橫看成嶺側成峰

華小青

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.不識廬山真面目，只緣身在此山中.”蘇軾的這首詩告訴我們：從不同的角度看同一個物體，看到的圖形往往是不同的.同樣的，對于同一個幾何模型，我們從不同的角度去看，往往可以得到不同的結論，進而運用它們去解決不同的問題.下面我們用同學們十分熟悉的一個幾何模型來說明.

模型解讀

如圖1，OC是∠AOB內部的一條射線，點P是∠AOB內部的一點.

視角1 若OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，則PD = PE. （這就是角平分線的性質定理.）

視角2若點P在射線OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，PD = PE，則OC平分∠AOB. （這就是角平分線的判定定理.）

視角3 若OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，則OD = OE. （這是角平分線的性質定理的推論.）

事實上，由OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，得∠OPD = ∠OPE，即PO也是∠DPE的平分線，由角平分線的性質定理得OD = OE. 這樣就避免了通過證明全等三角形來證明OD = OE的復雜過程.

模型應用

例1 如圖2，在△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的角平分線，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點E，F，則下列結論錯誤的是（）.

A. DE = DF? ? B. AE = AF

C. AD = BC? ? D. BE = CF

解析：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF，則選項A正確；∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DA是∠EDF的平分線，∴AE = AF，則選項B正確；∵AB = AC，∴BE = CF，則選項D正確. 故應選C．

反思：這里運用角平分線的性質定理及其推論，簡捷地解決了問題.

例2 如圖3所示，點O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC = 30°），OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若OM = ON，則∠ABO =___________．

解析：根據OM⊥AB，ON⊥BC，OM = ON，可知BO平分∠ABC，∴∠OBM = ∠OBN.∵∠ABC = 30°，∴∠ABO = 15°. 故應填15°.

反思：這里運用角平分線的判定定理得到∠OBM = ∠OBN，避免了用“HL”判定直角三角形全等的復雜過程．

例3 如圖4，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC = 40°，則∠CAP 等于（）．

A. 40°? ? B. 45°? ? C. 50°? ? D. 60°

解析：如圖5，延長BA，作PF⊥BA，PN⊥BD，PM⊥AC，垂足分別為點F，N，M.

設∠PCD = x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP = ∠PCD = x°，PM = PN.

∵BP平分∠ABC，∴∠ABP = ∠PBC，PF = PN，

∴PF = PM，∴∠FAP = ∠PAC.

∵∠BPC = 40°，∴∠ABP = ∠PBC = ∠PCD - ∠BPC = x° - 40°，

∴∠BAC = ∠ACD - ∠ABC = 2x° - （x° - 40°） - （x° - 40°） = 80°，

∴∠CAF = 100°，∴∠FAP = ∠PAC = 50°. 故選C．

反思：根據角平分線的性質和判定分別得出PM = PN = PF和∠FAP = ∠PAC是解題的關鍵．

分層作業

難度系數：★★★解題時間：5分鐘

1.如圖6， 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB. 若AC = 2，DE = 1，則S△ACD = ___________．

2.如圖7，在△OAB和△OCD中，OA = OB，OC = OD，OA > OC，∠AOB = ∠COD = 40°，連接AC，BD交于點M，連接OM.下列結論：①AC = BD；②∠AMB = 40°；③MO平分∠BMC；④OM平分∠BOC.其中正確的個數為（）．

A. 4? ? ? B. 3? ? ? C. 2? ? ? D. 1

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）