考慮靈活車次的混合票制下巢式Logit選擇行為建模與估計

左大杰，劉 璐，駱泳吉，王子康

(西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031)

隨著我國高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)運營里程的不斷增加,鐵路運力供不應求的現象得以緩解,尤其在客流淡季,運力供給大于運輸需求的問題尤為突出。在此背景下,探索多樣化的票制不僅可以提高鐵路客運市場競爭力,還能有效刺激旅客出行需求,改善鐵路企業效益。長期以來,我國鐵路車票主要以指定車次、指定席別、固定費率和票價遞遠遞減的方式出售,這種票制相比民航業及歐洲鐵路運輸行業的票制較為單一,也不夠靈活。民航業早在本世紀初就提出了靈活產品(Flexible Products)[1],這種產品以較低的價格售出,但其航班號不能由旅客自主選擇,而是由航空公司在多個航班中靈活分配。歐洲鐵路運輸行業也有各種形式的靈活產品,英國國鐵集團(Great Britain Railway,GBR)推出的隨時車票(Anytime Tickets)[2]取消了往返行程的時間限制,德國聯邦鐵路(Deutsche Bahn)推出的靈活車票(Flex Fare DB Tickets)允許旅客選擇一天內的任意車次出行,甚至還有區域票(L?nder-Ticket)供團體旅客在相同州內一定時間范圍旅行。最近,閆振英等[3]提出以折扣價格出售的鐵路靈活車次產品,這種產品在售出時不明確指定開行車次,具體車次在一段時間后兌現。上述靈活產品無疑為我國鐵路客運產品體系的進一步豐富和完善提供了有益參考。

鐵路客運產品的核心利益是旅客位移服務,產品的具體形式則取決于車次、發車日期、席別等屬性。如果產品的各個屬性在售出時已被明確指定,則該產品屬于常規產品;若產品的某些屬性在售出時未被明確指定,則該產品可視為靈活產品,幾種典型鐵路客運產品形式見表1。其中,靈活產品可以有多種具體形式,最為常見的是靈活車次產品,該產品是在售出時不指定車次屬性,在一段時間后提供,以價格折扣的方式補償旅客購票時損失的這部分信息(民航的靈活產品、德國聯邦鐵路的靈活車票、文獻[3]中的靈活車次均屬此類)。此外,也可同時靈活產品的多個屬性,例如只指定席別,而旅客出行時間和車次則靈活為某個范圍(英國國鐵的隨時車票、德國聯邦鐵路的區域票均屬此類)。

表1 幾種典型鐵路客運產品形式

然而,既有關于靈活產品的研究和應用還未能解決鐵路領域加入靈活產品后的需求建模與預測問題,即使是靈活車次這一最為典型的形式。在民航領域的靈活產品需求建模預測方面,文獻[1,4]建立了只考慮票價影響的消費者選擇模型來刻畫需求;文獻[5]通過多項Logit模型刻畫旅客選擇行為,但本質上仍然只考慮了機票的價格因素。上述文獻的需求模型無法直接應用于鐵路運輸領域,主要原因是鐵路有相比于航空更加密集的開行頻率,不能在旅客選擇過程中忽略開行時間等因素的影響。當鐵路運輸企業同時為旅客提供指定車次和靈活車次兩種車票時,對旅客的需求建模預測會因其購票選擇行為變得復雜。盡管已有文獻對鐵路旅客選擇行為展開研究,但大多建立在單一票種的多項Logit模型基礎上。文獻[6]將多項Logit成功應用于鐵路旅客選擇行為估計;文獻[7]區別于以往的SP(Stated Preference,SP)調查,采用“受限”客票銷售數據估計旅客選擇偏好;文獻[8]將旅客出發時段偏好效用量化,應用多項Logit模型估計京滬旅客出行選擇概率;文獻[9]將個體選擇偏好納入旅客乘車選擇,評價旅客的不同特性對出行選擇的影響程度。旅客對混合票制產品的選擇具有層次結構,而多項Logit模型將所有產品視為相似程度一致的產品,故上述研究難以刻畫混合票制下的旅客選擇行為。

為克服上述問題,考慮引入巢式Logit模型,該模型是GEV(Generalized Extreme Value)模型的一種,是更為一般的Logit形式,通過將不同類似程度的產品劃分到不同巢中,反映產品之間的相似程度差異。巢式Logit在交通出行中應用較廣:文獻[10]構建基于出行時段和出行方式的聯合巢式Logit模型,驗證對于有層次結構的選擇行為采用巢式Logit模型較多項Logit模型有更好的統計學特征;文獻[11]通過多層次復雜巢式Logit模型構建居民出行鏈的選擇行為,證明了巢式Logit是更為一般形式的Logit模型;文獻[12]通過對路徑選擇和出行方式的巢式Logit模型構建,驗證單枝層次的可行性。上述文獻在具有層次的選擇行為結構中應用了巢式Logit模型,但與鐵路產品中存在外部選項進行需求轉移的現象又有所不同。

鑒于民航靈活產品需求模型無法直接應用于鐵路,并且既有文獻還未對鐵路混合票制下的需求問題展開研究,本文探索加入靈活車次后的混合票制下的需求建模預測問題。首先,分析旅客選擇行為特征,基于巢式Logit模型構建選擇行為模型,并引入外部選項以刻畫部分需求轉移旅客。在此基礎上進行參數估計,以極大似然估計思想,將選擇概率函數轉化為對數似然函數,并用多元牛頓迭代法(Newton-Raphson,NR)使對數似然函數極大值化,綜合同時估計和分階段估計,求取參數。最后以京滬高鐵為實例,開展出行意愿調查,先對混合票制下選擇行為進行參數估計,再結合對比模型進行模型驗證,最后分析不同折扣率下各產品的分擔率,驗證模型及參數的有效性。

1 選擇行為模型構建

通過分析混合票制下旅客選擇行為特征,建立考慮外部選項的巢式Logit選擇行為模型。

1.1 混合票制下旅客選擇行為特征

混合票制下旅客購票決策過程見圖1。首先,旅客在準備購票時,將接收有指定車次和靈活車次兩類票可售的信息,旅客將選擇其中一種票種的出行方案,如所選票種無余票時,旅客將放棄出行或者轉移到外部出行選項(除開鐵路運輸企業提供的產品,在選擇結構中還應包含旅客放棄出行或選擇其他出行方式的選項,這部分選項設為“外部選項”)中致使購票失敗。然后,當旅客接受靈活車次車票并支付票價后即購票成功,對于選擇指定車次車票的旅客則還需要選擇具體車次,當所選車次無余票或是票價超出旅客出行心理預期,同樣會導致旅客放棄出行或者更換交通工具出行,而旅客完成所有選擇條件即購票成功。

圖1 混合票制下旅客購票決策過程

旅客在選擇指定車次和靈活車次兩類產品時,不同類別產品的購票決策過程存在差異,其產品屬性也存在差異,選擇靈活車次產品無需進一步選擇車次,因此該產品對出行時間等因素并不敏感,而選擇指定車次產品需要考慮出行時間以及列車的旅行時間,使得指定車次產品間以及指定車次與靈活車次產品間的相似程度不一致,指定車次與靈活車次產品間不滿足IIA(Independence from Irrelevant Alternatives)假設,但兩者又具有一定的共性,靈活車次和指定車次兩類票種的銷售都受到票價影響,票價超出旅客心理預期,旅客即會放棄購票,這種相似程度又滿足IIN(Independence from Irrelevant Nests)假設。最后靈活車次和指定車次兩類車票均會受到票額容量的制約,當余票不足時,無論其效用多高,旅客均無法成功購票。針對指定車次各個產品之間滿足IIA假設,指定車次產品與靈活車次產品之間滿足IIN假設的特點,本文應用巢式Logit模型劃分兩個層次研究選擇行為。

1.2 基于巢式Logit的選擇行為模型

基于巢式Logit模型對混合票制下的旅行出行行為進行建模。由1.1節可知,混合票制下旅客備選集見圖2。

圖2 混合票制下旅客備選集

對于上述旅客購票決策過程,旅客n對任意層次j中方案k的選擇效用值Unk為

Unk=Ynj+Xnk+nk

(1)

式中:n∈N,N為產生高鐵出行意愿的旅客集;j為上層選擇方案,j∈J,J為上層選擇方案集,本文中分別是指定車次、靈活車次和外部選項3項;K為下層方案選擇集,即指定車次條件下具體車次k和外部選項的方案選擇,K={k|k=1,…,k′},k′為總車次數;Ynj為受上層模型影響的固定效用,即票價;Xnk為受下層模型影響的固定效用,即票價、開行時間和旅行時間的組合;nk為無法觀測到的隨機效用,集合n服從累計分布,即

(2)

通常以線性組合的方式表示Ynj、Xnk,即

Ynj=α0+αTyj

(3)

Xnk=β0+βTxjk

(4)

式中:λj為層次j中其下包含的所有方案的不相關系數(Dissimilarity Parameters),在本模型中僅取上層和下層,故簡寫為λ1和λ2,取值在[0,1],靈活車次和外部選項只有一種方案,該值為1[13];α0、β0分別為選擇高鐵出行和指定車次票種出行的基礎效用;yj,xjk分別為上下層的已知屬性向量,如票價、旅行時間、開行時間等;θ為待估參數,θ=(α0,α,β0,β)。

外部選項以角標o標記,表示選擇除鐵路運輸企業外其余選項的總和,并假設其確定性效用和Uo=0、Ujo=0。

根據巢式Logit模型推導概率公式[14],旅客選擇鐵路運輸產品概率為

(5)

(6)

上下兩層選擇外部選項的概率分別為

(7)

(8)

式中:Ij為包含價值(Inclusive Value),表示選擇層次j所獲得其所有方案效用和。

對于相對參數λ1和λ2,需要固定其中一項,本文固定λ1,令λ1=1,這樣能夠避免兩層的巢式Logit模型參數估計時因相對參數產生的分式求導,減少了算法中的不可行區域,而λ2需要落在[0,1]之間,才能保證備選集結構合理。

2 參數估計

本節在第1節建立模型的基礎上解決了模型中參數估計問題,即通過對數似然函數的構建,應用分階段和同時估計法混合估計參數。

2.1 對數似然函數構建

(9)

則其對數似然函數L為

(10)

2.2 分階段和同時估計法混合估計

巢式Logit模型參數估計有兩種方法,即分階段估計法和同時估計法。兩者各有優劣,分階段估計是把似然函數上下層單獨分開,把下層參數先單獨提出來估計,再將所得估計值代入上層估計上層參數,該方法能保證對數似然函數為凸[15],但是有效性較低。同時估計則關注式(5)本身,通過使L最大化確定各參數取值,同時估計所得參數具有無偏性、漸進正態性及有效性[14],但是同時估計中效用函數與參數估計之間并非像多項Logit那樣呈線性關系,雖然其非線性對極大似然估計無影響,但這會導致對數似然函數不是凸函數,需要尋找多個初值,取其中最大初值作為結果。為了縮短對較優初值的尋找,本研究結合分階段估計,采用同時估計來進行參數標定,即先用分階段估計計算參數,得到一個范圍,在該范圍內設置多個初值,應用同時估計得到參數取值。

基于上述分析,對數似然函數L非線性,且結構復雜難以直接求解,故本研究采用多元牛頓迭代法求取近似解。求解步驟如下:

Step1計算L的Jacobian矩陣J和Hessian矩陣H。

Step2初始化迭代次數i和局部最優解迭代次數i′,根據分階段估計生成初值θ(i),以及初值對應的對數似然函數值L(θ(i)),并令之為L(θ)m。

Step3計算J(θ(i))和H(θ(i))。

Step4標記點集A(i),其坐標為(θ(i),J(θ(i))),則這些點切線方程為J(θ)-J(θ(i))-H(θ(i))·(θ-θ(i))=0,求切線與θ軸交點θ(i+1),即θ(i+1)=θ(i)-H(θ(i))-1·J(θ(i))。

Step6判斷i′>η是否成立,(η反映極值的迭代次數,可根據精度要求設置),若成立,則輸出θ(i+1),計算結束,若不成立,則返回Step2重新尋找初值。

3 實例

對模型和參數估計進行實例驗證,輸入京滬高鐵出行意愿調查數據,進行參數估計和模型驗證,并分析不同折扣率下旅客選擇概率情況。

3.1 數據輸入

表2 巢式Logit模型影響因素

選取京滬高鐵北京南至上海虹橋方向作為研究OD,圍繞表2的各項影響因素設計SP調查問卷,設置正交組合實驗[17],避免屬性之間出現多重線性問題產生較大的標定誤差,為研究指定車次與靈活車次兩大類產品間的選擇偏好,設置靈活車次9折、8折、7折3個折扣檔位分別與對應折扣下指定車次選擇的選擇情形,即設置靈活車次、指定車次和放棄出行3種選項;為研究下層價格因素的選擇偏好,設置一等座二等座的選擇情形,即設置選擇一等座、二等座和放棄出行3種選項;為研究下層旅行時間與開行時段的影響,設置特征車次7趟的選擇情形,即G1、G3、G7、G145、G157、G133、G93和放棄出行8種選項,涵蓋所有開行時段,并設置不同的旅行時間。選擇情形涉及共計17種運輸產品,部分產品屬性及變量見表3。這里對旅行時間的處理是將旅行按照一天的上限取值為1,下限取值為0,即0時取值為0,24時取值為1,進行歸一化處理,例如取值0.218 75換算為時間為5 h 15 min。

表3 部分產品屬性及變量

根據上述選擇情形設計調查問卷,調查問卷采取網絡問卷的形式面向有出行需求的人群,于2022年3月15日至17日分3次收集有效出行意愿調查問卷共415份,統計并整理結果見圖3。

圖3 出行意愿調查結果

由圖3(a)可知,對靈活車次設置不同的價格折扣會對旅客的選擇產生影響,如靈活車次票價設置為9折、8折、7折,則選擇靈活車次的占比分別為52.48%、58.42%、72.28%。與此同時,選擇外部選項的人較少,始終不超過5%。總之,隨著靈活車次票價降低,選擇該車票的人數增加。而在指定車次旅客對一等座和二等座的選擇上,由圖3(b)可知,總體兩者的比值接近2.37,從這個角度可以反映下層模型中價格對旅客選擇的影響。同時,針對不同車次旅客間的選擇,整理結果見圖3(c),可知選擇G3的旅客最多,占比達28.13%,其次分別為G145和G7,反映了旅客對中午和下午較早時段的偏好。同時也能注意到旅行時間最長的G133盡管一部分時間處于下午時段,但是受到旅行時間的影響,仍鮮有旅客問津。而處于早上時段出發的G1,選擇概率較旅行時間較短但處于晚上時段開行的G93略高,反映了開行時間與旅行時間的耦合效果。

3.2 數值結果與分析

根據上述數據,由Matlab 2020b在4核處理器Intel(R) Core(TM)i5-7300HQ 2.50 GHz,16 GB內存的環境下求解,NR法部分迭代過程見表4。

表4 NR法部分迭代過程

NR法部分迭代過程見表4,由表4可以得到各參數估計結果,并由此對參數進行t檢驗,以驗證參數對旅客出行行為影響的合理性,結果見表5。

由表5可知,各層截距代表各個出行方案的隱含價值,其值為正數,時間、價格影響因素均是越大,則對該出行方案的效用越不利,故其值應為負,從各開行時間段來看,人們的出行傾向時間段集中在10:00—17:00,因而相應時間段取值較早晚段大。而不相關系數取值為0.237 9,該值在(0,1)中,證明了選擇樹結構的合理性。同時,各參數的t絕對值均大于2.576,說明在99%的可靠性水平上認為該參數對因變量對選擇概率產生影響,對于參數λ2,通過對兩側取值界限進行t檢驗,可認為只能在1%的顯著性水平上放棄假設H:λ2=0或λ2=1。

此外,還需要對模型整體的擬合優度進行檢驗,擬合優度反映了模型對數據的適應程度可用其檢驗各個模型的優劣程度。為了體現巢式Logit模型在刻畫混合票制下選擇行為的合理性,設置兩類多項Logit模型(為方便說明,分別以ML1、ML2表示,巢式Logit在下表以NL表示)進行對比分析。其中兩個ML模型均只有一層的選擇結構,即指定車次中的具體車次和靈活車次在同一個選擇枝中,ML1指的是靈活車次選項不包含開行時間影響因素,其余假設與巢式Logit一致,ML2指的是靈活車次選項包含開行時間影響因素,但4個時段權重均取0.25,其余假設也與巢式Logit一致,擬合優度檢驗結果見表6。

McFadden系數表示響應旅客出行中選擇發生變化的能力,由于旅客的出行行為伴隨著很大的隨機性,且研究對于出行影響因素的認識并不完備,始終難以準確的預測模型,該值取值落在[0.2,0.4]間,可認為模型非常精確[18]。對于本模型該值為0.207 8,在出行預測類的模型中擬合效果較優,且均優于兩類多項Logit模型,說明NL模型刻畫混合票制下旅客的選擇行為優于鐵路出行選擇行為研究常用的多項Logit模型。同時,相對偏差刻畫的是所有運輸產品中,實際調查數據與模型預測數據間的加權相對差為6.11%,低于20%,說明估計參數能夠較好地擬合收集的出行意愿數據。

驗證模型和參數的正確性后,將該模型應用于京滬高鐵某日實際開行25列車的選擇情形中,假定鐵路運營方在該線路上采用了混合票制,設置0.55至0.95共9種折扣率,分析在不同折扣下旅客對各個產品的選擇概率,見圖4和表7。

圖4 京滬高鐵部分OD靈活車次產品選擇概率

表7 北京南—上海虹橋OD指定車次產品選擇概率 %

圖4中,隨著靈活車次折扣率的降低,旅客更偏好選擇靈活車次產品,導致指定車次產品和外部選項的選擇概率下降,說明靈活車次產品能夠節省的票額支出越高,旅客越傾向于選擇該產品。此外,靈活車次產品在長程OD(如北京南—上海虹橋)中的表現較短程OD(如北京南—徐州東)更佳,這是在相同折扣下長程OD帶來的折扣收益更高和短程OD旅客更傾向于確定自己乘車信息出行導致的。可見靈活車次產品更適用于中長程OD場景。

表7中,由于折扣率的降低,確定性產品的總體選擇偏好處于下降態勢,反映了靈活車次產品對確定性產品的蠶食。同時,G5、G7、G15、G17、G19、G25次標桿車由于停站次數少,其旅行時間較短,選擇概率較高,最高的G15、G17、G19次均超過6%,而G5、G25次列車開行時段處于早上和晚上時段,旅客不傾向于該時段出行,因此選擇概率又相對較低,其他列車由于停站次數較多,選擇概率普遍較低,這些列車的選擇概率有高有低,集中在2%左右,是旅行時間與開行時段耦合作用的結果。總體而言,需求在平行車次間出現了較大的失衡現象,有待進一步地調整靈活車次產品。

4 結論

實施考慮靈活車次的混合票制不僅能夠刺激運輸需求、改善運輸企業效益,還能均衡車次間客流量,是推進鐵路運輸企業市場化發展的有效手段之一。本文研究混合票制下旅客選擇行為建模和估計方法,通過建立引入外部選項的雙層巢式Logit模型,并構建對數似然函數,應用多元牛頓迭代法使對數似然函數極大值化,采用分階段估計和同時估計、混合估計的方法處理參數估計問題。實例表明,雙層巢式Logit模型可以有效估計混合票制下旅客對鐵路運輸產品的出行選擇偏好,為預售期前的票額分配的需求輸入以及預售期內席位控制的調整策略提供依據。未來可進一步研究多種形式靈活產品的最優組合問題以及混合票制下的席位控制問題。