多約束條件下多目標反導最優分配策略研究

馬長李，張 濤，李 振

（海軍研究院，北京，100161）

0 引 言

彈道導彈中段攔截是指在大氣層外將來襲彈道導彈摧毀于自由段［1］。中段攔截具有彈道預報難度低、響應時間長、直接力控制簡便等優點，是最為安全、可靠的彈道導彈防御方式。

對于中段攔截問題，最為重要的便是射前諸元解算，包括發射時刻、攔截時刻和發射方位角等。上述諸元直接影響了攔截彈的彈道形態以及末端交戰場景，對攔截效能影響深遠。同時，考慮攔截彈自身作戰指標（如射程和射高），發射窗口和攔截弧段也會對攔截效能產生影響。高度動態變化的戰場態勢還對諸元解算方法的快速性提出了較高的要求［2］。因此，發射諸元解算是一個集精度、約束和速度于一體的高度非線性問題。文獻［2］采用最小二乘迭代的方式計算發射諸元，但其主動段飛行模式固定，不能適應目標機動的情況，且計算耗時很長；文獻［3］在二維平面內對攔截時間窗口問題進行了研究，但模型過于簡單，缺乏實際意義；文獻［4］考慮地基雷達預警時間，建立了反導預警時間模型，但計算中采用的是目標平均速度，計算精度不高。

求解攔截彈發射諸元是制定攔截策略的前提，對于在實際應用中經常出現的多攔截器-多目標的場景，還必須針對各目標的飛行狀態和攔截彈的部署情況（如位置、數量和作戰能力等），將各目標分配給各攔截彈。上述分配的依據便是發射諸元計算結果、攔截彈作戰指標和目標威脅程度，而分配的過程則需要通過優化算法來完成。多目標攔截任務分配問題屬于武器-目標分配范疇［5-7］，在作戰決策和火力運用中有重要地位。國內外學者對武器系統、編隊協同作戰及艦艇編隊防空等場景中的目標分配模型進行了大量研究［8-11］。

本文首先以二體理論和Gauss 問題為基礎，以發射時刻和命中時刻為設計變量，提出了一種考慮多約束條件的攔截彈發射諸元快速解算方法，解決了一對一條件下的發射窗口、攔截弧段和發射諸元快速求解問題。其次，建立了多對多最優分配模型，包括性能指標、目標威脅指標和攔截彈作戰指標等。另外，設計了一種改進的粒子群優化算法，結合上述優化模型對最優分配策略進行求解。通過引入動態種群規模和種群變異策略，提高了粒子群算法的搜索效率，保證了最優分配策略的快速生成。最后通過仿真計算驗證了方法的準確性和可行性。

1 發射諸元快速解算方法

本文定義的發射諸元包括發射方位角、發射時刻和命中時刻，同時定義發射窗口為所有發射時刻的集合。每個發射時刻都對應目標彈道上的一個弧段，記整個發射窗口對應的所有弧段的集合為攔截弧段。

該方法能夠根據目標實際運動狀態快速求出攔截弧段，預測命中點可通過開普勒軌道遞推方程快速求解，Gauss 問題通過幾次牛頓迭代即可求解。因此，對于目標進行軌道機動情形，采用本文提出的方法可以針對機動情形快速求出發射窗口和攔截弧段。

首先作如下設定：

a）目標軌跡已由預警探測系統預報得出，為簡化計算復雜度，這里暫不引入目標機動項。

b）設紅方和藍方分別為攻方和攔截方。

記仿真初始時刻T0=0，此時紅方所有目標已被藍方準確探測跟蹤，藍方具備諸元解算條件。

設藍方完成解算、分發、發射等準備工作所需的時間為T1，記發射時刻為T2，顯然T2≥T1。

c）記發射點在地心慣性系下的位置矢量為r0，經緯度分別為λ0和φ0。

本文設計發射諸元計算方法如下：

a）給定T2的初值，取T2=T1。

b）給定T3的初值。估計攔截彈從發射到命中的飛行時間為TM，取T3=T2+TM。

c）根據彈道預報結果，求出T3時刻目標在地心慣性系下的位置矢量rT（即預測命中點）、速度矢量vT、經度λT和緯度φT。

d）根據r0、rT和TM，通過求解Gauss 問題得到預測命中點和發射點間的橢圓軌道，同時得到攔截彈終端速度矢量vM和攔截交會角。

e）判斷如下條件：

1）Gauss問題有解；

2）預測命中點高度不超過攔截彈發射高度范圍；

3）預測命中點到攔截彈發射點的射程L0T不超過攔截彈射程范圍。

若以上條件都滿足，則輸出T2和T3作為可行解，否則令T3=T3+ Δt3并返回步驟2，其中Δt3為命中時刻的搜索步長；若T3達到搜索上限（預測命中點高度低于攔截彈射高下限）仍沒有滿足條件的解，令T2=T2+ Δt2并返回步驟1，其中Δt2為發射時刻的搜索步長；若T2達到搜索上限后仍無可行解，說明該攔截彈不具備對該來襲導彈的攔截條件。

攔截交會角［12］為彈目速度矢量夾角的補角，其計算方式如下：

射程的計算方式如下：

式中Re為地球平均半徑；μ0T的計算方式如下：

綜上，記發射窗口和攔截弧段分別為Ωlaunch和Ωintercept，則

上述方法能夠快速確定某發射點處的攔截彈對某目標的發射窗口和攔截弧段。在Ωlaunch中選擇具體的發射時刻T2，在Ωintercept中選擇具體的攔截時刻T3，則發射方位角的計算方式如下：

2 多對多最優分配模型

設有攔截彈m個，來襲目標n個；規定每個攔截彈只能攔截一個目標，每個目標可分配給任意一個攔截彈。多目標分配的優化模型為

式中Vij為設計決策變量，當第i個攔截彈不攔截第j個目標時取0，當第i個攔截彈攔截第j個目標時取1；Wj為第j個目標的威脅程度；Pij為第i個攔截彈對第j個目標的攔截效能。

2.1 目標威脅指標

目標威脅程度與目標特性、攔截難度和預計落點等密切相關。

2.1.1 目標特性

目標特性主要指目標紅外特性、電磁特性和空間分布等信息，其關鍵定量因素主要是溫度、運動狀態、雷達截面積（Radar Cross Section，RCS）等。

a）溫度。

在大氣層外飛行時，真彈頭和誘餌受光照影響會吸收熱量并升溫。首先給出比熱容計算公式：

式中CQ為比熱容；ΔQ為吸熱量；m為飛行器質量；ΔT為物體溫度變化。

設真彈頭和誘餌材料的比熱容相近，由于真彈頭的質量一般遠大于誘餌質量，根據式（7）可知在吸收相同熱量的條件下，誘餌的溫度變化率遠大于真彈頭，因此可將目標溫度變化率作為判斷誘餌與真彈頭的依據。取溫度特性函數為

其中，

式中x1為目標溫度的變化量；b1，a1分別為溫度變化的上下界。根據文獻［5］，此處取b1=180 K，a1=230 K。

b）運動狀態。

由于誘餌一般無姿軌控設備，受分離干擾力和干擾力矩的影響，其在與母艙分離前后的速度變化非常明顯。而真彈頭質量大且具有姿軌控設備，其在與母艙分離前后的速度變化相對較小。

考慮目標運動狀態探測過程的時間延遲、分離力大小和真彈頭/誘餌的質量規模，本文取運動特性威脅度函數為

式中x2為目標運動特性的變化量；b2，a2分別為運動狀態變化判斷的上下界。對于位置狀態來說，取a2=30 m，b2=40 m；對于速度狀態來說，取a2=20 m/s，b2=35 m/s。

c）雷達散射截面積（Radar Cross Section， RCS）。

彈道導彈的中段運動特征是真假彈頭識別所依據的主要特征之一。真彈頭有姿控系統，其RCS數據序列受進動影響而呈現周期性；而誘餌一般無姿控機構，其旋轉和翻滾可視作隨機運動。RCS數據序列規律性較弱，變化幅度更大。

根據文獻［5］，本文取關于RCS的特性威脅度函數為u3= exp(-x3)，其中x3為目標RCS變化量。

2.1.2 預計落點

通過彈道預報可知目標的打擊對象。根據被打擊對象的重要程度可評估目標威脅程度。設被攻擊區域有M個，各區域按照重要程度排序。設某目標j攻擊的是第?個目標，取其落點威脅函數為

式中ε?為第?個藍方目標的相對重要度，ε?∈(0，1)。

獲得u1～u4后，對各威脅函數加權求和。若某威脅度函數在各目標間的差異不大，則為其分配較小權重；否則說明該特性對目標識別明顯，應為其分配較大權重。目標威脅指標計算方式如下：

2.2 攔截彈作戰指標

本文設定攔截彈作戰指標由發射窗口、攔截弧段和平均攔截交會角決定。

根據上文中的定義，本文認為發射窗口和攔截弧段越長則攔截概率越高。對于交會角，假設攔截彈末制導采用比例導引，則指令加速度大小為

式中k為導引系數；|r?|為彈目相對速度；ω為彈目視線角速度。

迎面攔截時彈目相對速度（即|r?|）很大，此時需求加速度也很大；反之，順向攔截時需求加速度相對較小。由交會角定義可知，交會角越大越利于末端攔截，因此認為大交會角條件下的攔截概率更高。

記第i個攔截彈對第j個目標的發射窗口寬度為|，攔截弧段寬度為，平均攔截交會角為；記所有|中的最大值為，所有中的最大值為，所有中的最大值為。綜上，攔截彈作戰指標的計算方式如下：

3 武器目標最優分配算法

當有m個攔截彈和n個目標時，共有L=m?n種攔截方式。當L較小時，可以采用枚舉方法獲得最佳攔截方式；當L很大時，枚舉法所產生的計算量將非常大，過長的計算時間將影響指揮控制系統的實時性和響應能力。多目標最優分配實際上是從有限種組合中選擇一種的過程，優化過程中可以不考慮約束條件。因此，可以將目標最優分配問題轉化為無約束優化問題，并采用數值優化算法求解。

求解優化問題的方法主要有兩類：確定性方法和隨機性方法。確定性方法收斂速度快，但對初值較為敏感。近年來，一些隨機性的方法例如遺傳算法、粒子群優化算法等已成功應用到優化問題中。其中，粒子群優化由于易操作、收斂快而受到廣泛關注。

基本粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一種基于迭代模式的優化算法，搜索空間中的每個粒子都對應一個由優化函數所決定的適應度，以評價該粒子當前位置的優劣。設種群的規模為N，搜索空間為D維，則粒子群中第i個粒子的位置和速度為［13］

記粒子i迄今找到的最好位置為pi=（pi1，pi2，…,piD），所有粒子迄今找到的最好位置為pg=（pg1，pg2， …,pgD）。對于粒子i，其第j維的位置和速度變化如下：

式中c1，c2為學習因子；r1，r2為0～1 間的隨機數；w為慣性權重；tpso為當前迭代次數。

較大的慣性權重可以加強算法的全局搜索能力，反之可以加強局部搜索能力。為提高算法搜索性能，采用指數遞減的慣性權重：

式中w0為起始權重；wf為終端權重；d1，d2為控制因子；tmax為最大的迭代次數。

由于算法的隨機性，會出現粒子聚集在某個或幾個特定位置的情況，這主要取決于問題特性以及適應度函數的選擇。為定量描述粒子狀態，引入群體適應度方差的定義。設fi為第i個粒子的適應度，favg為群體平均適應度，則群體適應度方差為

其中，

群體適應度方差反映的是粒子群中所有粒子的聚集程度，δpso越小，則聚集程度越大，導致將使群體失去多樣性，陷入早熟收斂，故當δpso

式中ηpso為服從標準正態分布的隨機量。

4 仿真分析

設共有6 枚紅方導彈對藍方6 個地面目標進行攻擊，共有攔截彈5 枚，故至少有1 個目標被遺漏，須通過優化分配使藍方損失最小。

取粒子數為200，最大迭代次數為20。在計算發射諸元時，取T1=60 s，TM=300 s，Δt2=10 s，Δt3=30 s。其他條件如表1所示。

表1 攔截彈參數和目標初始狀態Tab.1 The initial states of the missiles and the targets

采用式（13）計算各攔截彈對各目標的作戰指標，得到結果如表2所示。使用本文提出的最優攔截策略制定方法，得到仿真結果如表3 所示。可以看出，在設定的攻防對抗場景下，來襲目標4和來襲目標6的威脅最大，應當首先攔截。以攔截彈5和目標1為例，給出攔截彈攔截弧段如圖1和圖2所示。

圖1 攔截彈5對目標1的攔截弧段Fig.1 The interception arc of missile-5 with respect to target-1

圖2 攔截彈5對目標1的攔截弧段Fig.2 The interception arc of missile-5 with respect to target-1

最后，通過仿真驗證改進PSO算法對搜索能力的提升。采用基本PSO方法求解上述最優分配問題，其中取慣性權重為常值0.8，不采用式（20）所示的粒子擾動策略。由于PSO算法具有隨機性，對基本PSO和改進PSO 均進行30 次獨立仿真，并取各自最好的仿真結果進行對比，結果如圖3所示。其中，適應度越小代表優化函數值越優，即結果的性能指標越好。仿真結果表明，本文提出的改進PSO方法較基本PSO方法而言，能夠在更少的進化代數內獲得更優的性能指標，搜索能力更強。

圖3 基本PSO和改進PSO計算結果對比Fig.3 Comparison between the basic PSO and the improved PSO

5 結束語

針對彈道導彈中段攔截中的多對多作戰場景，提出了一種目標最優分配算法。首先，基于諸元快速解算法構建了攔截效能與威脅指標的快速求解方法，在此基礎上建立了目標分配優化模型。其次，提出了一種改進粒子群優化算法，通過種群變異策略提高了算法收斂速度，獲得了更優的求解結果。最后，通過仿真驗證了優化模型的正確性與求解算法的快速性。