直齒錐齒輪機構瞬態動力學分析*

王晉枝

（山西工程職業學院，山西 太原 030009）

錐齒輪又名傘齒輪，主要用于傳遞兩相交軸的運動和動力。錐齒輪傳動根據其性能特點可以分為直齒錐齒輪、斜齒錐齒輪和曲線齒錐齒輪，其中，兩輪軸線夾角為90°的標準直齒錐齒輪傳動應用最為廣泛。直齒錐齒輪的輪齒分布在圓錐面上，其齒形從大端到小端逐漸縮小，圓錐齒輪與圓柱齒輪相似，有分度圓錐、齒頂圓錐、齒根圓錐和基圓錐，一對相互嚙合的錐齒輪還有節圓錐。由于錐齒輪特殊的結構和傳動特性，以及設計、制造和安裝都較為簡單、便于調整等優點[1]，其被廣泛應用于輸送機、車輛差速器、機床傳動等工業設備當中。課題組依據某設計公司自主研發的帶式輸送機上所應用的直齒錐齒輪進行瞬態動力學分析。

1 建立錐齒輪三維裝配模型

由于直齒錐齒輪獨特的結構特性，其沿齒長方向分為大端和小端，且兩端齒深及齒形參數均不相同，因此直接采用三維繪圖軟件對其零部件模型進行繪制會存在一定困難[2]。所以在建模過程中，依據帶式輸送機當中相互嚙合的錐齒輪參數，采用齒輪設計軟件GearTrax自動生成錐齒輪。在一對錐齒輪正確嚙合的過程中，其嚙合的條件是大端輪齒的模數與壓力角分別相等，錐距分別相等[3-4]，根據錐齒輪正確嚙合條件與連續傳動條件，采用SolidWorks對其進行三維實體模型裝配。錐齒輪參數如表1所示，裝配后的錐齒輪三維模型如圖1所示。

圖1 裝配后的錐齒輪三維模型

表1 錐齒輪基本參數

2 材料屬性設置與網格劃分

本次研究的錐齒輪材料為經過調制處理的45鋼，這樣可以在保證較高強度的同時又具備較好的塑性與韌性，只有這樣才可以確保其在各種工況下順利完成工作任務。其材料屬性密度為7 860 kg/m3，彈性模量E為2.07 GPa，泊松比為0.3，體積模量為1.725 GPa，剪切模量為7.961 5 GPa。在ANSYS Workbench材料工程數據庫Engineering Data中進行錐齒輪材料屬性設置[5]，并完成裝配體材料分配。

網格劃分的精度及類型直接決定了有限元分析結果的準確程度，網格過于密集不僅會增加計算時長，而且會占用較大的計算機資源[6]。在有限元分析軟件ANSYS Workbench中采用Mesh模塊對其進行網格劃分。由于錐齒輪結構相對較為復雜，所以在本次研究過程中采用四面體網格（Tetrahedrons）對其進行整體劃分。錐齒輪主要靠齒面傳遞運動與動力，為了更精準地求得齒廓間的應力分布，在劃分網格時，需對嚙合的齒廓進行網格細化，網格單元尺寸設置為1.5 mm。通過對錐齒輪副整體與局部的網格進行控制劃分，最終得出網格節點數為48 030，網格單元數為27 086，網格化的錐齒輪三維模型如圖2所示。

圖2 網格化的錐齒輪裝配體

3 瞬態動力學分析

3.1 瞬態動力學理論基礎

瞬態動力學分析是時域分析，是分析結構在隨時間任意變化的載荷作用下動力響應的技術。其輸入數據是作為時間函數的載荷，而輸出數據是隨時間變化的應力、應變和位移等參數。在ANSYS Workbench中采用Transient Structural模塊進行瞬態動力學分析。由經典力學理論可知，物體的動力學通用方程為[7]：

式中，[M]是質量矩陣；[C]是阻尼矩陣；[K]是剛度矩陣；{··x}為節點加速度矢量；{·x}為節點速度矢量；{x}為節點位移矢量。

3.2 瞬態動力學分析前處理

一對錐齒輪副在運轉過程中，電機通過輪軸為主動輪施加繞中心軸旋轉的轉矩，主動輪與從動輪進行嚙合并且驅動從動輪繞中心軸進行旋轉。由于錐齒輪副間要進行相對旋轉運動，所以在ANSYS Workbench中對兩個錐齒輪添加對地轉動副Body-Ground: Revolute，并且釋放二者的旋轉自由度，對其余自由度進行約束。兩錐齒輪間的輪齒接觸面設置為摩擦接觸“Frictional”，摩擦系數設為0.2。由于輪齒接觸面數量較多，為了快速選中所有的錐齒輪接觸面，采用組命名的方式“Named Selections”進行齒廓面選擇，將主動輪齒廓面設置為接觸面，將從動輪齒廓面設置為目標面。計算總時長設置為1 s，初始子步設置為25，最小子步設置為20，最大子步設置為250。對主動輪施加轉速“Rotational Velocity”，轉速分別設置為30 r/min、60 r/min、90 r/min，從動輪施加一個反方向的扭矩“Moment”，用于模擬旋轉嚙合過程當中受到的阻力，大小為20 N·m，轉速與扭矩分別施加于錐齒輪中心位置處[8-9]。

3.3 瞬態動力學分析后處理

通過對錐齒輪副進行瞬態動力學分析求解，得出其在不同轉速下的最大等效應力云圖、最大等效應變云圖，分別如圖3～8所示。

圖3 30 r/min轉速下最大等效應力云圖

圖4 30 r/min轉速下最大等效應變云圖

圖5 60 r/min轉速下最大等效應力云圖

圖6 60 r/min轉速下最大等效應變云圖

圖7 90 r/min轉速下最大等效應力云圖

圖8 90 r/min轉速下最大等效應變云圖

由材料力學可知，為了保證結構有足夠的強度，在載荷作用下，結構的實際工作應力應當低于其極限應力。故在強度計算中，用大于1的安全因數除以極限應力，并將所得結果稱為許用應力[σ]。

式中，大于1的因數S稱為安全因子，σs為材料屈服強度[10]。

由最大等效應力云圖與最大等效應變云圖可知，其最大值均出現在錐齒輪大端嚙合處。在轉速為30 r/min時，最大等效應力值為288.6 MPa，最大等效應變值為1.44×10-3mm；在轉速為60 r/min時，最大等效應力值為274.3 MPa，最大等效應變值為1.37×10-3mm；在轉速為90 r/min時，最大等效應力值為272.85 MPa，最大等效應變值為1.36×10-3mm。由于錐齒輪材質為45鋼，其屈服強度為355 MPa，當安全系數取1.2時，其許用應力為355÷1.2≈295.8 MPa。由最大等效應力云圖可知：在不同的轉速下，錐齒輪副所受到的最大等效應力值均小于其許用應力值，滿足強度使用要求。由最大等效應力云圖與最大等效應變云圖可知：其所受應力、應變最大值均出現在錐齒輪大端位置處。

不同轉速下的最大等效應力隨時間變化歷程曲線圖分別如圖9～11所示。由圖可知：當主動輪受到的阻力一定時，隨著轉速的不斷增加，錐齒輪所受的最大等效應力將不斷減小，且趨于穩定集中。

圖9 30 r/min轉速下最大等效應力變化曲線圖

圖10 60 r/min轉速下最大等效應力變化曲線圖

圖11 90 r/min轉速下最大等效應力變化曲線圖

4 結語

綜上所述，相對于靜力學分析而言，對錐齒輪副進行瞬態動力學分析可以更加全面、精準地模擬出錐齒輪在整個傳動過程中的嚙合受力情況。通過對主動輪施加30 r/min、60 r/min、90 r/min三種不同的轉速，并對其進行瞬態動力學分析之后，得出其所受的最大等效應力值分別為288.6 MPa、 274.3 MPa、272.85 MPa，均小于材料的許用應力值，滿足強度使用要求。由不同轉速下最大等效應力隨時間變化曲線圖得知，當主動輪受到的阻力一定時，隨著轉速的不斷遞增，錐齒輪所受的最大等效應力將不斷減小，且趨于穩定集中，最大等效應力值與最大等效應變值均出現在直齒錐齒輪大端位置處。本研究可為直齒錐齒輪傳動系統參數設計及動態特性控制提供一定的參考。