“一線三直角”全等模型的應用

孫衛華

在平面幾何中，有許多基本圖形，我們稱之為基本模型. 同學們解題時若能發現或構造基本模型，并靈活運用基本模型的有關性質來解決問題，往往會事半功倍.

模型解讀

三個直角的頂點落在同一條直線上的圖形，被稱為“一線三直角”基本模型. 它的常見形式有兩種：一是兩直角三角形在直線的同側，如圖1（又稱“K”字型）；二是兩直角三角形在直線的兩側，如圖2.

在圖1和圖2中，∠ACB = ∠AEC = ∠BDC = 90°，若AC = CB（或AE = CD或EC = DB），則△AEC ≌ △CDB.? 這兩個圖形分別在人教版教材第52頁和第56頁出現過.

在較復雜的圖形中，若能尋找或構造出“一線三直角”全等模型，則可迅速找到解決問題的路徑.

模型應用

變式1 將模型中的全等三角形的對應線段相等關系轉化為線段和差關系.

例1 如圖3，已知四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點，CE⊥BG于點E，DF⊥CE于點F. 求證：DF = BE + EF.

解析：[∵]四邊形[ABCD]是正方形，[∴BC=CD]，[∠BCD=90°]，

[∴∠BCE+∠DCF=90°].

[∵]CE[⊥]BG，DF[⊥]CE，[∴∠BEC=∠CFD=90°]，[∴∠BCE+∠CBE=90°]，

[∴∠CBE=∠DCF]，[∴△BCE≌△CDF（AAS）]，[∴BE=CF，CE=DF]，

[∴CE=CF+EF=BE+EF]，[∴DF=BE+EF].

反思：由圖2迅速找到圖3中“一線三直角”全等模型是解題關鍵.

變式2 將模型中的全等三角形對應線段相等關系轉化為點坐標的確定.

例2 如圖4，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點C的坐標為（-2，0），點A的坐標為（-6，3），則點B的坐標是___________.

解析：過點A，B分別作AD⊥x軸于點D，BE⊥x軸于點E，則∠ADC = ∠ACB = ∠BEC = 90°. 由基本模型圖1可知圖4中△ADC≌△CEB，所以AD = CE，CD = BE. 又因為點C（-2，0），點A（-6，3），所以AD = 3，CD = 6 - 2 = 4，所以BE = 4，CE = 3，所以OE = 3 - 2 = 1，所以B的坐標為（1，4）. 故應填（1，4）.

反思：受基本模型圖1的啟發，添加輔助線，找到圖4中“一線三直角”全等模型是解題的關鍵.

變式3 將三個直角的頂點落在同一條直線上，并將部分直角隱去.

例3 如圖5，在四邊形ABCD中，∠B = 90°，AD[?]BC，△CDC′是等腰直角三角形，∠CDC′= 90°. 若AD = 2，△ADC′的面積等于3，求BC的長.

解析：盡管圖5中看上去沒有“一線三直角”模型，但受圖1的啟發，過點D作EF⊥BC于點E，過點C′作C′F⊥EF于點F，就出現了“一線三直角”模型，由上述模型可知△CDE≌△DC'F，所以CE = DF. 又因為AD = 2，△ADC′的面積等于3，所以DF = 3，所以CE = DF = 3，所以BC = BE + CE = 2 + 3 = 5.

反思：這里沒有“一線三直角”模型的影子，但受基本模型的啟發，可以“無中生有”地創新使用模型.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：10分鐘

如圖6①所示，已知A，B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC，BC，分別以AC，BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點D作DD1⊥l于點D1，過點E作EE1⊥l于點E1. （1）如圖6②，當點E恰好在直線l上時（此時E1與E重合），試說明DD1 = AB；（2）在圖6①中，當D，E兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段DD1，EE1，AB之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖6③，當點E在直線l的下方時，請寫出三條線段DD1，EE1，AB之間的數量關系，并說明你的理由. （答案見第37頁）

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區城西實驗學校）