SymPy在“高等傳熱學(xué)”教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐

孫昆峰 李小民

(中原工學(xué)院能源與環(huán)境學(xué)院 河南鄭州 450007)

“高等傳熱學(xué)”是動(dòng)力工程類研究生專業(yè)的核心課程，該課程主要內(nèi)容是研究熱傳遞現(xiàn)象，讓學(xué)生了解傳熱學(xué)的研究前沿，掌握導(dǎo)熱、對(duì)流換熱、熱輻射的物理機(jī)理和分析方法，培養(yǎng)研究生的工程思維能力，提高分析解決復(fù)雜傳熱問題的能力[1]。在“高等傳熱學(xué)”中，不僅有理論，更多的是微分方程及其求解，因此學(xué)生學(xué)習(xí)的困難很多來自數(shù)學(xué)上的困難。這些困難一是數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，二是結(jié)果不直觀，理解上有一定難度。所以，如何改進(jìn)求解微分方程的教學(xué)方法，就成為教好“高等傳熱學(xué)”的一個(gè)挑戰(zhàn)。

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)能夠以類似于數(shù)學(xué)家和科學(xué)家的傳統(tǒng)手動(dòng)計(jì)算方式來處理數(shù)學(xué)表達(dá)式。目前，在國內(nèi)外的大學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，CAS 的應(yīng)用逐漸普及[2,3]。通過適當(dāng)?shù)厥褂肅AS 輔助教學(xué)，正好可以解決傳熱學(xué)中微分方程給教學(xué)帶來的問題。它不僅可以讓學(xué)生擺脫復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算，使教學(xué)和學(xué)習(xí)有更多時(shí)間和精力用在解題思路和解題方法上，而且從另外一個(gè)層面改變了教學(xué)方式和內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)教育方式的現(xiàn)代化，還能提高研究生使用CAS解決微分方程的能力。

Python是一款通用、動(dòng)態(tài)且高階的語言，而且因它語法比較簡單、特別容易上手、第三方生態(tài)庫異常豐富的特點(diǎn)而被大家所喜愛。由于這些優(yōu)點(diǎn)，Python 已經(jīng)在科學(xué)和工程方面被廣泛應(yīng)用[4-5]。SymPy作為Python的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)庫[6]，可以方便地解決在“高等傳熱學(xué)”中面臨的困難。SymPy目前處于發(fā)展期，它旨在成為功能齊全、性能可靠的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，同時(shí)使應(yīng)用代碼盡可能地簡單，易于理解和便于擴(kuò)展。它完全使用Python 編寫，能夠完成諸如多項(xiàng)式求值、求極限、解方程、求積分、微分方程、級(jí)數(shù)展開、矩陣運(yùn)算等等計(jì)算問題，現(xiàn)在它可以部分替代Mathematica、Maple、MATLAB等商業(yè)數(shù)學(xué)計(jì)算軟件[3]。另外一個(gè)關(guān)鍵因素SymPy是開源的軟件，對(duì)研究生來說更有挑戰(zhàn)性和深度，更現(xiàn)實(shí)的問題是避免現(xiàn)在我國軟件技術(shù)卡脖子問題。可以說它是目前非商業(yè)軟件中，解決“高等傳熱學(xué)”教學(xué)問題最適合的選擇。

本文以在實(shí)踐教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，舉例說明SymPy 如何應(yīng)用CAS解決高等傳熱學(xué)的問題。

1 SymPy的應(yīng)用介紹

1.1 在等截面直肋導(dǎo)熱問題中的應(yīng)用實(shí)踐

工業(yè)換熱設(shè)備中，常在換熱表面上增添一些肋，以增大換熱表面，達(dá)到減少換熱熱阻的目的，各種肋片的溫度場和傳熱性能的分析常歸結(jié)為擴(kuò)展表面問題，其中等截面直肋是最經(jīng)典的例子[7]。該問題的核心思路是將實(shí)際問題降維，這種方法是研究生教學(xué)的重點(diǎn)，即讓研究生建立簡化思維模式、降維思維模式。通過假定肋片表面熱阻遠(yuǎn)大于肋片導(dǎo)熱熱阻，厚度足夠小，導(dǎo)熱系數(shù)足夠大，將一個(gè)三維物理問題降為一維問題。

等截面直肋導(dǎo)熱問題微分方程[8-9]：

公式（3）中：θ為過余溫度；m為常量；x為長度量；H為肋片高度。

Sympy求解代碼如下：

等截面直肋導(dǎo)熱問題計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 過余溫度沿肋高的變化曲線

1.2 地下埋管問題分析

在供熱、供水、供氣等工程中存在大量埋地管道，管道與土壤的傳熱問題是一個(gè)常見的問題。近年來，興起的地源熱泵技術(shù)，是一種高效能源利用方式，特別是目前在能源價(jià)格居高不下的態(tài)勢下，對(duì)該方面的傳熱研究計(jì)算越來越受到重視。地源熱泵中一個(gè)重要的問題是地下土壤溫度對(duì)地下埋管換熱器的傳熱影響，完善土壤的傳熱模型，是確定地下?lián)Q熱器大小的重要依據(jù)，它是推廣地源熱泵的重點(diǎn)研究方向[10]。在教學(xué)中通常采用拉普拉斯變換法求解，該方法使用簡單，但是缺乏形象、直觀的表達(dá)，而且利用拉普拉斯變換求解導(dǎo)熱問題是本課程的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容[8-9]。該方法思想是將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程，使求解大為簡化，它廣泛應(yīng)用在力學(xué)、電學(xué)、電子、信號(hào)處理等領(lǐng)域中。深入理解并能熟練掌握求解該類問題，是本課程教學(xué)的重要要求。本例是土壤溫度受外部影響的一種簡化模型，通過采用拉普拉斯變換方法求解半無限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，來演示SymPy的數(shù)學(xué)推導(dǎo)功能。

半無限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述如下[8]：

式（8）中：θ為過余溫度；a為常量；τ為時(shí)間；x為長度量。

SymPy代碼實(shí)現(xiàn)如下：

半無限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱溫度變化結(jié)果見圖2。

圖2 半無限大物體x={1,2}點(diǎn)過余溫度隨時(shí)間的變化

2 教學(xué)過程的具體實(shí)施

傳熱學(xué)是一門比較艱深的學(xué)科，國內(nèi)許多教育從業(yè)者都努力改進(jìn)教學(xué)方法，探尋新的教學(xué)模式[11-14]，筆者也在教學(xué)中積極嘗試使用SymPy。首先，其可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用水平，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。通過使用SymPy 的數(shù)學(xué)解析功能，不僅可以復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，而且可以擴(kuò)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程。隨著近年來Python 的普及，而且隨著AI 技術(shù)的巨大發(fā)展，掌握Python也成為工科研究生的必要技能。學(xué)生可以通過SymPy的學(xué)習(xí)，擴(kuò)展到AI的領(lǐng)域，為將來個(gè)人的發(fā)展拓寬空間。

其次，教師要重視SymPy在課后的應(yīng)用，除了在課堂上演示具體的應(yīng)用和解析結(jié)果，在課后重點(diǎn)布置合適的專門練習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生能夠深入傳熱學(xué)問題，將物理現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)求解結(jié)合起來，綜合提高學(xué)生的研究技能，為其將來從事科研工作打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

筆者在不同課程教學(xué)中采用不同方法改進(jìn)教學(xué)效果[15]，根據(jù)具體教學(xué)要求，在“高等傳熱學(xué)”教學(xué)中采用SymPy 求解復(fù)雜問題也是這種嘗試之一。通過SymPy的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生都能體會(huì)到，高等傳熱學(xué)中的數(shù)學(xué)問題變得沒那么難了，有思路，有具體解決辦法了。全方位地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)傳熱學(xué)理論和微分方程形式的理解，大大促進(jìn)了研究生核心課程“高等傳熱學(xué)”教學(xué)質(zhì)量的提升。

3 結(jié)語

本文總結(jié)了使用CAS 的一點(diǎn)體會(huì)，為“高等傳熱學(xué)”的教育現(xiàn)代化起到拋磚引玉的效果。SymPy 計(jì)算代數(shù)庫系統(tǒng)CAS，易學(xué)習(xí)，并且語法簡單，特別是免費(fèi)開源。通過結(jié)合使用SymPy 的微分方程求解、拉普拉斯變換功能，可以看出：作為“高等傳熱學(xué)”的教學(xué)輔助工具，其方便使用，適合工程類專業(yè)的研究生學(xué)習(xí)和掌握，更有利于學(xué)生理解傳熱學(xué)的基本概念，并能在應(yīng)用編程計(jì)算的同時(shí)，深入掌握相關(guān)的基本原理和求解方法。在例子中既有公式推導(dǎo)，同時(shí)又能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的圖形化，進(jìn)而可以改變相應(yīng)參數(shù)，讓學(xué)生方便地看到各種變量的關(guān)系，深入體會(huì)專業(yè)理論知識(shí)的內(nèi)涵。通過教學(xué)方法的改進(jìn)，進(jìn)行研究生教育手段現(xiàn)代化，引導(dǎo)專業(yè)研究生利用CAS，增加學(xué)生對(duì)專業(yè)理論的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的理論水平和計(jì)算能力。