數(shù)學(xué)軟件輔助函數(shù)教學(xué)的研究分析

周星辰 吳婉君

摘要：函數(shù)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)全過(guò)程中至關(guān)重要的一環(huán)。然而，函數(shù)知識(shí)的抽象性和復(fù)雜性常常給學(xué)生帶來(lái)困惑。為了更好地幫助學(xué)生理解函數(shù)的概念，激發(fā)學(xué)生的興趣，提高教學(xué)效果，將信息技術(shù)應(yīng)用于函數(shù)教學(xué)是一種有效的方法。本文探究基于Maple數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)的信息技術(shù)融入高中數(shù)學(xué)的函數(shù)課堂教學(xué)中，希望更好地助益高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，并提升教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)軟件；高中數(shù)學(xué)；Maple；函數(shù)教學(xué)；信息技術(shù)

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的重要概念知識(shí)點(diǎn)，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。然而，函數(shù)的抽象性和復(fù)雜性，讓許多高中學(xué)生難以理解和掌握，給教師的課堂教學(xué)帶來(lái)一定的了挑戰(zhàn)。特別是在涉及涉及到函數(shù)圖像變換和參數(shù)變化的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生更容易出錯(cuò)并難以理解，導(dǎo)致課堂效率低下。傳統(tǒng)函數(shù)教學(xué)中存在一系列教學(xué)障礙，其中充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于學(xué)生理解函數(shù)概念至關(guān)重要。然而，傳統(tǒng)的手寫(xiě)描點(diǎn)繪圖方法往往不能準(zhǔn)確呈現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，因此需要借助教育信息技術(shù)工具來(lái)輔助教學(xué)。其中，Maple平臺(tái)在函數(shù)教學(xué)輔助中發(fā)揮了重要作用。作為一款廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)及工程計(jì)算領(lǐng)域的軟件平臺(tái)，Maple具有編寫(xiě)程序、繪制圖形、高性能運(yùn)算等強(qiáng)大功能。它不僅能簡(jiǎn)化教學(xué)過(guò)程，還能提供動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究環(huán)境。Maple的簡(jiǎn)單易學(xué)和方便快捷的使用方式使得它成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上的理想輔助工具。通過(guò)在課堂上應(yīng)用Maple，學(xué)生可以更好地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的探索，并提供更直觀、動(dòng)態(tài)的圖形呈現(xiàn)。這有助于解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一系列教學(xué)障礙，提高課堂教學(xué)效率。

一、《指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》案例分析

本節(jié)內(nèi)容選自高中數(shù)學(xué)人教A版必修一第四章4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。此課中學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙是無(wú)法掌握當(dāng)?shù)讛?shù)a在變化時(shí)對(duì)指數(shù)函數(shù)有何影響。傳統(tǒng)函數(shù)教學(xué)課堂中教師根據(jù)底數(shù)a的范圍分為a＞1和0＜a＜1兩類指數(shù)函數(shù)并對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究和討論。那具體應(yīng)該如何分析和研究它們呢？如果僅是通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)出若干個(gè)指數(shù)函數(shù)的曲線圖象，然后討論并歸納其中的共有特點(diǎn)，從而導(dǎo)出它們的性質(zhì)。那么學(xué)生則很難理解：為何底數(shù)a必須取值a＞0且a≠1？為何要?jiǎng)澐謅＞1和0＜a＜1這兩類來(lái)進(jìn)行指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究？如此就急需教育信息技術(shù)工具登場(chǎng)幫助教師針對(duì)學(xué)生疑惑進(jìn)行解答。

教師展示實(shí)例“一尺之棰，日取其半”及“木馬病毒，自我復(fù)制”，分析函數(shù)解析式的共有特性，由此導(dǎo)出指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。

【思考探索】為何必須a＞0且a≠1呢？如果設(shè)定a＜0，a=0或者a=1，那么結(jié)果會(huì)怎樣呢？

師生在Maple數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)上探究手動(dòng)拖動(dòng)滑動(dòng)條令底數(shù)a變化時(shí)指數(shù)函數(shù)曲線的動(dòng)態(tài)變化進(jìn)程。詳細(xì)步驟如下：第一步錄入Maple編程命令行語(yǔ)言： plot（ax， x=-2..2， y=-1..8）。 第二步點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵，彈出上下文菜單，在菜單里選擇按鈕“探索器”，隨即出現(xiàn)一個(gè)探索器界面，在Explore中可以對(duì)底數(shù)a進(jìn)行取值范圍設(shè)定。隨即學(xué)生可以拉動(dòng)滑動(dòng)條更改變量a的取值，從而探究函數(shù)曲線的變化狀態(tài)。通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生可以清楚地看到函數(shù)曲線跟隨底數(shù)a數(shù)值的更改而運(yùn)動(dòng)。

學(xué)生使用探索器滑動(dòng)a值做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，其間期間能夠觀察到：當(dāng)a＜0時(shí)，Maple平臺(tái)繪制不出指數(shù)函數(shù)的圖像；當(dāng)a=0時(shí)，Maple平臺(tái)只能繪制出只有半截直線的圖像；而當(dāng)0＜a＜1時(shí)，隨著底數(shù)a拖動(dòng)的數(shù)值漸漸增大，Maple平臺(tái)繪制的指數(shù)函數(shù)曲線上部漸漸遠(yuǎn)離y軸，但它們始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，1）；當(dāng)a=1時(shí)，Maple平臺(tái)繪制的指數(shù)函數(shù)圖像為一條y=1的直線；當(dāng)a＞1時(shí)，可以觀察到，拖動(dòng)底數(shù)a的數(shù)值漸漸增大，Maple平臺(tái)繪制的指數(shù)函數(shù)曲線上部漸漸靠近y軸，但它的下部無(wú)限靠近x軸，并始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，1）。通過(guò)手動(dòng)滑動(dòng)探索器的滑動(dòng)條，細(xì)心觀察歸納，學(xué)生能形象清楚地總結(jié)出底數(shù)a對(duì)于函數(shù)性質(zhì)有著怎樣的影響。

【教師問(wèn)題】a＜0時(shí)，指數(shù)函數(shù)沒(méi)有圖像是為什

么？a=0時(shí)指數(shù)函數(shù)圖像只有半截圖像是為什么？a=1時(shí)指數(shù)函數(shù)圖像是與x軸平行的直線又是為什么？你們嘗試從數(shù)的角度進(jìn)行分析。

【學(xué)生回答】若a=0，則當(dāng)x>0時(shí)，ax=0；當(dāng)x≤0時(shí)，ax無(wú)意義。所以才繪制出半截圖像。若a＜0，如（2）x，這時(shí)對(duì)于x=1/4，x=1/2，…，處于實(shí)數(shù)范圍內(nèi)也是無(wú)意義的，因此也無(wú)函數(shù)圖像。若a=1，則對(duì)于任何x∈R，ax=1，它是一個(gè)常量，因此才繪制出與x軸平行的一條直線。正是因?yàn)橐陨线@幾類取值是無(wú)數(shù)學(xué)意義的，所以我們才明白為什么要設(shè)定指數(shù)函數(shù)的底數(shù)取a＞0且a≠1。

【師生探索】現(xiàn)在有兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，它們的底數(shù)互相為倒數(shù)時(shí)，能找出兩圖像之間的聯(lián)系和規(guī)律嗎？

【學(xué)生實(shí)驗(yàn)】在Maple數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)的程序界面輸入plot（[ax， （1/a）x]， x=-2..2， y=-1..8），點(diǎn)擊探索器，描繪出底數(shù)互為倒數(shù)的兩指數(shù)函數(shù)曲線，如圖2所示。學(xué)生操縱滑動(dòng)條探究它們之間的規(guī)律與聯(lián)系。

從以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以清楚地發(fā)現(xiàn)，隨著a值的不斷變化，兩函數(shù)曲線的圖像也在不停地發(fā)生改變，但有一樣卻始終無(wú)變化，那就是它們的對(duì)稱性。不管兩曲線是如何動(dòng)態(tài)的舞動(dòng)，它們始終關(guān)于y軸對(duì)稱。由此，學(xué)生最終可推出：如果兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖像的底數(shù)互為倒數(shù)，那么它們關(guān)于y軸對(duì)稱。

二、《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》案例分析

本節(jié)內(nèi)容選自高中數(shù)學(xué)人教A版必修一第五章5.6.2的對(duì)生產(chǎn)生活中常遇的函數(shù)類型進(jìn)行深一步的研究，即y=Asin（ωx+φ）函數(shù)的圖像分析。三角函數(shù)圖像變換規(guī)律的探索研究是函數(shù)課堂教學(xué)中的重難點(diǎn)。傳統(tǒng)課堂的函數(shù)教學(xué)很難呈現(xiàn)出圖像變換的動(dòng)態(tài)性，而Maple數(shù)學(xué)軟件繪制三角函數(shù)圖像僅需要一行程序代碼即可，且平臺(tái)自帶的“探索器”功能能設(shè)定參數(shù)值范圍并對(duì)函數(shù)中的參數(shù)值進(jìn)行動(dòng)態(tài)的觀察，探究出參數(shù)對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖像造成的具體影響，從而把握其中的規(guī)律。從現(xiàn)代化角度講，這已經(jīng)轉(zhuǎn)變成一個(gè)簡(jiǎn)單的信息技術(shù)試驗(yàn)過(guò)程。

教師導(dǎo)入交流電實(shí)例及物理簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例，帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)Maple數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制，探究各參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的影響，從而總結(jié)規(guī)律，幫助學(xué)生理解和記憶。

第一步在Maple平臺(tái)上輸入繪制函數(shù)的程序語(yǔ)言，其中包含若干個(gè)變量，并對(duì)x軸、y軸的范圍進(jìn)行規(guī)定設(shè)置plot（Asin（ωx+φ）， x=-2Pi ，y=-4.4）；

第二步點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵，彈出上下文菜單，在菜單里選擇按鈕“探索器”，隨即可以在出現(xiàn)的探索器界面進(jìn)行參數(shù)范圍設(shè)置，同時(shí)可以在Explore中對(duì)三個(gè)參數(shù)進(jìn)行取值范圍的設(shè)定。最后學(xué)生可以拉動(dòng)滑動(dòng)條更改變量的取值，從而觀察探究函數(shù)曲線的變化狀態(tài)，如圖3所示。在此過(guò)程中，學(xué)生可以清楚地看到，函數(shù)曲線會(huì)跟隨參數(shù)數(shù)值的更改而運(yùn)動(dòng)。

在探索器中拖動(dòng)φ，ω，A三個(gè)參數(shù)中的任意滑動(dòng)條對(duì)參數(shù)變量的值進(jìn)行更改：隨著參數(shù)值的改變，三角函數(shù)圖像曲線也隨之改變。學(xué)生通過(guò)對(duì)這一函數(shù)圖像變化的過(guò)程進(jìn)行細(xì)心觀察，能有效歸納和掌握平移、周期、振幅三類過(guò)程變換的規(guī)律。

（1）探究φ對(duì)y=Asin（x+φ）， x∈R的圖像的影響。

學(xué)生在探索器界面里設(shè)定滑動(dòng)條A和ω均為1，拖動(dòng)φ滑動(dòng)條，細(xì)心觀察函數(shù)曲線圖象的改變，洞悉其內(nèi)在規(guī)律。

【學(xué)生思索】從函數(shù)曲線圖象變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程可發(fā)現(xiàn)：操縱滑動(dòng)條φ按正數(shù)方向由0向右拖動(dòng)時(shí)，函數(shù)曲線朝左邊平移；操縱滑動(dòng)條φ按負(fù)數(shù)方向由0向左拖動(dòng)時(shí)，函數(shù)曲線朝右邊平移，如圖4所示。由此可得出結(jié)論：y=sinx函數(shù)曲線上全部點(diǎn)向左邊平移π/2得y=sin（x+π/2）；y=sinx函數(shù)曲線上全部點(diǎn)向右邊平移π/2得y=sin（x-π/2）。

教師和學(xué)生一起在Maple數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)上編寫(xiě)程序繪制出y=sinx， y=sin（x-π/2）， y=sin（x+π/2）函數(shù)曲線在兩周期的圖像來(lái)對(duì)學(xué)生的推論進(jìn)行印證。

【教師總結(jié)】概括總結(jié)參數(shù)φ對(duì)y=sin（x+φ）x∈R的圖像的影響：正弦曲線sinx上的所有點(diǎn)沿x軸向左邊平移（φ＞0）或向右邊平移（φ＜0）|φ|個(gè)單位得出y=sin（x+φ）函數(shù)。

（2）同上探究ω（ω＞0）以及A（A＞0）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖像的影響。

（3）根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果師生歸納總結(jié)三角函數(shù)的圖像變換規(guī)律。

通過(guò)應(yīng)用Maple數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)，上述示例可以幫助學(xué)生自主地探索函數(shù)的性質(zhì)。使用平臺(tái)的探索器功能，學(xué)生可以直觀地操作動(dòng)態(tài)曲線，增添了活動(dòng)性和參與感。學(xué)生們可以通過(guò)拖動(dòng)參數(shù)滑動(dòng)條，觀察函數(shù)曲線的變化并欣賞它們的“舞蹈”。這種互動(dòng)性的學(xué)習(xí)方式不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，還能自然而然地引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)函數(shù)曲線中隱藏的規(guī)律。通過(guò)這種探索過(guò)程，學(xué)生可以總結(jié)出函數(shù)的概念和性質(zhì)。這樣的學(xué)習(xí)方式有助于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用能力。

三、結(jié)束語(yǔ)

本文以高中函數(shù)教學(xué)為實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，以Maple為技術(shù)媒介，嘗試將二者進(jìn)行深入地有機(jī)融合，希望在高中數(shù)學(xué)課堂上搭建一個(gè)學(xué)生能動(dòng)手實(shí)踐、主動(dòng)探索的信息技術(shù)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，從而為信息技術(shù)更好地助益高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供一些有效的幫助。

作者單位：周星辰 曲阜師范大學(xué)網(wǎng)絡(luò)信息中心

桂林電子科技大學(xué)廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室

吳婉君 廣東省中山市龍山中學(xué)

參? 考? 文? 獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：廣西科技計(jì)劃項(xiàng)目“有限域上特殊類型置換多項(xiàng)式的構(gòu)造及其在密碼學(xué)中的應(yīng)用研究”（18281065）。

周星辰（1986-），女，湖南常德，碩士研究生，助理實(shí)驗(yàn)師，研究方向：教育信息化；

通訊作者：吳婉君（1990-），女，湖北天門(mén)，碩士研究生，高中數(shù)學(xué)教師，研究方向：中學(xué)教育。