數形結合百般好

文／江蘇省泰州市高港實驗初級中學 嚴予瑢

今天是平凡得不能再平凡的一天，我們上著一節與往日“無異”的數學課。

交流環節，老師布置了一道題：

在數軸上，點A、B分別表示a、b，計算下列情況下點A、B之間的距離：a=1，b=5；a=0，b=5；a=1，b=-5；a=-1，b=-5。你能發現點A、B之間的距離與數a、b之間的關系嗎？

我看到題目后，先把每組數分別在數軸上表示出來，如下圖所示：

圖1中，AB=b-a=5-1=4；圖2中，AB=b-a=5-0=5；圖3 中，AB=a-b=1-（-5）=6；圖4中，AB=a-b=（-1）-（-5）=4。

圖1

圖2

圖3

圖4

通過觀察，我發現，AB=a-b或b-a。因為互為相反數的兩個數的絕對值相等，AB的長度為非負數，所以AB=|a-b|。我知道了：已知數軸上兩點表示的數，利用這個公式可以求出這兩點之間的距離。

如數軸上，點A表示的數是-2，AB=3，若表示點B的數記為x，則|x-（-2）|=3。沒有學過含絕對值的方程，怎么求x的值呢？這時，我想到老師講過，絕對值表示距離，如到原點的距離等于3的點有兩個，一個在原點的左邊，另一個在原點的右邊，所以到點A的距離等于3 的點也有兩個，一個在表示-2 的點的左邊，即x=-5，另一個在表示-2 的點的右邊，即x=1（如圖5）。所以，我又發現：某點到一個定點的距離等于一個正數時，畫數軸能直觀地找到兩個這樣的點。

圖5

類比可知，|x- 1 |表示x到1 的距離，|x-（-2）|表示x到-2 的距離。若已知|x-（-2）|+|x- 1 |等于一個正數，怎么求x呢？我在數軸上標出分別表示-2、1 的兩個點，觀察數軸：這兩個點將數軸分成3 部分——表示-2 的點的左邊部分，表示-2 與表示1 的兩點之間的部分（包括表示-2、1 的兩個點），表示1 的點的右邊部分（如圖6）。我驚喜地發現：在x變化的過程中，|x-（-2）|+|x- 1 |有最小值，且最小值是3；當|x-（-2）|+|x- 1 |取一個大于3 的數時，滿足條件的點也有兩個。

圖6

如果將3 個絕對值相加呢？如|x-（-2）|+|x- 1|+|x+ 1 |，小伙伴們不妨動手試試，你發現了什么？

“數形結合百般好”。從1 個絕對值，到2 個絕對值，再到3 個絕對值……研究的問題越來越復雜，但只要我們抓住問題的本質，利用好數軸，就能輕松地解決問題。

教師點評

數形結合是解決數學問題的有效思想，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。小作者借助已有的學習經驗，積極思考，主動類比探究，從數量特征聯想到幾何特征，把數的問題轉化為形的問題。同時，小作者還發現變化中不變的量，這是個了不起的發現！