從立體到平面，化復雜為簡單

文／張文珠

本章“圓錐的側面積”涉及立體幾何的知識。通過學習，我們會發現立體幾何的學習方法就是將立體圖形平面化，經歷化繁為簡、化難為易、化未知為已知的過程，從而達到解決問題的目的。下面，我們通過對教材例題的解讀，感受立體圖形“平面化”的魅力。

（蘇科版數學教材九年級上冊第86頁例題）用鐵皮制作的圓錐形容器蓋如圖1 所示，求這個容器蓋鐵皮的面積（精確到1cm2）。

圖1

與求弧長和扇形面積不同，圓錐的側面積并沒有一個明確的公式，只是經歷了一個“平面化”的過程。如圖2，我們將圓錐側面展開成一個扇形，用扇形的面積公式（l為扇形弧長，R為扇形半徑）來求圓錐側面積。從圖2 中我們可以發現兩個等量關系：①圓錐底面圓周長=扇形弧長（2πr=l）；②圓錐母線=扇形半徑（R=R）。利用這兩個等量關系，能推導出圓錐側面積公式S=πrR（r為圓錐底面圓半徑，R為圓錐母線）。但教材上并沒有直接用推導出的圓錐側面積公式來求解，而是先求出圓錐底面圓周長，再用扇形面積公式求解。這便是我們要學習的知識的本質，不受限于現成的公式，而是在扇形這一中心知識點的基礎上舉一反三，用立體圖形“平面化”來轉化。

圖2

圖3

（1）求這個扇形的面積（結果保留π）；

（2）若用剪得的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，能否從剪下的3 塊余料中選取一塊，剪出一個圓作為這個圓錐的底面？

在第（1）問中，扇形面積的計算基于圓的性質、勾股定理等知識，拓展了知識應用；第（2）問屬于圓錐側面與底面“是否匹配”類問題，通過“平面化”后，就是探索“圓錐底面圓周長=扇形弧長”是否成立。在這里，除了顯性的知識點，更為可貴的就是隱性方法的提煉和總結：借助類比法將立體幾何與平面幾何中基本元素的對應關系、等量關系等銜接起來，借助轉化法使立體幾何與平面幾何的銜接更加完善。

中考鏈接（2021·湖南邵陽）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長之比為1∶2。制作這種外包裝需要用如圖4 所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC。將扇形AEF圍成圓錐時，AE、AF恰好重合。

圖4

（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大小；

（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積（結果保留π）。

解：（1）設∠BAC=n°。

∴n=90。∴∠BAC=90°。

（2）∵DE=5，∴AD=2DE=10cm。

在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，∴BC=2AD=20cm。

從立體到平面，化復雜為簡單；從教材到中考，化知識為能力。同學們要在立體圖形“平面化”的過程中，尋找立體幾何與平面幾何在知識點、思想方法上的關聯點并進行轉化，進而在生活中不斷提升自己“用數學”的能力。