挖掘“軸對(duì)稱”本質(zhì)，建構(gòu)知識(shí)體系

文／江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué) 陳明子

在學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱圖形”的過程中，有一道題目的解法引起了我的興趣。

原題呈現(xiàn)如圖1，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°。求證：BC=DC。

圖1

圖2

這個(gè)題目是在學(xué)習(xí)了“角平分線的性質(zhì)”之后的練習(xí)中出現(xiàn)的，我想到利用“角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等”這一性質(zhì)添加輔助線，作CE⊥AB，CF⊥AD，得到CE=CF，進(jìn)而可證△CEB≌△CFD，所以BC=DC。

但是，在老師評(píng)講這道題目的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都和我的方法相同。因此，老師進(jìn)一步啟發(fā)我們，讓我們?cè)俅斡^察角的特征。我忽然想起來角也是軸對(duì)稱圖形，角的兩條邊關(guān)于角平分線對(duì)稱。我們過于關(guān)注“角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，反而忽視了角的一般性，從這個(gè)角度想，我的思路就開闊多了。

證法二：如圖3，在AB上取AG=AD，可證△ADC≌△AGC，得到CD=CG，再由角的關(guān)系得到CG=CB，所以BC=DC。

圖3

有了上述題目的啟發(fā)，我在看幾何圖形時(shí)，就不會(huì)局限于定理的應(yīng)用，而是會(huì)看到圖形的本質(zhì)。我們不妨一起來試一試。

變式在△ABC中，∠C=2∠B。

（1）如圖4，若AD平分∠BAC，求證：AB=AC+DC。

圖4

（2）如圖5，若AD是底邊上的高，求證：BC=AC+2DC。

圖5

（3）如圖6，若BC=2AC，求證：∠BAC=90°。

圖6

第（1）問中出現(xiàn)角平分線，如圖7，我們可以利用軸對(duì)稱性在AB上截取AE=AC，并連接DE（即作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)）或延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F，使得AF=AB，并連接DF（即作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)）。

圖7

第（2）問中出現(xiàn)了底邊上的高，如圖8，我們可以利用垂直平分線的性質(zhì)，在BC上截取DE=CD，并連接AE（即作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)）或延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得DF=BD，并連接AF（即作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)）。

圖8

第（3）問中出現(xiàn)了BC=2AC，要證明∠BAC=90°，即要證明∠B=30°，因此要采取的方法是利用等腰三角形的軸對(duì)稱性進(jìn)行等角的轉(zhuǎn)換。如圖9，作射線AD交BC于點(diǎn)D，使得∠BAD=∠B。

圖9

通過對(duì)一道題的深入研究，我們才能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從而解鎖這一類題。在以后的學(xué)習(xí)中，我還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的軸對(duì)稱圖形，想到這兒，我越發(fā)興奮，我要把我的“軸對(duì)稱”體系不斷地?cái)U(kuò)大！

教師點(diǎn)評(píng)：

軸對(duì)稱變換是非常重要的一種幾何變換，正如文中所提到的，很多同學(xué)往往只關(guān)注定理的應(yīng)用，而忽略了“軸對(duì)稱”的本質(zhì)。小作者借助一個(gè)題目，抓住“軸對(duì)稱”的本質(zhì)進(jìn)行深入研究，觸類旁通，收獲一類題，并體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)之美！