頂點；③正五邊形（“正五邊形”是指五條邊相等、五個內角相等的五邊形）的任意四個頂點。

第①種結構如圖1 所示，在△ABC中，AB=AC，D為△ABC的外心。顯然DB=DA=DC。從A、B、C、D四點中任取三點構成的三角形均是等腰三角形。

圖1

第②種結構如圖2 所示，在菱形ABCD中，從A、B、C、D四點中任取三點構成的三角形均是等腰三角形。

圖2

第③種結構如圖3 所示，在正五邊形ABCDE的五個頂點中，任取其中四個頂點，無論取哪四個，它們相對的位置關系均一致，任取三個點構成的三角形均是等腰三角形。

圖3

當n=5 時，有且僅有兩種結構符合要求：任意正五邊形的五個頂點；任意正五邊形的四個頂點及其中心（“正多邊形的中心”是指其相鄰兩邊垂直平分線的交點）。同學們，你能畫出以上兩種結構并說明取其中任意三點都能構成等腰三角形嗎？當n=6 時，也可以找到滿足條件的結構。同學們，你能嘗試畫出來嗎？

當n≥7時，這樣的結構便不存在了。

為了紀念提出問題的愛爾特希，人們將具有這樣性質的n個點構成的點集稱為“愛爾特希點集”。