基于無量綱法兩種一維溶質運移解的比較

李 堯,付營帥

(西南交通大學土木工程學院, 四川成都 610000)

0 引言

改革開放以來我國經濟發展取得了顯著成就的同時也產生了許多嚴重的環境問題,尤其是土壤與地下水污染問題,已經嚴重危害到人類健康。土壤與地下水安全是人類賴以生存的保障和人類健康發展的前提。土壤及地下水是人類生產活動的重要物質基礎。由于城市生活垃圾和工業“三廢”的不合理處置,以及農藥、化肥的大量使用,導致區域土壤、地下水污染狀況日趨加重,對區域內居民飲水安全、糧食安全構成了嚴重威脅[1]。保護土壤和地下水資源是我國的重要任務,對我國的可持續發展戰略起著至關重要的作用。隨著環境污染問題日益嚴重,我國對環境污染的問題愈加重視,但目前缺乏對污染物在土壤和地下水中運移快速且有效的評估手段。

國內外許多學者研究污染物在土壤及地下水中運移數學模型,Ogata and Banks(1961)[2]基于土體為均質、各向同性且處于飽和狀態,不考慮化學吸附作用和其他反應影響等假設建立了污染物在半無限厚度土層中的一維對流-彌散方程。van Genuchten (1981)[3]假設含水層為半無限含水層,基于拉普拉斯變換推導了在第一類邊界條件(固定濃度邊界)和第三類邊界條件(可變通量邊界條件)下無降解的溶質運移解析解。Bear(1972)and van Genuchten and Alves (1982)推導了包含降解在內的一維溶質運移解析解。Rowe and Booker(1985)[4]提出了在有限厚度的黏土層中包含對流、擴散-彌散、化學吸附作用的污染物一維運移半解析解并考慮了地下水流速對濃度分布的影響。Yeh等(2007)[5]基于拉普拉斯變換提出了在第一類和第三類邊界條件下一維半無限介質中溶質運移方程解析解。王超等(1998)建立了水分和污染物之間耦合遷移理論模型,并通過有限差分法對污染物在非飽和分層土中遷移特性進行了研究。欒茂田等(2005)[6]對污染物頂部濃度采用了指數衰減關系,在有限厚度條件下進行了填埋場污染物運移過程數值模擬的一維計算。陳云敏等(2006)[7]和謝海建等(2008)[8]采用了分離變量法得出了成層土中污染物一維擴散解析解。

1 一維溶質運移解析解

溶質在多孔介質中運移主要受對流、分子擴散和機械彌散、吸附及分子降解等因素影響,其控制方程偏微分方程形式如式(1)所示。

(1)

式中:c為液相中溶質濃度;t為溶質運移時間;R為阻滯因子;Dij為水動力彌散系數,包括分子擴散系數與機械彌散系數;vi為實際水流速度;S表示包括生物降解和化學反應等一系列反應。

1.1 常濃度邊界條件下溶質運移一維解

一維溶質運移控制方程見式(2)～式(5)。

(2)

常濃度邊界條件:

C=C0,x=0

(3)

(4)

初始條件:

C=0,0

(5)

假設:

(1)流體密度、粘度為常數。

(2)溶質具有一階化學反應(對于保守溶質,λ=0)。

(3)流動只存在于x方向,并且速度為常數。

(4)縱向色散系數D為常數。

常濃度邊界下解析解見式(6):

(6)

1.2 可變通量邊界條件下污染物運移一維解

一維溶質運移控制方程見式(7)～式(10)。

(7)

可變通量邊界條件:

(8)

(9)

初始條件:

C=0,0

(10)

假設:

(1)流體密度、粘度為常數;

(2)溶質具有一階化學反應(對于保守溶質,λ=0);

(3)流動只存在于x方向,并且速度為常數;

(4)縱向色散系數D為常數。

可變通量邊界條件下解析解見式(11)。

(11)

2 無量綱分析

帶有量綱方程在不同單位制下會多出不同的常數,通過數學變換對溶質運移方程中的變量進行無量綱分析變為真正描述溶質運移規律的量,使得方程明晰易懂。同時,無量綱參數比較適用于不同解析解間的比較,因為與使用實際參數相比,使用無量綱參數可以覆蓋更廣的參數值。

2.1 第一類邊界條件

定義以下無量綱參數見式(12)。

(12)

式中:CR是相對濃度;tR是無量綱時間;Pe是貝克萊數;λR是無量綱一階衰減常數;V是溶質運移速率;x是任意位置離污染源的距離;t是溶質運移時間;D是水動力彌散系數。

基于上述定義無量綱參數,式6變換為式(13)。

(13)

2.2 第三類邊界條件

基于上述定義無量綱參數,式(11)變換為式(14)。

(14)

表1 無量綱參數取值

圖1 一維溶質運移解無量綱曲線

圖2 穩態條件下衰減對解的影響

圖3 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無量綱時間值沿羽流中心線的解

3 案例計算

使用某一典型污染場地參數說明上述2種溶質運移解析解的差異。污染源位于地下水位以下3 m,污染源濃度為358 mg/L,假設污染物位于的含水層是一維流動,其滲流速率為3.69×10-6m/s,污染物的有效彌散系數值為2.34×10-5m2/s,其一階降解速率估計值為0.000 01 1/d。

圖4根據貝克萊數定義給出從污染源到距離源頭150 m處貝克萊數值,可以得到在距離污染源150 m內,貝克萊數在25以內變化。圖5繪制了在0.3年、0.5年、1年時間范圍內且降解速率為0.000 01 1/d時貝克萊數與CR曲線,可以看出v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)解的結果隨著時間的增加相對濃度均逐漸降低,但兩者的差異逐漸減小。圖6繪制了0.3年、0.5年、1年時間范圍內貝克萊數與相對濃度曲線圖,此時一階衰減速率為0.005 1/d,圖6與圖5比較可以看出,衰減越快其相對濃度降低越快。v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)解的結果相對濃度值差異不大,若初值濃度值較高,則相對濃度值微小的差異也會導致較大的結果。

圖4 貝克萊數曲線

圖5 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無量綱時間值下沿源中心線的解

圖6 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無量綱時間值沿羽流中心線的解

4 結果討論

用v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)提出的溶質運移一維解在無量綱時間和空間中計算恒定濃度下點源的衰減一維溶質運移可以更全面地考慮2種溶質運移解的差異。計算結果表明,沿著地下水流動方向,若以對流擴散為主導且污染物初始濃度較小,則2種解之間的差異在實際應用中可以忽略不計,但通常來講由于v G and Alves (1982)解假設污染源為固定濃度,因此更加保守,但v G and Bear (1972)滿足質量守恒定律可能更符合實際情況。如果對大量污染源進行快速濃度分布評估,應采取保守做法,優先選擇v G and Alves (1982)的解。