凍融條件下巖石動態損傷本構模型

張慧梅,趙 潔,陳世官,申艷軍,路亞妮,劉 慧

(1.西安科技大學理學院,西安 710054;2. 西安科技大學 建筑與土木工程學院,西安 710054;3. 湖北工程學院土木工程學院,湖北 孝感 432000)

隨著國家“一帶一路”戰略的實施及基礎設施建設的發展,寒區蘊藏的礦產、森林、土地及旅游等資源越來越受到重視,大量的基礎建設正在或將在寒區建設。但受賦存環境的影響,寒區巖石由于長期受凍融循環影響,內部缺陷不斷萌發、擴展,損傷持續累積,導致巖石力學性能劣化。此外,巖石承受的荷載類型越來越復雜,不但包括自重、上部建筑物等靜態荷載,還包括沖擊、爆破、地震及滑坡等動態荷載[1],例如礦山開采、大型機械掘進、巖爆等動力工程以及地震、滑坡等自然災害的防治中,越來越多地涉及動荷載作用。在動荷載條件下,巖石由于承受快速變化的外荷載,表現出明顯的動態力學特性,與靜態力學特性存在顯著區別,破壞模式也隨之變化。所以,寒區巖石受凍融與動荷載2種損傷因子的共同作用,其變形破壞正是2種損傷耦合擴展效應的累積,必須從損傷的本質特性出發,對凍融條件下巖石的動態損傷破壞問題進行研究。

近年來,關于動荷載條件下凍融巖石的損傷破壞及力學特性方面,國內外眾多學者取得以下研究成果。Bo Ke等[2]研究不同凍融條件及軸向應力下砂巖的動態力學特性;Luo Y等[3]對不同凍融次數下砂巖靜動態力學參數的變化規律及破壞模式進行研究;Ma Q Y等[4]基于不同凍融次數下軟巖的SHPB試驗,研究凍融循環對能量比吸收率、反射率及透射率等能量分布參數的影響;Li J L等[5-6]研究凍融循環對巖石孔隙結構和動態力學特性的影響;Wang P等[7-10]開展不同凍融次數下巖石的動力學特性試驗,研究凍融巖石的動態力學特性及損傷破壞過程;劉少赫等[11]開展SHPB試驗研究凍融紅砂巖的動力學特性,并通過掃描電鏡分析凍融作用下紅砂巖的細觀損傷;聞磊等[12]通過室內試驗數據與數值模擬結果,對動荷載條件下凍融巖石的強度特性進行研究;賓峰[13]對凍融條件下巖石的靜、動態力學特性進行對比,研究凍融循環與軸壓共同作用下巖石的動態力學特性,分析巖石的動態損傷演化過程;柳森昊[14]研究砂巖在靜態與動態兩種荷載下力學參數的變化規律,并通過掃描電鏡試驗分析凍融砂巖的損傷破壞特征。

以上研究皆從試驗層面對凍融巖石的動態力學特性進行研討,較少通過建立理論模型,研究其變形破壞的力學行為,揭示凍融損傷與動荷載損傷的耦合效應,反映損傷的本質特性。因此,在充分考慮凍融損傷的影響的基礎上,運用Mises破壞準則,構建凍融條件下巖石的動態損傷本構模型,確定模型參數的理論表達式;描述其變形破壞過程,刻畫凍融與動荷載損傷的耦合效應,反映凍融次數及應變率對巖石總損傷、模型參數和變形破壞特性的影響。

1 巖石動態變形破壞過程

文獻[3,11]通過巖石SHPB沖擊壓縮試驗對巖石動態力學行為進行充分研究,認為巖石的變形破壞經歷5個階段(見圖1)。

圖 1 巖石動態變形破壞過程Fig.1 The dynamic deformation and failure process of rock

1)壓密階段(OA段)。動荷載作用下,巖石內部原有的微孔隙、微裂隙發生壓密閉合,曲線呈上凹形;但高應變率下,荷載持續效應太短,巖石內部缺陷來不及閉合,壓密階段并不明顯。

2)彈性變形階段(AB段)。隨應變的增加,σ-ε曲線近似線性發展,動彈性模量基本不變,卸荷后應變形態可以恢復;整個變形破壞過程中,此階段巖石抵抗沖擊變形的能力最強。

3)塑性變形階段(BC段)。此階段曲線斜率減小,至峰值點(C點)時斜率為0,呈上凸形;此時巖石處于非線性變形階段,損傷持續累積,抵抗變形能力減弱。

4)應變軟化階段(CD段)。該階段曲線應變緩慢增加,應力迅速下降,未出現回彈現象,說明巖石內部缺陷擴展、貫通,并形成貫通區,產生斷裂面,造成不可逆的損傷、破壞。

5)損傷破壞階段(D點以后)。此階段巖石變形繼續增加,內部斷裂面之間的黏聚力喪失,承載能力不足,巖石發生宏觀破壞。

此外,沖擊荷載作用下,由加載速率不同而產生的應變率效應問題是巖石靜力學與動力學的本質區別,隨著應變率的增加,巖石內部微結構變形導致的“慣性力”不容忽視[1]。“慣性力”將導致巖體內部顆粒處于相對運動狀態,其內摩擦力產生黏滯阻抗效應,表現為黏滯特性。

綜上所述,巖石動態變形破壞過程表現出了明顯的彈塑性特征、應變軟化特性及黏滯性。

2 凍融巖石動態損傷本構模型

2.1 力學模型

一般來說,本構模型應具有簡單的數學表達式、較少且易于確定的模型參數,且能夠反映材料的主要特性。所以,必須選擇合適的數學描述方法對巖石的損傷進行合理表征,盡可能滿足本構模型的理論嚴謹性和工程實用性。

根據巖石動態變形破壞過程分析,巖石在動荷載作用下能夠表現出較為明顯的彈性、塑性及應變軟化等力學特性。事實上,巖石材料在受力狀態下的破壞是從隨機分布的細觀缺陷到宏觀破壞的非線性演化過程,是損傷的持續累積。所以,將以上力學特性概化為損傷特性是一種簡潔有效的研究手段。

因此,本模型考慮利用損傷體描述巖石材料所具有的彈塑性變形特征、應變軟化特性,利用黏性體表達巖石材料的黏性特征。為了能夠同時體現巖石的損傷特性和黏滯性,將巖石內部微元體視為理想化的損傷體與黏性體的并聯組合體,如圖2所示。

圖2 巖石微單元體模型Fig.2 Rock microelement model

假設巖石在x方向承受沖擊荷載,由損傷體與黏性體并聯關系可知

(1)

式中:εa為損傷體應變;εb為黏性體應變;σa為損傷體應力;σb為黏性體應力。

2.2 損傷本構方程

凍融循環作用下損傷演化的力學效果可以通過材料宏觀基準量的劣化來表達。選用彈性模量的劣化度量不同凍融次數下巖石的受損程度,將凍融損傷變量Dn表示為

(2)

式中:E0為未凍融巖石的動彈性模量;En為不同凍融次數下巖石的動彈性模量。

假設巖石由若干具有不同缺陷的微元體組成,從宏觀角度出發,根據連續介質力學理論,該微元體的尺寸足夠小,能夠作為一個質點來考慮;從細觀角度來看,該微元體的尺寸足夠大,包含足夠多的微裂紋、微空洞等細觀缺陷[15]。

基于巖石內部結構的非均勻性質及受荷過程中內部微元破壞的隨機性,假定巖石微元強度服從Weibull統計分布,其概率密度函數為

(3)

式中:F*為巖體微元強度隨機分布的分布變量;m和F0為Weibull分布參數。

巖石的變形破壞是材料內部微元體損傷破壞的累積效應,對式(3)進行積分可將巖石的受荷損傷變量表示為

(4)

以巖石的凍融損傷為第一損傷狀態,凍融巖石的受荷損傷為第二損傷狀態,根據推廣后的應變等價性假設[16],凍融巖石的受荷損傷本構關系可表示為

σx=En(1-Ds)εx+2μσz

(5)

σz=En(1-Ds)εz+μ(σx+σz)

(6)

根據式(2)及式(5)、式(6),可得凍融循環作用下受荷巖石的損傷本構關系為

σx=E0(1-D)εx+2μσz

(7)

σz=E0(1-D)εz+μ(σx+σz)

(8)

其中,

D=Ds+Dn-DsDn

(9)

式(9)為凍融-動荷載耦合下巖石的總損傷變量。可以看出,凍融-動荷載的共同作用加劇了巖石的總損傷,但兩者的耦合效應在一定程度上又使得巖石的受損程度有所減弱,并呈非線性關系。分析認為,凍融循環作用導致巖石產生凍融損傷,但巖石內部晶粒在荷載的作用下發生錯動、滑移又對孔隙水凍結成冰時所產生的體積膨脹有所限制,表現為凍融與動荷載的耦合作用對總損傷產生的弱化效應。

將式(2)與式(4)代入式(9),可將凍融受荷巖石的總損傷變量表示為

(10)

聯立式(7)、式(8)與式(10)可得損傷體的本構關系為

(11)

對于黏性體而言,在外荷載作用下遵循黏滯定律,應力與應變率呈線性關系,其本構關系為

(12)

將式(11)與式(12)聯立,代入式(1),可得凍融巖石的動態損傷本構關系為

(13)

(14)

假定巖石的損傷破壞準則服從Mises強度理論,則式(13)～(14)中的分布變量F*可表示為

(15)

式中:J2*為有效應力偏量的第二不變量,其表達式為

(16)

根據損傷的定義,有

(17)

式中:σi為名義應力;σi*為對應的有效應力。

聯立式(15)、式(17),可得F*的表達式為

(18)

式中:

(19)

2.3 模型參數的確定

模型參數m和F0可通過應力-應變曲線峰值點(σc,εc)處滿足的幾何條件獲得其理論表達式。

①εx=εcn時,σx=σcn;

(20)

(21)

對式(13)～(14)兩邊取全微分有

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

將式(24)～(27)代入式(22)～(23)中可得

(28)

(29)

式中

聯立式(28)～(29)消去dσz,可得到dσx的表達式,再與式(20)比較,并根據極值條件②,有

(30)

化簡式(30)可得

(31)

根據式(13)和極值條件①得

(32)

聯立式(31)和式(32)可得模型參數m和F0的理論表達式為

(33)

(34)

3 模型參數討論

為明確模型參數的物理意義,現引用文獻[14]凍融砂巖力學特性試驗結果進行分析討論。

3.1 凍融砂巖動態力學特性試驗結果

文獻[14]以高徑比為1:2的圓柱形砂巖為研究對象,對烘干、飽水處理后的試樣進行溫度變化周期為+20 ℃～-20 ℃～+20 ℃的凍融循環試驗,隨后對經歷不同凍融循環次數(0、1、5、10、15、20次)的試樣進行5組不同應變率下的SHPB沖擊試驗,探究凍融條件下砂巖的動態力學特性。具體力學參數[14]如表1所示。

表1 不同凍融次數及應變率下巖石的力學參數

3.2 模型參數的物理意義

利用表1試驗數據代入式(33)～式(34)進行計算,可繪制凍融次數為20次、應變率為65.1 s-1時模型參數不同取值的σ-ε曲線(見圖3),從而可討論模型參數對曲線形態的影響,揭示其物理意義。

圖3 模型參數對模型曲線的影響Fig.3 Effect of model parameters on model curves

由圖3a可知,隨參數m的遞增,曲線峰前塑性屈服段及峰后軟化段坡度越來越陡,峰后應力降低速度不斷增加,說明巖石延性特征減弱,脆性特征增加。因此,參數m反映了巖石的延脆性特征,表征巖石內部微元強度分布的集中程度。

由圖3b可知,隨參數F0的遞增,曲線峰前階段的彈性變形部分基本一致,但塑性屈服階段之后的部分表現為整體右移,依次平行排列,最終近似趨于水平直線。參數F0對σ-ε曲線的改變主要體現為曲線的峰值強度依次增加,反映了巖石微元宏觀平均強度的大小。

4 凍融巖石動態損傷力學特性分析

4.1 物理力學特性分析

4.1.1 抗凍性分析

文獻[17]利用抗凍系數Rd來表示巖石抵抗凍融破壞能力的強弱,表達式為

(35)

式中:σc為未凍融巖石的動態抗壓強度;σcn為不同凍融次數下巖石的動態抗壓強度。

根據表1及式(35),可繪制不同凍融次數n及應變率下巖石抗凍系數Rd的變化曲線(見圖4)。

圖4 抗凍系數變化Fig.4 Change of frost resistance coefficient

從圖4可以看出,隨凍融次數的增加,巖石的抗凍系數呈減小趨勢,且凍融前期降低幅度最大,之后下降趨勢變緩。說明巖石的抗凍性能隨凍融次數的增加而減弱。當應變率分別為65.02、75.07、84.87 s-1時,對應的抗凍系數分別減小13.49%、10.71%、10.33%。這是由于巖石內部水-冰相變及多種礦物成分的不均勻收縮膨脹作用導致微缺陷萌發、擴展,并隨凍融次數的增加而擴大,各項基本力學性能逐漸衰減,抵抗凍融破壞的能力降低,但凍融前期巖石內部結構和連結受到的破壞嚴重,所以抗凍系數顯著降低。

從圖4還可以看出,凍融前期,抗凍系數隨應變率的增大而降低,但隨凍融次數的增加,不同應變率下抗凍系數曲線相繼相交,相交后抗凍系數隨應變率的增大而增加。這是因為沖擊荷載產生的慣性力作用限制了巖石的側向變形,且限制作用隨凍融循環及應變率的增大而增強,由此巖石的應力狀態近似于被動圍壓狀態,表現出了應變率強化效應[18],所以抗凍系數有所增加。

4.1.2 動載強度分析

依據表1中的力學參數,繪制動態抗壓強度隨凍融次數和應變率的變化曲線(見圖5)。

圖5 動態抗壓強度隨凍融次數、應變率變化Fig.5 The dynamic load strength changes with freezing and thawing cycles and strain rate

分析認為,在凍融循環作用下,巖石內部水-冰相變產生的凍脹力克服黏聚力,促進微觀缺陷進一步擴展,物理力學性質劣化,所以動態抗壓強度減小;但由于水-冰相變導致的微裂隙擴展在凍融初期表現最顯著,且可以容納凍融后期水-冰相變的體積膨脹,所以凍融初期動態抗壓強度顯著降低,而后期下降幅度減緩。說明此時巖石內部基本達到新的平衡狀態,力學性質的變化逐漸穩定。

由圖5b可知,巖石動態抗壓強度與應變率呈正相關,變化速率先快后慢。當凍融次數為1,應變率為53.15 s-1時,巖石的動態抗壓強度為140.28 MPa,應變率為65.02 s-1時,動態抗壓強度增加至159.27 MPa,增加幅度為13.54%;應變率為75.07 s-1時,動態抗壓強度增加至167.99 MPa,增加幅度為5.47%;應變率為84.87 s-1時,動態抗壓強度增加至181.34 MPa,增加幅度為7.95%;應變率為99.07 s-1時,動態抗壓強度增加至195.36 MPa,增加幅度為7.73%。

分析認為,巖石的變形破壞是內部缺陷萌生與擴展的最終結果,而缺陷產生所需的應力遠大于缺陷擴展所需的應力,因此巖石需要足夠的應變率作用持續產生新的缺陷使其完全破壞,表現為動態抗壓強度隨應變率的增加而增強,但由于凍融循環的劣化作用,增長速率有所減緩。

綜合圖5可以看出,凍融巖石的動態抗壓強度受凍融因子與應變率因子的共同控制,但兩者導致的效應相反。

4.1.3 動力變形分析

依據表1繪制不同凍融次數和應變率下巖石動彈性模量的變化曲線,結果如圖6所示。

圖6 動彈性模量隨凍融次數、應變率變化Fig.6 The dynamic modulus of elasticity varies with freezing and thawing cycles and strain rate

由圖6a可知,隨凍融次數的增加,巖石的動彈性模量總體降低,變化速率先快后慢。應變率為75.07 s-1時,凍融次數由0增加至5次過程中,動彈性模量下降60.03%;凍融次數由5次增加至20次過程中,動彈性模量下降15.42%。這是因為,凍融次數的增加使得巖石內部凍融損傷加劇,原有的微觀缺陷擴展、貫通,巖石力學性能劣化,抵抗沖擊變形的能力減弱。

由圖6b可知,隨應變率的增加,動彈性模量整體呈增加趨勢,但變化幅度較小。例如,應變率由53.15 s-1增加至99.07 s-1過程中,凍融次數為0時,動彈性模量增加幅度約為16.42%;凍融次數為10時,動彈性模量增加幅度約為17.61%。分析認為,沖擊荷載作用下,產生慣性力,巖石內部礦物顆粒界面快速滑移,使得巖石未能充分變形而發生破壞,導致動彈性模量變化幅度較小。

因此,巖石的動態彈性模量受凍融作用和應變率作用的共同影響,但兩者導致的結果不同,且動彈性模量的應變率敏感性較小。

4.2 損傷演化特性分析

為分析巖石的損傷演化特性,明確凍融損傷與動荷載損傷的耦合效應,根據表1及式(10)繪制凍融巖石的動態損傷演化曲線,結果如圖7和圖8所示。

圖7 不同凍融次數下巖石的損傷演化Fig.7 Damage evolution of rock at different freezing and thawing cycles

圖8 不同應變率下巖石的損傷演化Fig.8 Damage evolution of rock at different strain rates

從圖7和圖8還可以看出,隨著應變的增加,總損傷值逐漸增大,從初始值趨于臨界值1,損傷曲線近似呈“S”型演化,能夠反映巖石動態變形破壞全過程:①初始損傷階段,對應壓密及彈性變形階段。曲線形態近似水平,此時巖石的變形以原始缺陷壓密和閉合為主,無明顯新生缺陷產生。②線性損傷階段,對應塑性屈服階段。隨應變的增加,損傷演化曲線呈近似線性,說明此時巖石內部損傷穩定發展,產生不可恢復變形,總損傷值增加;③非線性損傷階段,對應應變軟化階段。損傷演化曲線增長速率減緩,呈上凸形態,說明此時巖石內部裂紋、孔隙的聚合與貫通產生了新的宏觀斷裂面,承載能力降低。④損傷破壞階段,損傷演化曲線逐漸平緩,總損傷值接近1,此時巖石承載能力喪失,應力瞬間釋放,產生破壞。

圖7顯示,在變形初期,隨凍融次數的增加,損傷曲線的演化速率逐漸變緩,總損傷值與凍融次數呈正相關。在變形中期,損傷曲線依次相交,相交后總損傷值與凍融次數呈負相關,圖中表現為損傷值一定時,應變隨凍融次數的增加而增大,發生破壞時所對應的應變也越來越大。說明巖石的凍融-動荷載的耦合作用對總損傷有所弱化,且弱化程度隨著凍融循環次數的增加而增大。這是因為巖石在變形后期表現出了較為顯著的塑性特征。

圖8顯示,相同應變時,總損傷值隨應變率的增加依次減小,說明巖石抵抗動力變形破壞的能力有所增強。這是因為沖擊荷載產生的慣性力導致巖石處于被動圍壓狀態,內部微缺陷得到壓密、閉合,力學性質有所改善,表現出應變率強化效應。此外,應變率增大,巖石損傷演化速率減緩,達到臨界破壞的過程有所延長,表明此時巖石的塑性特征較為明顯,巖石需要足夠的沖擊作用使其內部缺陷持續擴展、萌發,最終完全破壞。

5 模型驗證

根據表1的試驗數據,由式(13)及式(33)～式(34)進行計算,繪制不同凍融次數及應變率下巖石的σ-ε理論曲線(見圖9),并與文獻[14]的試驗曲線進行對比。可以看出,凍融巖石動態損傷本構模型理論曲線與試驗曲線能夠較好地描述不同凍融次數及應變率下巖石的變形破壞過程,反映其動載強度和變形特征,驗證了損傷變量、模型參數及本構方程的合理性。

圖9 砂巖損傷模型理論與試驗比較Fig.9 Comparison between test and theoretical of constitutive model for sandstone

6 結論

1)基于巖石SHPB沖擊壓縮變形破壞全過程,考慮巖石材料的非均勻性質,基于統計損傷理論,將巖石彈塑性和應變軟化特征概化為損傷特性,應變率效應描述為黏滯性,建立凍融巖石動態損傷本構模型,理論表征凍融損傷與荷載損傷的耦合效應及其誘發的宏觀力學響應,并確定模型參數的理論表達式。

2)巖石抗凍系數隨凍融次數的增加,呈減小趨勢,凍融前期,抗凍系數隨應變率的增大而降低,但隨凍融次數的增加,不同應變率下抗凍系數曲線相繼相交,相交后抗凍系數隨應變率的增大而增加。巖石動態抗壓強度與凍融次數呈負相關,凍融初期變化顯著,之后變化幅度基本穩定;與應變率呈正相關,變化速率先快后慢。巖石動彈性模量隨凍融次數增加而降低,隨應變率增大整體呈增加趨勢,變化幅度較小。所以,動態抗壓強度與動彈性模量受凍融作用和應變率作用的共同影響,但兩者導致的效應不同,且動彈性模量的應變率敏感性較小。

3)隨應變的增加,損傷曲線近似“S”型演化,總損傷值從初始值趨于臨界值1,較好地反映了凍融巖石動態變形破壞全過程。應變率一定時,總損傷值隨凍融次數的增加而增大,但在變形的中后期,隨凍融次數的增加而減小,表現出明顯的塑性特征;凍融次數一定時,應變率的增加,導致巖石處于被動圍壓狀態,力學性質有所改善,總損傷值依次減小,表現出了應變率強化效應。